1、 - 1 - 2016-2017 学年青海省西宁高二（下）期中数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上） 1复数 z=i（ i+2）的虚部是（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 2已知函数 f（ x）的导函数 f （ x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（ ） A在（ 3， 1）内 f（ x）是增函数 B在（ 1， 3）内 f（ x）是减函数 C在（ 4， 5）内 f（ x）是增函数 D在 x=2时， f（ x）取得极小 值 3用反证法证明某命题时，对结论： “ 自然
2、数 a， b， c中恰有一个偶数 ” 正确的反设为（ ） A a， b， c都是奇数 B a， b， c都是偶数 C a， b， c中至少有两个偶数 D a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 4已知数列 an的前 n项和 Sn=n2an（ n 2），而 a1=1，通过计算 a2， a3，猜想 an等于（ ） A B C D 5某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下 2 2列联表： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ） 附：参考公式和临界值表 （其
3、中 n=a+b+c+d） k 2.706 3.841 6.636 10.828 - 2 - P（ K2 k） 0.10 0.05 0.010 0.001 A 90% B 95% C 99% D 99.9% 6已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A求数列 的前 10 项和（ n N*） B求数列 的前 10项和（ n N*） C求数列 的前 11 项和（ n N*） D求数列 的前 11项和（ n N*） 7下面的结构图，总经理的直接下属是（ ） A总工程师和专家办公室 B开发部 C总工程师、专家办公室和开发部 D总工程师、专家办公室和所有七个部 8已知 ，则导函数 f （ x）是
4、（ ） A仅有最小值的奇函数 B既有最大值，又有最小值的偶函数 C仅有最大值的偶函数 D既有最大值，又有最小值的奇函数 - 3 - 9使函数 y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是（ ） A（ ， ） B（ ， 2 ） C（ ， ） D（ 2 ， 3 ） 10曲线 f（ x） =x3+x 2在 P0处的切线平行于直线 y=4x+1，则 P0的坐标为（ ） A（ 1， 0） B（ 2， 8） C（ 1， 0）或 （ 1， 4） D（ 2， 8）或 （ 1， 4） 11若 a 0， b 0，且函数 f（ x） =4x3 ax2 2bx 2在 x=1处有极值，则 ab的最大值（ ） A 2 B
5、 3 C 6 D 9 12已知函数 f（ x） =2ax3 3ax2+1， g（ x） = ，若对任意给定的 m ，关于 x的方程f（ x） =g（ m）在区间上总存在两个不同的解，则实数 a的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， + ） C （ ， 1） （ 1， + ） D 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分请规范作答） 13复数 = 14按流程图的程序计算，若开始输入的值为 x=3，则输出的 x的值是 15已知 f（ x） =2x3 6x2+m（ m为常数），在上有最大值 3，那么此函数在上的最小值为 16已知函数 f（ x） = x3 mx2+2n（ m，
6、n 为常数），当 x=2 时，函数 f（ x）有极值，若函数y=f（ x）有且只有三个零点，则实数 n的取值范围是 三、解答题（本题共 6 大题， 其中第 17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分：审题要慢，答题要快；言之有理，论证有据，详略得当，工整规范） 17复数 z=（ 1 i） a2 3a+2+i（ a R）， （ 1）若 z= ，求 |z|； （ 2）若在复平面内复数 z对应的点在第一象限，求 a的范围 18（ ）求证： + 2 （ ）若 a， b， c是实数，求证： a2+b2+c2 ab+bc+ca 19某公司近年来科研费用支出 x万元与公司所获得利润 y万元之间有如
7、下的统计数据： x 2 3 4 5 - 4 - Y 18 27 32 35 （ ）请根据上表提供的数 据，用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程 = x+ ； （ ）试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润 参考公式：若变量 x和 y用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程为： = x+ ，其中： = ， = ，参考数值： 2 18+3 27+4 32+5 35=420 20设函数 f（ x） =ax3+bx2+c，其中 a+b=0， a， b， c均为常数，曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 x+y 1=0 （ ）求
8、 a， b， c的值； （ ）求函数 f（ x） 的单调区间 21某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为 50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为时， g （ x） 0，所以 f （ x） =g（ x）在上单调递增， 所以 f （ 1） f （ x） f （ 1），即 1 sin1 f （ x） 1+sin1 又 f （ x） = x+sin（ x） = x sinx=（ x+sinx） = f （ x），所以 f （ x）是奇函数 故选 D 9使函数 y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是（ ） A（ ， ） B（ ，
9、 2 ） C（ ， ） D（ 2 ， 3 ） 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个 y 恒大于 0，就是哪个选项 【解答】解： y= （ xsinx+cosx） =sinx +xcosx sinx=xcosx， 当 x （ ， ）时，恒有 xcosx 0 故选： C 10曲线 f（ x） =x3+x 2在 P0处的切线平行于直线 y=4x+1，则 P0的坐标为（ ） - 5 - A（ 1， 0） B（ 2， 8） C（ 1， 0）或 （ 1， 4） D （ 2， 8）或 （ 1， 4） 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析
10、】设 P0（ m， m3+m 2），求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求切点的坐标 【解答】解：设 P0（ m， m3+m 2）， f（ x） =x3+x 2的导数为 f （ x） =3x2+1， 可得切线的斜率为 k=3m2+1， 由切线平行于直线 y=4x+1， 可得 3m2+1=4， 解得 m= 1， 即有 P0的坐标为（ 1， 0）和（ 1， 4） 故选： C 11若 a 0， b 0，且函数 f（ x） =4x3 ax2 2bx 2在 x=1处有极值，则 ab的最大值（ ） A 2 B 3 C 6 D 9 【考点】 6D：利用导数研
11、究函数的极值 【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到 f （ 1） =0，即有 a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值 【解答】解：函数 f（ x） =4x3 ax2 2bx 2的导数 f （ x） =12x2 2ax 2b， 由于函数 f（ x） =4x3 ax2 2bx 2在 x=1处有极值， 则有 f （ 1） =0，即有 a+b=6，（ a， b 0）， 由于 a+b 2 ，即有 ab （ ） 2=9，当且 仅当 a=b=3取最大值 9 故选 D 12已知函数 f（ x） =2ax3 3ax2+1， g（ x） = ，若对任意给定的 m ，关于 x的方程 f（ x） =g（ m）在
12、区间上总存在两个不同的解，则实数 a的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， + ） C（ ， 1） （ 1， + ） D 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】由题意可以把问题转化为求函数 f（ x）和函数 g（ x）的值域，并有题意转化为两个- 6 - 函数的值域的关系问题 【解答】解 f （ x） =6ax2 6ax=6ax（ x 1） 当 a=0时， f（ x） =1， g（ x） = ，显然不可能满足题意； 当 a 0时，当 a 0 时， f（ x） =6ax2 6ax=6ax（ x 1） x 0 （ 0， 1） 1 （ 1， 2） 2 f （ x） 0 0 + f
13、（ x） 1 极小值 1 a 1+4a 又因为当 a 0时， g（ x） = 上是减函数， 对任意 x ， g（ x） 不合题意； 当 a 0时， f（ x） =6ax2 6ax=6ax（ x 1） x 0 （ 0， 1） 1 （ 1， 2） 2 f （ x） 0 + 0 f（ x） 1 极大值 1 a 1+4a 又 当 a 0时， g（ x） = x+ 在上是增函数， 对任意 x ， g（ x） ， + ， 由题意，必有 g（ x） max f（ x） max， + 1 a，解得 a 1 故 a的取值范围为（ ， 1） 故选： A 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分请规范
14、作答） 13复数 = 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： = 故答案为： - 7 - 14按流程图的程序计算，若开 始输入的值为 x=3，则输出的 x的值是 231 【考点】 EF：程序框图 【分析】根据程序可知，输入 x，计算出 的值，若 100，然后再把 作为 x，输入 ，再计算 的值，直到 100，再输出 x的值即可 【解答】解： x=3， =6， 6 100， 当 x=6时， =21 100， 当 x=21时， =231 100，停止循环 则最后输出的结果是 231， 故答案为： 231 15已知 f（ x） =2x3
15、 6x2+m（ m 为常数），在上有最大值 3，那么此函数在上的最小值为 37 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为 3，进而求出常熟 m的值，即可求出函数的最小值 【解答】解：由已知， f （ x） =6x2 12x，有 6x2 12x 0得 x 2或 x 0， 因此当 x 时 f（ x）为增函数，在 x 时 f（ x）为减函数， 又因为 x ， 所以得 当 x 时 f（ x）为增函数，在 x 时 f（ x）为减函数， 所以 f（ x） max=f（ 0） =m=3，故有 f（ x） =2x3 6x2+3 - 8 - 所以 f（ 2） = 37， f（ 2） = 5 因为 f（ 2） = 37 f（ 2） = 5，所以函数 f（ x）的最小值为 f（ 2） = 37 答案为： 37 16已知函数 f（ x） = x3 mx2+2n（ m， n 为常数
