1、 1 山东省 2016-2017学年高二数学下学期期中（第七次学分认定考试）试题 理（含解析） 说明 :（ 1）考试时间 120分钟，满分 150分 （ 2）将答案填写在答题卡上 第 I卷（ 60 分） 一、选择题（下列各题 A、 B、 C、 D四个答案有且只有一个正确，每题 5分，满分 60分） 1. =( ) A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】 D 【解析】 本题选择 D选项 . 2.为虚数单位， ，则 =（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】 C 【 解析】 本题选择 C选项 . 3. ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题选择 D选
2、项 . 4. 的展开式中 的系数为（ ） A. -36 B. 36 C. -84 D. 84 【答案】 C 【解析】 的展开式中通项公式为： ，令 9-2r=3，2 得 r=3，所以 的系数为 本题选择 C选项 . 5. 某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 所选的四人中至少有一名女生的选法为 本题选择 A选项 . 6. “ ” 是 “ 复数 （ ）为纯虚数 ” 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 复
3、数 （ ）为纯虚数，则 所以 “ ” 是 “ 复数 （ ）为纯虚数 ” 的 充要条件。 本题选择 A选项 . 7. 设 是 图象上任一点， 图象在 P点处的切线的斜率不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 D 【解析】 ，而 图象在 P点处的切线的斜率不可能是 4。 本题选择 D选项 . 点睛： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 3 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 8. 函数 在点 处的切线斜率为（ ） A.
4、 0 B. C. 1 D. 【答案】 C 【解析】 ，所以函数在点 处的切线斜率为 1. 本题选择 C选项 . 9. 六 名同学安排到 3 个社区 A， B， C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A社区，乙和丙同学均不能到 C 社区，则不同的安排方法种数为 ( ) A. 12 B. 9 C. 6 D. 5 【答案】 B 【解析】略 10. 曲线 和直线 所围成图形的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】 B 【解析】 曲线 y=x3-3x 与 y=x的交点坐标为（ 0， 0），（ 2， 2），（ -2， -2），根据题意画出图形，曲线 y=x3
5、-3x 和直线 y=x围成图形的面积本题选择 B选项 . 4 点睛： 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数； (3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积 求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值 (极限值 )，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正 11. 对于 上可导的函数 ,若满足 ,则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 对于 R上可导的任意函数 f(x),(x?1)f(x)0 有 ， 即当 x(1,+) 时
6、 ,f(x)为减函数， 当 x( ?,1) 时 ,f(x)为增函数 f(0)f(1),f(2)f(1) f(0)+f(2)2f(1) 本题选择 A选项 . 12. 两位男生和三位女生共五位同学站成一排，若男生甲不站两端，三位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( ) A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】 B 5 【解析】 甲站在第二个位置 ,则有 种； 甲站在第三个位置 ,则有 种； . 根据加法原理，不同的排法种数是 48 种 本题选择 B选项 . 第 II卷（ 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分） 13. 从下列等式中归纳出一个一般性的结论 ；
7、 ； _ . 【答案】 【解析】 观察等式，我们可以推断： 14. 设等差数列 的前 项和为 ，则 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 的前 项积 为 ，则 ， _， _， 成等比数列 【答案】 (1). (2). 【解析】试题分析：当数列是等差数列时 成立，所以由类比推理可得：当数列是等差数列时应为 . 考点：类比推理 . 15. 如图，小王从街道的 A处到达 B处，可选择的最短路线的条数为 _. 6 【答案】 56 【解析】 从 A到 B的最短路线，均需走 8步，包括横向的 5步和纵向的 3步，只要确定第 1， 2?8 步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以，实际只要确定哪几步是横向走。 每
8、一条从 A到 B 的最短路线对应着从第 1,2?8 步取出 5步 (横向走 )的一个组合， 从 A到 B的最短路线共有 条。 点睛： (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素 (或位置 )的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素 (或位置 )为主体，即先满足特殊元素 (或位置 )，再考虑其他元素 (或位置 ) (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型： 不均匀分组； 均匀分组； 部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法 16. 设 _. 【答案 】 -1 【解析】 ，令 ,可得：,解得 ， 则 三、解答题（满分
9、70 分） 17. （ I）设复数 和它的共轭复数 满足 ，求复数 . （ ）设复数 满足 ,求复数 z对应的点的轨迹方程 . 【答案】 （ I） ；（ II） . 【解析】 试题分析： () 利用复数的运算法则得到关于实数 x,y的方程，求解方程可得 () 设复数 ，利用距离公式可得轨迹方程为椭圆： . 7 试题解析： （ I）设 可得 所以 . （ II）设复数 ，由 得 其轨迹是椭圆 . 方程为 . 18. （ I）求 的展开式中的常数项 ； （ ）设 ， 求 . 【答案】 （ I） ；（ II） 1. 【解析】 试题分析： () 利用通项公式： ，令 r=8 可得展开式中的常数项是 .
10、 () 利用赋值法可得. 试题解析： （ I）通项 令 ，常数项 （ II） - . 19. 观察以下 5个等式： 8 ? 按以上式子规律 ： （ I）写出第 个等式，并猜想第 个等式（ ）； （ ）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立（ ） . 【答案】 （ I）第 个等式为 ，第 个等式为；（ II）见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）先写出第六个 等式 ,再用归纳推理猜想出结论；（ 2）借助题设条件运用数学归纳法求解 试题解析 : （ 1）第 6个等式为 -1+3-5+7-9+11=6 第 n个等式为 -1+3-5+7-9+?+ （ -1） n（ 2n-1） =（ -1） nn
11、（ 2）下面用数学归纳法给予证明： -1+3-5+7-9+?+ （ 2n-1） = n （ 1）当 时，由已知得原式成立； （ 2）假设当 时，原式成立， 即 -1+3-5+7-9+?+ （ -1） k（ 2k-1） =（ -1） kk 那么，当 时， -1+3-5+7-9+?+ （ 2k-1） + （ 2k+1） = k+ （ 2k+1） = （ -k+2k+1） =（ -1） k+1（ k+1） 故当 时，原式也成立 由（ 1）（ 2）可知： -1+3-5+7-9+?+ （ 2n-1） = n对 nN *都成立。 考点：归纳推理及数学归纳法的运用 20. 已知函数 （ I）讨论函数 的单调
12、性； 9 （ ）若函数 在区间 上单调递减 ,求实数 的取值范围 . 【答案】 （ I）见解析；（ II） . 【解析】 试题分析： () 首先对函数求导，然后分别讨论 和 两种情况即可； () 结合 (I)的结论，得到 ,据此可得 . 试题解析： （ I） 若 在 上单调递增 若 函数 的递减区间为 ，递增区间为 （ II）由（ 1）知，函数 在区间 上单调递减 , . 21. 设函数 （ I） ，求函数 的极值； （ ）讨论函数 的单调性 . 【答案】 （ I） ,无极小值；（ II）见解析 . 【解析】 试题分析： () 求得函数的导函数，结合函数的单调性可得 ,无极小值； () 令 分
13、类讨论： 若 当 ， 当 ，函数 试题解析： 10 （ I） ， 当 ,无极小值 （ II）设 若 若 ， 当 ， ， 当 ， ，函数 22. 设函数 ， （ I）当 时， 求函数 的最小值； （ ）若函数 在 上有零点，求实数 的范围； （ III）证明不等式 . 【答案】 （ I） ；（ II） ；（ III）见解析 . 【解析】 试题分析： () 由导函数研究函数的单调性可得 ； () 利用题意讨论函数的单调性，结合函数零点存在定理可得实数 的范围是 ； () 设函数 结合函数的性质构造新函数 ，综合 ()()的结论即可证得题意不等式的结论 . 试题解析： （ I） （ II） 若 上递增，且 ，所以 在 上没有零点
