1、 1 2017-2018 学年度第一学期期中考试 高二级 数学试题（文科） 时间： 100 分钟 总分： 150 分 一、选择题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.抛物线 2yx? 的焦点坐标是 （ ） A.(1,0) B. 1(0, )8 C. 1( ,0)4 D. 1(0, )4 2.命题 “ 存在实数 x ，使 1x? ” 的否定是 ( ) A.对任意实数 x ，都有 1x? B.不存在实数 x ，使 1x? C.对任意实数 x ，都有 1x? D.存在实数 x ，使 1x? 3.物体运动时位移 s 与 时间 t 的
2、函数关系是 2-2 8s t t?， 此物体在 某 一时刻的速度为 0，则相应的时刻为（ ） A. 0t? B. 1t? C. 2t? D. 4t? 4.抛物线 )0(22 ? ppxy 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 ?p （ ） A.1 B.2 C.4 D.6 5.已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处 ， 已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是 ( ) A 11.25 cm B 5.625 cm C 20 cm D 10 cm 6.已知命题 “ 若直线 l 与平面 ? 垂直 ， 则直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线垂
3、直 ”， 则其逆命题、否命题 、 逆否命题中，真命题的个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 7.已知椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?， M 为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点，则线段 1MF的中点 P 的轨迹是 ( ) A 椭圆 B 圆 C 双曲线的一支 D 线段 8.已知命题 : ,2 3xxp x R? ? ?； 命题 32: , 1q x R x x? ? ? ?， 则下列命题中为真命题的 ( ) A pq? B pq? C pq? D pq? 9.双曲线 22 1yx m?的离心率大于 2 的 充分不必要 条件是 ( ) 2 A 12m? B 1m? C
4、 1m? D 2m? 10.已知函数 ? ? xxxf cossin ? ，且 ? ? ? ?xfxf 21? ，则 x2tan 的值是（ ） A. 32? B. 34? C.34 D.43 11.双曲线 2222: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3 ，则 C 的焦距等于 （ ） A 2 B.22 C 4 D 42 12.若函数 ()fx在 R 上可导，且 2( ) 2 (2) 3f x x f x? ? ?， 则 ( ) A (0) (4)ff? B (0) (4)ff? C (0) (4)ff? D 以上都不对 13.已知 过 抛
5、物线 C ： 2 2 ( 0)y px p?的 焦点 F 的直线交抛物线于点 A 、 B ，交其准线于点 C ， 若 2BC BF? （其中点 B 位于 A 、 C 之间 ），且 4AF? ，则 此抛物线的方程为（ ） A. 2 2yx? B. 2 6yx? C. 2 4yx? D. 2 8yx? 14. 如果对于任意实数 ?,xx表示不超过 x 的最大整数，那么 “ ? ? ? ?=xy” 是 “ 1xy?成立 ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，满分 20 分 .把答 案填写在答题卡相
6、应的位置 .） 15.若 “ 任意 0, tan4x x m?，” 是真命题，则实数 的最小值为 _. 16.设曲线xye?在点（ 0,1）处的切线与曲线1( 0)x?上点 ?处的切线垂直，则 ?的坐标为 17.已知椭圆 2 2 14x y?的焦点为 1F 、 2F ，设点 M 在长轴 12AA 上，过点 M 作垂直于 12AA的直线交椭圆于 P ，则使得 120PF PF?的 M 点的横坐标取值范围是 _. 18.函数 2( 0)y x x?的图象在点 2( , )nnaa 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 1,nan? 为正3 整数 ，若 1 16a? ， 则 1 3 5+a a a?_
7、. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本 大 题共 5 小题，共 60 分） 19.（本小题满分 12 分） 设 ?na 是公比为正数的等比数列， 1 3 22, 4a a a? ? ?. (1)求 ?na 的通项公式； (2)设 ?nb 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 ? ?nnab? 的前 n 项和 nS . 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 32()f x ax bx?的图 像 经过点 (1,4M ） ，曲线 ()fx在点 M 处的切线恰好与直线9 =0xy? 垂直 (1)求实数 ,ab的值； (2)求 在 函数 ()fx图 像 上 任意一点 处切
8、线的斜率的取值范围 21.（本小题满分 12 分） 设函数 ? ? ,xcosxsinxf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2xfxfxfxg ? . (1)求函数 ?xg 的周期和最大值； (2)求函数 ?xg 的单调增区间 . 22.（本小题满分 12 分） 已知过抛物线 2 8yx? 的焦点 ， 斜率为 22的直线交抛物线于 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y x x?两点 . (1)求 线段 AB 的长度 ； (2)O 为坐标原点 ,C 为抛物线上一点 ， 若 +OC OA OB? ， 求 ? 的值 4 23.（本小题满分 12 分） 如图
9、，椭圆 C ： 22 1 ( 0)xy abab? ? ? ?的右焦点为 F ，右顶点、 上顶点分别为点 A 、 B ，且 5| | | |2AB BF? . (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0,2) ，且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点， OP OQ? .求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 . 5 长安一中 2017-2018 学年度第一学期期中考试 高二级 数学参考答案（文科） 一、选择题： 1-5.DACBB 6-10.DABDD 11-14. CCCA 二、填空题 ： 15 1 16. ? ?,117. 2 6 2 633(- , ) 18
10、. 21 三、解答题： 19.（ 12 分 ） 解： (1)设 q 为等比数列 an的公比，则由 a1 2， a3 a2 4 得 2q2 2q 4，即 q2 q 2 0，解得 q 2 或 q 1(舍去 )，因此 q 2. 所以 an的通项为 an 22 n 1 2n(n N*)? 6 分 (2)Sn 2n1 2 n1 n n2 2 2n 1 n2 2. ? 12 分 20. （ 12 分 ） 解 (1)因为 y f(x) 3ax2 2bx. f(x) ax3 bx2的图象过点 M(1,4)， a b 4. 又 曲线在点 M 处的切线与直线 x 9y 0 垂直， f(1) 9， 3a 2b 9.
11、 由? a b 43a 2b 9 得， ? a 1b 3 .? 8 分 (2)由 (1)知 y f(x) 3ax2 2bx 3x2 6x 3(x 1)2 3 3. ? 12 分 21.（ 12 分 ） 解：（ 1）因为： ( ) cos sinf x x x?所以 ： 2( ) ( s i n c o s ) ( c o s s i n ) ( s i n c o s )g x x x x x x x? ? ? ? ?即 ( ) cos 2 sin 2 1g x x x? ? ? ( ) 2 sin (2 )+ 14g x x ? 3 分 所以 2 =2T ? ? ，当 2 2 ,42xk?
12、? ? ? 即 ()8x k k Z? ? ?时 sin(2 )4x ? 取得最大值 1，此时函数 ()gx取得最大值 2+1 ? 6 分 （ 2）由 - + 2 2 + 2 ,2 4 2k x k? ? ? ? ?解得： 3- + + ( ),88x k k Z? ? ? 9 分 所以函数 ()gx的单调递增区间为 3- + ( )88k k k Z?，? 12 分 22.（ 12 分 ） 6 解： (1)直线 AB 的方程是 y 2 2（ x-2） ， 与 y2 8x 联立 ， 消去 y 得 x2 5x 4 0， 由根与系数的关系得 x1 x2 5.由抛物线定义得 |AB| x1 x2 p
13、 9， ? 6 分 (2)由 x2 5x 4 0， 得 x1 1， x2 4， 从而 A(1， 2 2)， B(4， 4 2) 设 OC (x3， y3) (1， 2 2) (4， 4 2) (4 1， 4 2 2 2)， ? 10 分 又 y23 8x3， 即 2 2(2 1)2 8(4 1)， 即 (2 1)2 4 1， 解得 0 或 2. ? 12 分 23.（ 12 分 ） 解：（ 1）由已知 5| | | |2AB BF? ，即 22 52a b a? ， 2 2 24 4 5a b a?， 2 2 2 24 4( ) 5a a c a? ? ?， 32ce a? .? 4 分 （
14、2）由 （ 1）知 224ab? ， 椭圆 C ： 2214xybb?.设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ， 直线 l 的方程为 2 2( 0)yx? ? ? ，即 2 2 0xy? ? ? .? 5 分 由 2 2 222222 2 04 ( 2 2 ) 4 014xyx x bxybb? ? ? ? ? ? ? ?，即 2217 32 16 4 0x x b? ? ? ?. 22 2 1 73 2 1 6 1 7 ( 4 ) 0 17bb? ? ? ? ? ? ? ?. 123217xx? ? ， 212 16 417 bxx ? .? 8 分 OP OQ? ， 0OP OQ?， 即 1 2 1 2 0x x y y?， 1 2 1 2(2 2 )(2 2 ) 0x x x x? ? ? ?， 1 2 1 25 4( ) 4 0x x x x? ? ? ?. 从而 25(1 6 4 ) 1 2 8 401 7 1 7b? ? ? ?，解得 1b? 椭圆 C 的方程为 2 2 14x y?.? 12 分
