1、 1 重庆市万州区 2017-2018学年高二数学上学期期中试题 注意事项： 1.选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号 . 2.非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 . 3.有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 . 本试卷分第卷和第卷，共 150 分 .考试时间 120分钟 第 I卷（选择题，共 60分） 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 )在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答 案必须答在答题卡上相应的位置） 1 “ 1x?
2、” 是 “ 2 10x ? ” 的 ( ) A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 2 已知经过点 ? ?3,Pm和点 ? ?,2Qm? 的直线的斜率等于 2 ，则 m 的值为（ ） A. 43 B. 1 C. 2 D. 1? 3直线 013 ? yx 的倾斜角为（ ） A 3? B 6? C 32? D 65? 4下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A. B. C. D. 5 如图所示的直观图中， OA=OB=2 ，则其平面图形的面积是 ( ) A.4 B. 24 C. 22 D.8 221C 4 4 7 0x y x y? ?
3、? ? ?： ，6 两圆222C 4 1 0 1 3 0x y x y? ? ? ? ?：的公切线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7若直线 ? ?2 2 0 0 , 0ax by a b? ? ? ? ?被圆 22 2 4 1 0x y x y? ? ? ? ?截得的弦长为2 4， 则 14ab? 的最小值是（ ） A.16 B.9 C.12 D.8 8已知 ,AB是球 O 的球面上两点， 60AOB? ? ? ， C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC? 体积的最大值为 1633 ，则球 O 的表面积为（ ） A 36? B 64? C 144? D 256? 9如图所示，
4、正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，以下四个结论中正确的是（ ） A直线 MN与 BC1所成角为 90 B直线 AM与 BN 互相平行 C直线 MN与 DC1互相垂直 D直线 MN垂直于平面 A1BCD1 10. 在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 , 已知? ? ? ? ? ? ? ?2 , 0 , 0 2 , 2 , 2 0 , 2 , 0 1 , 1 , 2A B C D， ， ，. 若 1 2 3,S S S 分 别 是 三 棱 锥D ABC? 在 ,xOy yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则 （ ） A. B.
5、 C. D. 11已知某几何体的外接球的半径为 ，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为 （ ） A. 16 B. 163 C. 83 D. 8 12 (文科做 )已知圆 ? ? ? ?22: 3 4 1C x y? ? ? ?和两点 ? ?,0Am? ，? ? ?,0 0B m m ? ，若圆 C 上存在点 P ，使得 90APB?，则 m 的最大值为（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 12. （理科做） 如 果 直 线 ? ?2 1 4 0 0 , 0a x b y a b? ? ? ? ?和 函 数? ? ? ?1 1 0 , 1xf x m m m? ? ? ?的图象
6、恒过同一个定点，且该定点始终落在圆? ? ? ?221 2 2 5x a y b? ? ? ? ? ?的内部或圆上，那么 ba 的取值范围是（ ） A ? 3443，B ? 3443，C ? 3443，D ? 3443，第 II卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 3 13 命题 20 0 0: , - 2 1 0p x R x x? ? ? ?是 _命题（选填 “ 真 ” 或“ 假 ” ） 14 如 右 图 ,直四棱柱 1 1 1 1-ABCD ABC D的底面是边长为 1的正方形 ,侧棱长 1=2AA ,则异面直线 11AB 与 1BD 的
7、夹角大小等于 。 15.（文科做） 已知三条直 线 2 8 0 , 4 3 1 0ax y x y? ? ? ? ?和 2 10xy?中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数 a 的值为 _ 15 （理科做） 已知点 ? ? ? ?2,0 , 0,2AB? ，若点 C 是圆 2220x x y? ? ? 上的动点，则ABC 面积的最小值为 16 （文科做） 在三棱锥 P-ABC 中侧棱 PA， PB， PC 两两垂直， Q 为底面 ABC 内一点，若点 Q到三个侧面的距离分别为 3,4,5，则过点 P和 Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为 . 16 （理科做） 已知 AC B
8、D、 为圆 22:9O x y?的两条相互垂直的弦，垂足为(1, 3)M ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。 三、解答题（ 本大题共 6个小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17（本小题满分 10分）知命题 ? ? 2: 1, 2 , 0p x x a? ? ? ? ?，命题 :q x R? ， 使 2 (2 ) 1 0x a x? ? ? ?.若命题“ p且 q”为真命题，求实数 a的取值范围 . 18（本小题满分 12 分） 如图所示是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图 (单位 :cm). (1)在正视图下面 ,按照画三视图的要求画出
9、该 多面体的俯视图 ; (2)按照给出的数据 ,求该多面体的体积 . 19（本小题满分 12 分）如图， ABC? 的顶点 (3,2)A ， C? 的平分线 CD 所在直线方程为 10y? ， AC 边上的高 BH 所在直线 方程为 4 2 9 0xy? ? ? （ 1）求顶点 C 的坐标； （ 2）求 ABC? 的面积 20. （本小题满分 12 分） 已知圆 C： x2 y2 2x a 0 上存在两点关于直线 l： mx y 1 0对称 4 (1)求实数 m的值； (2)若直线 l与圆 C交于 A， B两点， OA OB 3(O为坐标原点 )，求圆 C的方程 21 （本小题满分 12 分）
10、 如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD，侧棱 PA=PD= ，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD， AB AD， AD=2AB=2BC=2， O为 AD 中点 （ 1）求证： PO 平面 ABCD； （ 2）求异面直线 PB与 CD所成角的余弦值； （ 3）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 22 （本小题满分 12分） （文科做） 已知圆 O： x2 y2 9及点 C(2， 1) (1)若线段 OC的 垂直平分线交圆 O于 A， B两点，试判断四边形 OACB的形状，并给予证明； (2)
11、过点 C的直线 l与圆 O交于 P， Q两点，当 OPQ的面积最大时，求直线 l的方程 （理科做） 已知圆 C1： (x 1)2 y2 1和圆 C2： (x 4)2 y2 4. (1)过点 P( 2， 2)引圆 C2的两条割线 l1和 l2，直线 l1和 l2被圆 C2截得的弦的中点分别为 M， N，求过点 P， M， N， C2的圆被直线 PC1所截的弦长； (2)过圆 C2上任意一点 Q(x0， y0)作圆 C1的两条切线，设两切线分别与 y轴交于点 S， T，求线段 ST长度的取值范围 .参考答案 1 A 2 A 3 D 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C 11 C
12、 12 (文科 )B（理科） C 13 真 14 60 15 (文科 ) 1 （理科） 32? 16（文科） 50?（ 理科） 14 17【解析】若 p 为真，则 2xa? 在 ? ?2,1?x 上恒成立，即 0?a 若 q 为真，则 04)2( 2 ? a ， 即 04 ? aa 或 命题“ p且 q”为真命题 ， 即 p 为真且 q 为真， 故 a 的取值范围为 ? ? ? ?04, ? 18 (1)加上俯视图后的三视图如图所示 . (2)该多面体的体积 V=V 长方体 -V 三棱锥 =446 - ( 22)2= (cm3). 19 【解析】（ 1） AC BH? ， 12ACk ?，直线
13、 AC 的方程为 1122yx?， 由 112210yxy? ? ?， 11xy? ?， (1,1)C （ 2）由 12BC ACkk? ? ? ?，所以直线 BC 的方程为 1322yx? ? ， 由 4 2 9 01322xyyx? ? ? ? ? ?212xy? ?， 1(2, )2B 22| | (3 1) ( 2 1) 5AC ? ? ? ? ?， 又点 B 到直线 AC 的距离 25d?， 1 | | 12ABCS AC d? ? 20.【解析】 (1)圆 C的方 程为 (x 1)2 y2 1 a，圆心 C( 1， 0) 圆 C上存在两点关于直线 l： mx y 1 0对称， 直线
14、 l： mx y 1 0过圆心 C， m 1 0，解得 m 1. (2)联立?x2 y2 2x a 0，x y 1 0， 消去 y，得 2x2 4x a 1 0， 16 8(a 1)0， a1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 2， x1x2 a 12 ， y1y2 ( x1 1)( x2 1) a 12 1， OA OB x1x2 y1y2 a 1 1 a 3， 圆 C的方程为 x2 y2 2x 3 0. 21【解析】（ 1）证明：在 PAD卡中 PA=PD， O为 AD 中点，所以 PO AD 又侧面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=A
15、D， PO?平面 PAD， 所以 PO 平面 ABCD （ 2）解：连接 BO，在直角梯形 ABCD中， BC AD， AD=2AB=2BC， 有 OD BC且 OD=BC，所以四边形 OBCD是平行四边形， 所以 OB DC 由（ 1）知 PO OB， PBO为锐角， 所以 PBO是异面直线 PB与 CD所成的角 因为 AD=2AB=2BC=2，在 Rt AOB中， AB=1， AO=1，所以 OB= ， 在 Rt POA中，因为 AP= ， AO=1，所以 OP=1， 在 Rt PBO中， PB= ，所以 cos PBO= ， 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为 （ 3）解：
16、假设存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为 设 QD=x，则 S DQC= x，由（ 2）得 CD=OB= ， 在 Rt POC中， PC= ， 所以 PC=CD=DP， S PCD= = ， 由 Vp DQC=VQ PCD，得 x= ，所以存在点 Q满足题意，此时 = 22. （ 文科做 ） 【解析】 (1)四边形 OACB为菱形，证明如下： 易知 OC 的中点为 ? ?1， 12 ， 直线 OC 的斜率 为 12，故 OC的垂直平分线为 y 2x 52，代入 x2 y2 9，得 5x2 10x 1140， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x22 1， y1 y22 21 52 12， AB的中点为 ? ?1， 12 ， 四边形 OACB为
