1、 【题型综述题型综述】 用导数研究函数的单调性用导数研究函数的单调性 (1)用导数求函数的单调区间 求函数的定义域D求导 ( ) fx解不等式 ( ) fx 0 得解集P求DP,得函数的单调递增 (减)区间 一般地,函数( )f x在某个区间可导, ( ) fx0( )f x在这个区间是增函数 一般地,函 数( )f x在某个区间可导, ( ) fx0( )f x在这个区间是减函数 (2)单调性的应用(已知函数单调性) 一般地,函数( )f x在某个区间可导,( )f x在这个区间是增(减)函数 ( ) fx( )0。 常用思想方法:来源:ZXXK 函数在某区间上单调递增,说明导数大于或等于零
2、恒成立 ,而函数在某区间上单调递减,说明导数小 于或等于零恒成立 【典例指【典例指引】引】 例 1已知函数 2 21lnf xaxaxx, Ra 若曲线 yf x在点 1,1f处的切线经过点2,11,求实数a的值; 若函数 f x在区间2,3上单调,求实数a的取值范围来源:Z+X+X+K 【思路引导】 (1)根据题意,对函数f x( )求导,由导数的几何意义分析可得曲线yf x ( ) 在点11f(,()处的切线 方程,代入点211( ,),计算可得答案; (2)由函数的导数与函数单调性的关系,分函数在(2 3 , )上单调增与单调减两种情况讨论,综合即可得答 案; 若函数 f x在区间2,3
3、上单调递增,则210yax 在2,3恒成立, 410 610 a a ,得 1 4 a ; (2) 根据函数在区间上单调递增, 可转化成 , 对恒成立, 将参数 a 分离, 转化成当时,不等式恒成立,利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值,进而得实 数 a的范围 【新题展示新题展示】 1 【2019 贵州遵义联考】已知函数. (1)当时,求函数的极值; (2)若函数在区间上是减函数,求实数 的取值范围. 【思路引导】 (1)当时,利用函数的导数,求得函数的单调区间,由此求得函数的极值. (2)依题意可知函数在区间上的导函数为非正数,列不等式后利用分离常数法,求解出 的取值范 围. 【解析】
4、(1)当时, , , 由解得,由解得, 故当时,的单调递增;当时,单调递减, 当时,函数取得极大值,无极小值. 2 【2019 陕西西安市期末】已知函数 (1)求的极值; (2)若函数在定义域内为增函数,求实数 的取值范围. 【思路引导】 (1)由已知可得,求出其导函数,解得导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,求得函数的单 调区间,进一步求得极值 (2)由函数在定义域内为增函数,可得恒成立,分离参数 ,利用基本不等式求 得最值可得答案 【解析】 (2), 由题意可知恒成立,即 时,当且仅当时等号成立,故,则 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 2 lnf xxaxaR (1)若 yf
5、x的图像在2x 处的切线与x轴平行,求 f x的极值; (2)若函数 1g xf xx在0,内单调递增,求实数a的取值范围 【思路引导】 (1)求出 fx,由 1 240 2 fa求得 1 8 a ,研究函数的单调性,即可求得 f x的极值; (2) 化 简 2 ln1g xxaxx, 可 得 2 21 0 axx gxx x , 对 求 实 数a分 三 种 情 况 000aaa,讨论,分别利用导数研究函数的单调性,验证函数 g x在0,内是否单调递增即可 得结果 (2) 2 ln1g xxaxx,则 1 21gxax x 2 21 0 axx x x 设 2 21h xaxx, 当0a 时,
6、 1x gx x ,当01x时, 0gx,当1x 时, 0gx,所以 g x在0,1 内单调递增,在1,内单调递减,不满足条件; 当0a 时, 2 21h xaxx是开口向下的抛物线,方程 2 210axx 有两个实根,设较大实根为 0 x当 0 xx时,有 0h x ,即 0gx,所以 g x在 0, x 内单调递减,故不符合条件; 当0a 时,由 0gx可得 2 210h xaxx 在0,内恒成立, 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围,本题(2)是利用方法求解的 5己知函数 2 x x f x e , 1 h xx x (I)求函数 0 xf xh x在,上零点的个数; (II)设
7、 2 11 | | 22 g xf xh xf xh xcx ,若函数 g x在0,上是增函数,求实数 c的取值范围 【思路引导】 (1)先求得 2 21 1 ex xx x x , 2x 时, 0 x恒成立,可证明02x时, 0 x, 可得 x在0,上单调递减,根据零点定理可得结果; (2)化简 g x为分段函数 2 0 2 2 0 1 ,0, , ex xcxxx x x cxxx ,利用导数研究函数的单调性,讨论两种情况,分别分离参数求最值即可求得实 数c的取值范围 (II)由()知:当 0 0,xx时, x0,当 0, xx时, x0 当0 x 时, 2 11 22 g xf xh x
8、f xh xcx = 2 0 2 2 0 1 ,0, , ex xcxxx x x cxxx 求导,得 0 2 0 1 12,0, 2 2,. ex cxxx x gx xx cx xx 由于函数 g x在0,上是增函数, 故 0gx在 0 0,x, 0, x 上恒成立 当 0, xx时, 2 2 ex xx cx 0 在 0, x 上恒成立, 即 2 2 ex x c 在 0, x 上恒成立, 记 2 ex x u x , 0 xx,则 3 ex x ux , , 所以, u x在 0,3 x上单调递减,在3,上单调递增, u x min= u x极小值= 3u 3 1 e , 故“ 2 2
9、 ex x c 在 0, x 上恒成立”,只需 min2cu x 3 1 e ,即 3 1 2e c 6已知函数 32 ,1,1f xxaxbxcyf xPf且曲线在点处的切线方程为 y=3x+1 (1) 若函数 2f xx 在处有极值,求 f x的表达式; (2) 若函数 yf x在区间2,1上单调递增,求实数 b 的取值范围 【思路引导】 已知函数在某点处的切线方程,根据导数的几何意义,函数在某点处的导数值即为切线的斜率,曲线与切 线都经过切点,函数的极值点处的导数值为零,列方程组求出, ,a b c; 函数在某区间上单调递增,说明导数大于或等于零恒成立,求出b的范围 【点睛】已知曲线在某
10、点处的切线方程,根据导数的几何意义,函数在某点处的导数值即为切线的斜率, 曲线与切线都经过切点,函数的极值点处的导数值为零,列方程组求出, ,a b c; 函数在某区间上单调递增,说明导数大于或等于零恒成立 ,而函数在某区间上单调递减,说明导数小于或 等于零恒成立来源:Z&xx&k.Com 7已知函数 (1)若函数的图象在处的切线斜率为 1,求实数 的值; (2)若函数在上是减函数,求实数 的取值范围 【思路引导】 (1)先求得,由导数的几何意义得,即可得实数 的值; (2)根据函数的单调性与导数 的关系可得在上恒成立,即,在上恒成立,即在上恒成立,利用 导数求出函数在上的最小值,即可得出结论
11、 试题解析: (1),由已知,解得&网 (2)由 , 得, 由已知函数为上的单调减函数, 则, 在上 恒 成 立 , 即在上 恒 成 立 , 即在上 恒 成 立 ,令在上 ,在上为减函数,&网 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性,属于难题 应用导数的几 何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点求斜率 ,即求该点处的导数 ;(2) 己知斜率 求切点即解方程;(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切 点, 设出切点利用求解 8 (本题 15分)已知函数 2 1 ln , 2 f xxa x aR (I)若 yf x在2x 处的切线方程为y
12、xb,求, a b的值; (II)若 f x在1,上为增函数,求a得取值范围 【思路引导】 (1)利用导数的几何意义布列所求量的方程组即可; (2)因为 f x在1,上为增函数,所以 0 a fxx x 在1,上恒成立,变量分离求最值即可 点睛:高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度: (1)已知切点求切线方程; (2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程;来源:163文库 (3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围 9已知函数 3 1f xxaxaR (I)讨论函数 f x的单调性; ()若函数 f x在区间1,1上单调递减,求实数a的取值范围 【思路引导】 ()首先对函数求导,然后分别
13、讨论0a 和0a 两种情况即可;()结合(I)的结论,得到 1,1, 33 aa ,据此可得3a 10已知函数 2 cossin , 3 f xxxax aR (1)求曲线 yf x在点, 22 f 处的切线方程; (2)若函数 f x在R上单调递增,求实数a的取值范围 【思路引导】 (1)求得函数的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程; (2)函数 f x在R上单调 递增, 可得 0fx 在R上恒成立, 即 2 33 coscos0 45 xax在R上恒成立, 令cos11xtt , 可得 2 4350tat在11t 上恒成立,可令 2 435g ttat,由10g 且 10
14、g,解不等 式即可得到所求范围 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性,属于难题求曲线切线 方程的一般步骤是: (1)求出 yf x在 0 xx处的导数,即 yf x在点P 00 ,xf x出的切线斜 率(当曲线 yf x在P处的切线与y轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为 0 xx) ; (2)由点斜式 求得切线方程 00 yyfxxx 11已知函数 2 12f xaxx (0)a ()若 f x在2,上单调递减,求a的取值范围; ()讨论 f x的单调性来源: 【思路引导】 () 0fx由题可得在2,上恒成立,转化 为 2 1 58 a xx ,构造 2
15、1 58 g x xx , 2,x,求最值即可 () 2 11 221 22 fxax xax x = 2 581 22 axax x ,分 11 0 44 aa 和讨论可得单 调区间 试题解析: () f x定义域为2, 2 11 221 22 fxax xax x = 2 581 22 axax x ,来源:ZXXK 因为0a ,所以 2 64200aa,因此方程 2 5810axax 有两个根, 2 1 86420 10 aaa x a , 2 2 86420 10 aaa x a , 2 2 8642084 2 10105 aaaa x aa , 当 2 1 86420 2 10 aa
16、a x a ,即 1 0 4 a时,&网 当x变化时, fx、 f x变化如下表 x 2 2 2,x 2 x 2, x 来源: fx 0 f x 来源:Z_X_X_K 由上表知: f x在 2 86420 2, 10 aaa a 上单调递增,在 2 86420 , 10 aaa a 上单调递减, 当 2 1 86420 2 10 aaa x a 即 1 4 a 时 当x变化时, fx、 f x变化如下表 x 2 1 2,x 1 x 12 ,x x 2 x 2, x fx 0 0 f x 来源:Z#xx#k.Com 12已知函数 2 1 2 ln121 2 f xaxaxaxa x (1)当1a
17、 时,判断 f x的单调性; (2)若 f x在0,上为单调增函数,求实数a 的取值范围 【思路引导】 (1)当1a 时,对函数求导后因式分解,根据导数与单调性的知识可写出函数的单调区间 (2)当1a 时,可判断函数导数恒为非负数,函数递增符合题意当01a和0a 时,利用函数的二阶导数判断出 不符合题意故1a 点睛:本题主要考查导数与单调性的求解,考查利用导数解决已知函数在某个区间上递增求参数的取值范 围,考查分类讨论的数学思想方法第一问已知a的值,利用导数求函数的单调区间,其基本步骤是:求 函数导数、对导数进行通分因式分解、画出导函数图像、画出原函数图像,最后根据图像来研究题目所求 的问题第二问由于一阶导数无法解决问题,故考虑用二阶导数来解决