1、 1 2016-2017 学年青海省海东地区高二（下）期中数学试卷（文科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60分） 1已知复数 z满足 z（ 1 i） =3+i，则 z=（ ） A 1+2i B 1+2i C 1 2i D 1 2i 2复数 的共轭复数是（ ） A B C i D i 3曲线 y= 2x在点（ 1， ）处切线的倾斜角为（ ） A 1 B 45 C 45 D 135 4在复平面内，复数 i（ 2 i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5如果复数 （ a R）为纯虚数，则 a=（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 6函数 f（ x） =x3 3
2、x2+1是减函数的单调区间为（ ） A（ 2， + ） B（ ， 2） C（ ， 0） D（ 0， 2） 7在极坐标系中，点（ 2， ）到圆 = 2cos 的圆心的距离为（ ） A 2 B C D 8下列求导正确的是（ ） A（ x+ ） =1 + B（ log2x） = C（ 3x） =3 xlog3x D（ x2cosx） = 2xsinx 9函数 f（ x） =x3 3x2+2x 的极值点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 10极坐标方程 =cos 和参数方程 （ t为参数）所表示的图形分别是（ ） A圆、直线 B直线、圆 C圆、圆 D直线、直线 11若函数 f（ x） =x
3、3+ax 2在区间（ 1， + ）内是增函数，则实数 a的取值范围是（ ） A 3， + ） B（ 3， + ） C 0， + ） D（ 0， + ） 2 12设 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， g（ x） 0，当 x 0 时， f（ x） g（ x） f（ x） g （ x） 0，且 f（ 3） =0，则不等式 0的解集是（ ） A（ 3， 0） （ 3， + ） B（ 3， 0） （ 0， 3） C（ ， 3） （ 3， + ）D（ ， 3） （ 0， 3） 二、填空题（每小题 5 分，共 20分） 13已知 复数 z满足 z?（ i i2） =1+i3，其
4、中 i为虚数单位，则 z= 14函数 f（ x） =x3 3x2+5在区间 上的最小值是 15函数 f（ x） =2x3 3x2+a的极大值为 6，则 a= 16在极坐标系中，点（ 2， ）到直线 （ cos + sin ） =6 的距离为 三、解答题（ 5道大题，共 70 分第 17题 10分，其余每题 12分） 17已知直线 l： （ t为参数）以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的坐标方程为 =2cos （ 1）将曲线 C的极坐标方程化为直坐标方程； （ 2）设点 M的直角坐标为（ 5， ），直线 l与曲线 C的交点为 A， B，求 |MA|?|MB|的值 18在
5、直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 （ t为参数） 在极坐标系 （与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C的方程为 =4cos （ ）求圆 C的直角坐标方程； （ ）设圆 C与直线 l 交于点 A、 B，若点 P的坐标为（ 2， 1），求 |PA|+|PB| 19已知函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d的图象过点 P（ 0， 2），且在点 M（ 1， f（ 1）处的切线方程为 6x y+7=0 （ 1）求 f（ 1）和 f （ 1）的值； （ 2）求函数 f（ x）的解析式 3 20已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数
6、）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 = cos（ + ） （ ）写出直线 l的极坐标方程； （ ）求直线 l与曲线 C交点的极坐标（ 0， 0 2 ） 21已知函数 f（ x） =ex+ax，曲线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y=1 （ 1）求实数 a的值及函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若 b 0， f（ x） （ b 1） x+c，求 b2c的最大值 22已知函数 f（ x） =（ x +1） lnx x+1 （ ）若 =0 ，求 f（ x）的最大值； （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与
7、直线 x+y+1=0垂直，证明： 4 2016-2017学年青海省海东地区平安一中高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 60分） 1已知复数 z满足 z（ 1 i） =3+i，则 z=（ ） A 1+2i B 1+2i C 1 2i D 1 2i 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出 【解答】 解： z（ 1 i） =3+i， z（ 1 i）（ 1+i） =（ 3+i）（ 1+i）， 2z=2+4i， 则 z=1+2i， 故选： A 2复数 的共轭复数是（ ） A B C i D i 【考点】
8、 A7：复数代数形式的混合运算 【分析】 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi（ a， b R）的形式，然后求出共轭复数，即可 【解答】 解：复数 = = =i，它的共轭复数为： i 故选 C 3曲线 y= 2x在点（ 1， ）处切线的倾斜角为（ ） A 1 B 45 C 45 D 135 【考点】 I2：直线的倾斜角 【分析】 本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（ 1， ）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（ 1， ）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角 5 【解答】 解： y=x 2 y|x=1=1 2= 1 即
9、曲线 在点（ 1， ）处切线的斜率为： 1 故曲线 在点（ 1， ）处切线的倾斜角为： 135 故选 D 4在复平面内，复数 i（ 2 i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义 【 分析】 首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限 【解答】 解： 复数 z=i（ 2 i） = i2+2i=1+2i 复数对应的点的坐标是（ 1， 2） 这个点在第一象限， 故选 A 5如果复数 （ a R）为纯虚数，则 a=（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】
10、 A2：复数的基本概念 【分析】 对所给的复数分子和分母同乘以 1 i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出 a的值 【解答】 解：由题意知， = = ， （ a R）为纯虚数， 2 a=0，解得 a=2 故选 D 6函数 f（ x） =x3 3x2+1是减函数的单调区间为（ ） 6 A（ 2， + ） B（ ， 2） C（ ， 0） D（ 0， 2） 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 利 用 f （ x） 0，求出 x的取值范围即为函数的递减区间 【解答】 解： 函数 f（ x） =x3 3x2+1， f （ x） =3x2 6x， 由 f （ x） 0即 3x2
11、 6x 0， 解得 0 x 2， 所以函数的减区间为（ 0， 2）， 故选： D 7在极坐标系中，点（ 2， ）到圆 = 2cos 的圆心的距离为（ ） A 2 B C D 【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程 【分析】 利用 ，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出 【解答】 解：点 P（ 2， ）可得： xP= =1， yP= = ， P 圆 = 2cos 化为 2= 2cos ， x2+y2= 2x，化为（ x+1） 2+y2=1，可得圆心 C（ 1，0） |PC|= = 故选： D 8下列求导正确的是（ ） A（ x+ ） =1 + B（ log2x） = C（ 3x）
12、=3 xlog3x D（ x2cosx） = 2xsinx 【考点】 63：导数的运算； 66：简单复合函数的导数 【分析】 根据求导公式，对四个选项中的函数进行判断以确定其正确与否， A中用和的求导公式验证； B 用对数的求导公式验证； C 用指数的求导公式验证； D 用乘积的求导公式进行7 验证 【解答】 解： A选项不正确，因为（ x+ ） =1 ； B选项正确， 由对数的求导公式知（ log2x） = ； C选项不正确，因为（ 3x） =3 xln3，故不正确 D选项不正确，因为（ x2cosx） =2xcosx x2sinx 故选 B 9函数 f（ x） =x3 3x2+2x 的极值
13、点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】 对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数 【解答】 解：由题知 f（ x）的导函数 f（ x） =3x2 6x+2， 当 x 时， f（ x） 0，当 x 或（ 1， + ）时， f（ x） 0， 则函数 f（ x）在 上单调递减，函数 f（ x）在 ，（ 1， + ）上单调递增， 函数 f（ x） =x3 3x2+2x 有 2个极值点 故答案为： C 10极坐标方程 =cos 和参数方程 （ t为参数）所表示的图形分别是（ ） A圆、直线 B直线、圆 C圆、圆 D直
14、线、直线 【考点】 QJ：直线的参数方程； Q4：简单曲线的极坐标方程 【分析】 极坐标方程 =cos 化为直角坐标方程为 ，表示一个圆，参数方程 （ t为参数），消去参数 t 可得 3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论 【解答】 解：极坐标方程 =cos 即 2=cos ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即 ，表示一个圆 参数方程 （ t 为参数），消去参数 t 可得 3x+y+1=0，表示一条直线， 故选 A 8 11若函数 f（ x） =x3+ax 2在区间（ 1， + ）内是增函数，则实数 a的取值范围是（ ） A 3， + ） B（ 3， + ） C 0， + ） D（ 0， + ） 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】 由已知， f （ x） =3x2 0在 1， + ）上恒成立，可以 利用参数分离的方法求出参数 a的取值范围 【解答】 解： f （ x） =3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系， f （ x） 0 在1， + ）上恒成立，即 a 3x2，恒成立，只需 a大于 3x2 的最大值即可，而 3x2 在 1，+ ）上的最大值为 3，所以 a 3即数 a的取值范围是 3
