1、 - 1 - 高二第一学期期中考试数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 . 1.有关命题的说法错误的是 （ ） A命题“若 x2-3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若 x 1，则 x2-3x+2 0” B“ x=1”是“ x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C若 p?q为假命题，则 p、 q均为假命题 D对于命题 p: ? x R，使得 x2+x+1 0，则:px? R，均有 x2+x+1 0 2 等差数列9963741 9,27,39, Saaaaaaa n 项和则前已知中 ?的值为（ ） A 66 B 99 C 144 D 297 3.已知命
2、题:,p x R?使得1 2,x?命题2: , 1 0q x R x x? ? ? ? ?，下列命题为真的是 A（)pq?B p?q C()?D( ) ( )pq? ? ?4.已知点(3,2)在椭圆221xyab?上 ， 则 ( ) A 点3, 2)?不在椭圆上 B 点?不在椭 圆上 C 点( 3,2)在椭圆上 D 无法判断点( ,，(, 2)，3,?是否 在椭圆上 5.已知实数yx,满足? ?10 ? aaa yx，则下列关系式恒成立的是（ ） 33. yx ?yx sinsin. ? ? ? ?1ln1ln. 22 ? yx111. 22 ? yxD6.在等比数列 ?na 中，若 4a ，
3、 8a 是方程 2 4 3 0xx? ? ? 的两根，则 6a 的值是 A. 3? B. 3 A. 3? A. 3? 7.抛物线2xy上到直线04 ? y距离最近的点的坐标是（ ） A(1,1)B? 41,1C.? 91,1D（ 2,4） 8.变量 x， y 满足约束条件3 6 02030xyxyy? ? ? ? ?，则目标函数 z=y-2x的最小值为（ ） A 1 B 2 C -4 D -7 - 2 - 9.如图所示，空间四边形 OABC 中， cOCbOBaOA ? , ，点 M 在 OA 上，且2OM MA? ， N 为 BC 中点，则 MN 等于（ ） A. cba 213221 ?
4、B. cba 212132- ? C. cba 322121 ? D. cba 213232 ? 10.已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0b? ）的一条渐近线过点 (2, 3) ， 且双曲线的一个焦点在抛物线 2 47yx? 的准线上，则双曲 线的方程为 A. 22134xy? B. 22143xy? C. 22121 28xy? D. 22128 21xy? （第 9题图） 11.下列命题正确的个数是（ ） （ 1） 已知( 2,0)M?、,0)N，| | | | 3PM PN?， 则动点P的轨迹是双曲线左边一支 ； （ 2） 在平面直角坐标系内，到点 (1,1)和直线 x 2y
5、 3的距离相等的点的轨迹是 抛物线； （ 3） 设定点1(0, )F，2(0, 2)?，动点 P满足条件12 4 ( 0)PF PF a aa? ? ? ?，则点 P的轨迹是 椭圆。 A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个 12. 已知椭圆1?（0ab?），F（ c， 0）为椭圆右焦点，?)0,c( 2a 为 x 轴上一点，若椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 A )1,12 ? B 22,0，（ C 210，（ D )1,21 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.已知方程2 1x ym表示的曲线是焦点在x轴上且离心
6、率为1的椭圆，则m?14.已知向量 (1,1, )ax? ， (1,2,1)b? ， (1,2,3)c? 满足 ( ) 1c a b? ? ? ，则 x? . 15.设经过点? ?2,1?的等轴双曲线的焦点为12,FF，此双曲线上一点N满足1 2F NF?，则NFF?的面积 _ 16.下列命题中 : ABC中，BABA sinsin ?- 3 - 数列?na的前n项和2 21nS n n? ? ?，则数列?na是等差数列 锐角三角形的三边长分别为 3， 4，a，则 的取值范围是57 ?a 若22nnSa?，则?n是等比数列 真命题的序号是 三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤 . 17.（本小题满分 10分）设锐角三角形ABC的内角CBA ,的对边分别为, cbaAba sin2?（ ） 求 B的大小； （ ） 求CA sincos ?的取值范围。 18.设命题 p ：方程 2212 3 1xykk?表示双曲线；命题 q ：斜率为 k 的直线 l 过定点 ? ?2,1,P?且与抛物线 2 4yx? 有两个不同的公共点若 pq? 是真命题，求 k 的取值范围 19、 (本题满分 12分） 已知双曲线方程为 2216 9 144xy?. （ 1）求该双 曲线的实轴长、虚轴长、离心率； （ 2）若抛物线 C 的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线 C
8、 的方程 . 20.（本小题满分 12分） 已知 ?na 是等差数列 ， ?nb 是各项均为正数的等比数列 ， 且 111ab? ， 2 3 32a a b? ，5237ba?. （ ）求 ?na 和 ?nb 的通项公式； （ ）设 n n nc a b?， *nN? ， 求数列 ?nc 的前 n 项和 nS . 21.（本小题满分 12分） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， PA? 平面 ABC ， AB AC? . （）求证： AC PB? ； （）若 2AB AC AP? ? ?，设 D ， E 分别为棱 AC ， AP 的中点， F 为 ABD? 内一点，DBACPEF- 4 - 且
9、满足 1 ()3DF DA DB?，求直线 BD 与 EF 所成角的余弦值 . 22. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 22 ，且过点 23,22P?，动直线 l ： mkxy ? 交椭圆 C 于不同的两点 A ， B ，且 0OA OB?（ O 为坐标原点） （ 1）求椭圆 C 的方程 . （ 2）是讨论 2232mk? 是否为定值，若是，求出这个 定值，若不是，说明理由。 - 5 - 高二年级数学（理科）答案 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 . 1 2 3
10、 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B C A B A D B D A D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13. 43 14. 6 14. 15 16. 三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 10分） 解：（ 1）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ? 4分 （ 2） ? 8 分 由 为锐角三角形知，,32A ?故25,3 3 6A ? ? ? 9分 所以 由此 ，所以 的取值范围为 ? 12分 18. （本小题满分 12 分） 解： 命题 真，则 ，解得 或 ， ? 4分 命题
11、为真，由题意，设直线 的方程为 ，即 ， - 6 - 联立方程组 ，整理得 ， 要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足 ， 解得 且 ? 9分 若 是真命题，则 所以 的取值范围为 ? 12分 19. （本小题满分 12 分） 解： （ 1）双曲线方程为 16x2-9y2=144， 可得 a=3， b=4， c= =5， ? 3分 则双曲线的实轴长为 2a=6、虚轴长 2b=8、离心率 e=； ? 6分 （ 2）抛物线 C的顶点是该双曲线的中心（ 0， 0），而焦点是其左顶点（ -3， 0）， 设抛物线 C的方程为 y2=-2px（ p 0）， - = -3，解得 p=6.? 10分 则抛物线
12、 C的方程为 y2=-12x ? 12 分 20.（本小题满分 12分） 解： （ ）设 ?na 的公差为 d,?nb 的公比为 q,由题意 0q? , 由已知 ， 有 242 3 2,3 10,qdqd? ? ?消去 d得 422 8 0,qq? ? ? 解得 2, 2qd? ,所以 2 1,na n n ? ? ?N， 12,nnbn?N? 5分 （ ）由（ I）有 ? ? 12 1 2nncn ? ,设 nc 的前 n项和为 nS ,则 - 7 - ? ?0 1 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 ,nnSn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 32 1 2 3
13、2 5 2 2 1 2 ,nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两式相减得 ? ? ? ?231 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3 ,n n nnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ?2 3 2 3nnSn? ? ? .? 12 分 21.（本小题满分 12分） (1)略 （ 2） 70703 （写 - 70703 的不扣分） 22.（本小题满分 12分） 解： （ 1）由题意可知 22ca? ，所以 ? ?2 2 2 222a c a b? ? ?，即 222ab? ， 又点 23,22P?在椭圆上，所以有2223144ab?， 由 联立
14、，解得 2 1b? ， 2 2a? ， 故所求的椭圆方程为 2 2 12x y?.? 5分 （ 2）设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，由 0OA OB?， 可知 1 2 1 2 0x x y y?. 联立方程组 22, 1,2y kx mx y?消去 y 化简整理得 ? ?2 2 21 2 4 2 2 0k x km x m? ? ? ? ?， 由 ? ? ?2 2 2 21 6 8 1 1 2 0k m m k? ? ? ? ? ?，得 2212km?，所以12 2412kmxx k? ? ? ?，212 22212mxx k? ?， 又由题 知 1 2 1 2 0x x y y?， 即 ? ? ?1 2 1 2 0x x kx m kx m? ? ? ?， - 8 - 整理为 ? ? ? ?221 2 1 210k x x k m x x m? ? ? ? ?.? 9分 将 代入上式，得 ? ? 222222 2 41 2 1 2m k mk k m mkk? ? ? ? ?化简整理得 2223 2 2 012mkk? ?，从而得到 223 2 2mk?.? 12分
