1、 - 1 - 2017-2018 学年上学期竞赛试卷 高二数学 (文科 )试卷 总分： 150分 时间： 120分钟 一 .选择题（每小题 5分，共 60 分） 1 已知集合 ? ?022 ? xxxA ， ? ?5.0log 2 ? xxB ，则（ ） A. ?BA B. BBA ? C. RBA ? D. ?BACU2 下列函数中 ，既是偶函数又是 ? ?0,? 上的增函数的是 A. 3yx? B. 2xy? C. 2yx? D. ? ?3logyx? 3 若 1sin45x? ? ?，则 5cos4 x?则的值等于 （ ） A. 245? B. 15? C. 15 D. 245 4 九章
2、算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等 .问各得几何 .”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列 .问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位） .这个问题中，甲所得为 A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.3钱 5 若 ABC? 的内角 ,ABC 满足 6 4 3sinA sinB sinC?，则 cosB? （ ） A. 154 B. 34 C. 31516 D. 1116 6 已知实数 cbacba ,23t a n1 23t a n2,25s i
3、 n21,24s i n24c o s2222 则? ?的大 小关系为（ ） A. cab ? B. bac ? C. cba ? D. abc ? 7 设 nS 是等比数列 ?na 的前 n 项和， 425SS? ，则 3825aaa?的值为（ ） - 2 - A. 2? B. 2 C. 2? 或 2 D. 21 8 若把函数 )32sin(3)( ? xxf 的图象向右平移 )0( ? 个单位后所得图象关于坐标原点对称，则 ? 的最小值为（ ） A. 6? B. 12? C. 3? D. 4? 9 三棱锥 D ABC? 及其正视图和侧视图如 下图所示，且顶点 , , ,ABCD 均在球 O
4、 的表面 上，则球 O 的表面积为（ ） A 32? B 36? C 128? D 144? 10 下列命题中 ,正确命题的个数为 （ ） 若 ,则 或 ” 的逆否命题为 “ 若 且 ,则 ； 函数 的零点所在区间是 ； 是 的必要 不充分 条件 A 0 B 1 C 2 D. 3 11 若圆 ? ? ? ?22 235x y r? ? ? ?上有且只有两个点到直线 4 3 2 0xy? ? ? 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是 ( ) A. )6,4( B. ? ?6,4 C. )5,4( D. ? ?5,4 12 已知平面 ? 平面 ? ， l? ，点 lAA ? ,? ，直线 lA
5、B/ ，直线 lAC? ，直线 ? /,/ mm ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. ?AB B. mAC? C. ?/AB D. mAB/ 二、填空题 （共 4题，每小题 5 分，共 20分） - 3 - dcba ?则13 已知实数 x ， y 满足?02306203yxyxyx 则z x y? 的最小值为 _ 14 若关于 x 的不等式 062 ? mxx 对任意 ? ?1,0?x恒成立，则实数 m 的取值范围 是 _ 15 已知实数 cba, 成等差数列，且公差为 1； dcb, 成等比数列，且 ,0?b 的最小值为 16 在 ABC? 中，已知 ?60,2,1 ? A
6、ACAB ，若点 P 满足 ACABAP ? ， 且1?CPBP ，则实数 ? 的值为 _ 三、解答题 （本题共 6 题，共 70 分） 17 （本小题 10分） 已知函数 ? ? 2 2 c o s s in 14f x x x ? ? ? （ 1） 求4f ?的值 ； （ 2） 求 ?fx在区间 0,2?上的最大值和最小值 18 （本小题 12分） 已知函数 1232)( ? xxxf （ 1） 求不等式 8)( ?xf 的解集； （ 2） 若关于 x 的不等式 13)( ? mxf 有解，求实数 m 的取值范围 19 （本小题 12分） - 4 - 如图，已知四棱锥 P ABCD? 中
7、， 底面 ABCD 为菱形 ， PD? 平面 ABCD ， E 为 PB 上任意一点 （ 1）证明：平面 EAC? 平面 PBD ； （ 2）试确 定点 E 的位置 ， 使得四棱锥 P ABCD? 的体积等于三棱锥 P ACE? 体积的 4倍 20 （本小题 12分） 数列 ?na 满足 111, 2 3nna a a? ? ? ?. （ 1） 证明 ? ?1na? 是等比数列，并求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 已知符号 函数?0,10,00,1)sgn(xxxx 设 )sgn(nnn aab ?，求数列 ?nb的前 100项和 . 21 （本小题 12分） 漳州市博物馆为了保护一件珍
8、贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体 .该博物馆需要支付的总费用由两部分组成： 罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 5.0 立方米，且每立方米液体费用 500 元； 需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保险费用为 4000 元 . （ 1） 求该博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 x 之间的函数关系式； （ 2） 求该博物馆支付总费用的最小值 . 22 （本小题 12分） 已知圆 22: 2 4 3 0C x y x y? ? ? ? ? （ 1） 若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程
9、（ 2）从圆 C 外一点 ? ?11,Px y 向该圆引一条切线，切点为 M ， O 为坐标原点，且有PM PO? ，求使 得 PM 取得最小值的点 P 的坐标 - 5 - 答案： 1.B2.B3.C4.B5.D6.B7.C8.A9 A10.C11 A12.A 13.-5； 14. 5?m ； 15.6； 16.1或 41? 17. （ ）因为 2 2 c o s s in 14 4 2f ? ? ? ?22 2 1 12? ? ? ? 1? （） ? ? 2 2 c o s s in 14f x x x ? ? ? 222 2 c o s s in + c o s 1x x x? ? ?22
10、 sin c o s 2 c o s 1x x x? ? ?sin2 cos2xx? 2sin 2 4x ? 因为 0 2x ? ， 所以 524 4 4x? ? ? ? ? 所以 2 sin 2 124x ? ? ? ?故 1 2 sin 2 24x ? ? ? ?当 2,42x ? 即 8x ? 时， ?fx有最大值 2 当 52,44x ? 即 2x ? 时， ?fx有最小值 1? 18. 解：（ ）不等式 f（ x） 8，即 |2x+3|+|2x 1| 8， 可化为 或 或 ， ? 解 得 x ，解 得 x ，解 得 x ， 综合得原不等式的解集为 x|- （ ）因为 f （ x） =
11、|2x+3|+|2x 1| （ 2x+3）（ 2x 1） |=4， 当且仅当 x 时，等号成立，即 f（ x） min=4， ? 又不等式 f（ x） |3m+1| 有解，则 |3m+1|4 ，解得： m 或 m1 19. （） 证明： PD ? 平面 ABCD ，平面 ABCD ， PD AC? ， 又底面 ABCD 为菱形 ， BD AC? ， PD BD D? ， PD? 平面 PBD ， BD? 平面 PBD ， AC? 平面 PBD ， - 6 - 又 AC? 平面 EAC ， 平面 EAC? 平面 PBD （）若四棱锥的体积被平面 EAC 分成 3:1 两部分 ， 则三棱锥 E A
12、BC? 的体积是整个四棱锥体积的 14 ， 设三棱锥 E ABC? 的高为 h ， 底面 ABCD 的面积为 S ， 则 1 1 1 13 2 4 3S h S PD? ? ? ? ? ?，由此得 12h PD? ， 故此时 E 为 PB 的中点 20 （ ）因为 1 23nnaa? ? ? ， 所以 1 1 2 2 211nnaa? ? ? ? ? ?， 所以数列 ? ?1na? 是公比为 2? ，首项为 2? 的等比数列 . 故 ? ?12nna ? ? ? ，即? ?21nna ? ? ? . （ ） ? ? ? ? ?2 1 ,s g n 2 1 ,nn n n nnb a an? ?
13、 ?为 偶 数为 奇 数数列的 ?nb 前 100项和 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 9 9 1 0 0100 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 1 0 0 1 0 12 2 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ?. 21. 解：（ ）由题意设支付的保险费用1 ky x?，把 2x? ， 1 4000y ? 代入，得 8000k? . 则有支付的保险费用1 8000y x?（ 0.5x? ） 故总费用 ? ? 8 0 0 0 8 0 0 05 0 0 0 .5 5 0 0 2 5 0y x xxx? ? ? ? ?
14、?，（ 0.5x? ） （ ）因为 80005 0 0 2 5 0yx x ? ? ? 80002 5 0 0 2 5 0 3 7 5 0xx? ? ?当且仅当 8000500x x? 且 0.5x? ， 即 4x? 立方米时不等式取等号， 所以，博物馆支付总费用的最小值为 3750元 . 22. 解： （ 1）圆 ? ? ? ?22: 1 2 2C x y? ? ? ?，所以圆心 ? ?1,2C? 切线过原点，由题知，此时切线斜率必定存在，设 y kx? 则22 21k k? ? ，解得 26k? 或 26? 切线不- 7 - 过原点，设 x y a? ，则 22 22 a? ? ? ?，解
15、得 1a? 或 3 综上所述：切线方程为? ?26yx? 或 10xy? ? ? 或 30xy? ? ? （ 2 ） 因 为 2211PM PO x y? ? ?，且 2 2 2|r PM CP? ，即? ? ? ?22221 1 1 11 2 2x r x y? ? ? ? ? ?， 整 理 得 112 4 3 0xr? ? ? ，则 1132 2xy?， 所 以222 2 2 2 21 1 1 1 13 3 9| | 2 52 5 2 0P M P O x y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当135y?时， 2min 9| 20PM ? ，此时 1 310x? 综上所述 P 为 33,10 5?时， PM 最小， 最小值为 3510
