1、 1 福建省福州市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分 2017.4.27 第 卷 一、选择题（ 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1在复平面内，复数 2(1 2)i? 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列三句话按 “ 三段论 ” 模式排列顺序正确的是 y cos x(x R)是三角函数； 三角函数是周期函数； y cos x(x R)是周期函数 A B C D 3根据所给的算式猜测 12345679+8 等于 19+2=1
2、1 ； 129+3=111 ； 1239+4=1 111 ； 12349+5=11 111 ； ? A 1 111 110 B 1 111 111 C 11 111 110 D 11 111 111 4用反证法证明命题 “ 三角形中最多只 有一个内角是钝角 ” 时，结论的否定是 A.没有一个内角是钝角 B. 至少有两个内角是钝角 C.有三个内角是钝角 D. 有两个 内角是钝角 5. 给出下列命题： 对任意 x R，不等式 x2 2x4x 3均成立； 若 log2x logx22 ，则 x1； “ 若 ab0且 ccb” 的逆否命题其中真命题只有 A B C D 6若圆的参数方程为? x 1 2
3、cos ，y 3 2sin ( 为参数 )，直线的参数方程为 ? x 2t 1，y 6t 1 (t为参数 )，则直线与圆的位置关系是 A过圆心 B相交而不过圆心 C相切 D相离 7执行如图所示的程序框图，则输出的 k的值是 2 A 3 B 4 C 5 D 6 8已知 x0， y0， x， a， b， y 成等差数列， x， c， d， y成等比数列，则 ? ?cdba 2? 的最小值是 A 4 B 1 C 2 D.0 二、 填空题 （本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分） 9在极坐标系中，定点 A(1， 2 )，点 B在直线 l： cos sin 0上运动，当线段 AB最短时，点 B的极
4、坐标是 _ 10若关于实数 x的不等式 |x 5| |x 3| a无解，则实数 a的取值范围是 _ 11对具有线性相关关系的变量 x， y，测得一组数据如下： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据以上数据，利用最小二乘法得它们的回归直线 方程为 10.5y x a?，据此模型来预测当 x= 20时， y 的估计值为 12. 给出下列等式： 22112121 3 ?； 22 23 112132 42121 3 ?； 332 24 112143 52132 42121 3 ?， ? 由以上等式推出一个一般结论： 对于nnn nNn 21)1( 22132 42121 3,
5、 2* ? ?= 3 三、解答题（本大题共有个小题，共 36分 .解答应 写出文字说明、演算步 骤或证明过程 .） 13（本小题满分 12分） 已知命题 p： lg(x2 2x 2)0 ；命题 q： 00， b0， c0，函数 f(x) |x a| |x b| c的最小值为 4. (1)求 a b c的值； (2)求 14a2 19b2 c2的最小值 15（本小题满分 12分） 已知某圆的极坐标方程为 2 4 2cos ( 4 ) 6 0，求： (1)圆的普通方程和参数方程； (2)在圆上所有的点 (x， y)中 xy 的最大值和最小值 第 卷 四 、选择题（ 本大题共 4 小题，每小题 4
6、分，共 16 分 .每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16满足条件 |z i| |3 4i|的复数 z在复平面上对应点的轨迹是 A一条直线 B圆 C两条直线 D椭圆 17用数学归纳法证明 “4 2n 1 3n 1(n N )能被 13 整除 ” 的第二步中，当 n k 1时为了使用归 纳假设，对 42k 1 3k 2变形正确的是 A 3(42k 1 3k 1) 134 2k 1 B 44 2k 93 k C (42k 1 3k 1) 154 2k 1 23 k 1 D 16(42k 1 3k 1) 133 k 1 18设 F1和 F2是双 曲线? x 2sec ，y
7、tan ( 为参数 )的两个焦点，点 P 在双 曲线上，且满足 F1PF2 90 ，那么 F1PF2的面积是 A 2 B. 52 C 1 D 5 19 设 c1， c2， ? ， cn是 a1， a2， ? ， an的某一排列 (a1， a2， ? ， an均为正数 )， 则 a1c1 a2c2 ? 4 ancn的最小值是 A 2n B.1n C. n D. n 五 、 填空题 （本大题共 2小题，每小题 4分，共 8分） 20圆 r与圆 2rsin? ? 4 (r0)的公共弦所在直线的方程为 21已知关于 x 的不等式 ? ? 7ax 1x2 2 ?在 x (a， ) 上恒成立，则实数 a
8、的最小值为 _ 六 、解答题（本大题共有 2个小题，共 26分 .解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 .） 22（本小题满分 12分） 已知经过 A(5， 3)且倾斜角的余弦值是 35的直线，直线与圆 x2 y2 25 交于 B、 C两点 (1)请写出该直线的参数方程以及 BC中点坐 标； (2)求过点 A与圆相切的切线方程及切点坐标 23.（本小题满分 14分） （ 1）已知 a， b， c R，且 2a 2b c 8，求 (a 1)2 (b 2)2 (c 3)2的最小值 （ 2）请用数学归纳法证明： ? ?1 14 ? ?1 19 ? ?1 116 ? ? ?1 1n2 n 12n (
9、n2 ， n N ) 高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准 5 第卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 1-8 CDDB CBCA 二、 填空题 ：本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分 9. ? ?22 ， 34 10. (， 8 11. 211.5 12. 1-nn 2)1( 1?三、解答题：本大题共有 4 个小题，共 36 分 13 （本小题满分 12分） 解 : 由 lg(x2 2x 2)0 ，得 x2 2x 21 ， x3 ，或 x 1.即 p： x3 ，或 x 1. ?分 非 p： 10， b0，所以 |a b| a b， 所以 f(x)的最小值为 a
10、b c. ?分 又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a b c 4. (2)由 (1)知 a b c 4，由柯西不等式，得 ?14a2 19b2 c2 (4 9 1)?a22 b33 c12 (a b c)2 16， ? 9分 即 14a2 19b2 c2 87. ?分 当且仅当12a2 13b3 c1，即 a87， b187， c27时等号成立， 故 14a2 19b2 c2的最小值是 87. ?分 6 15 （本小题满分 12分 ） 解： (1)原方程可化为 2 4 2(cos cos 4 sin sin 4) 6 0， 即 2 4cos 4sin 6 0. ?分 因为 2 x2 y2，
11、 x cos ， y sin ，所以 可化为 x2 y2 4x 4y 6 0，即 (x2)2 (y 2)2 2，此方程即为所求圆的普通方程 ?分 设 cos 2 2 ， sin 2 y2 ， 所以参数方程为 ? x 2 2cos y 2 2sin ( 为参数 ) ?分 (2)由 (1)可知 xy (2 2cos )(2 2sin ) 4 2 2(cos sin ) 2cos sin 3 2 2(cos sin ) (cos sin ) 2. ?分 设 t cos sin ，则 t 2sin ( 4)， t 2， 2 ?分 所以 xy 3 2 2t t2 (t 2)2 1. 当 t 2时 xy有
12、最小值为 1； 当 t 2时， xy有最大值为 9. ?分 第卷 一、选择题： 本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分 16-19 二、 填空题 ：本大题共 2小题，每小题 4分，共 8分 20. 2(s in cos ) r 21. 三、解答题 : 本大题共有 2 个小题，共 26 分 22 （本小题满分 分） 解 : (1)直线参数方程为? x 5 35t，y 3 45t(t为参数 )， ?分 代入圆的方程得 t2 545t 9 0， tM t1 t22 275 ， 则 xM 4425， yM 3325，中点 坐标为 M? ?4425， 3325 .?分 7 (2)设切线方程为? x
13、5 tcos ，y 3 tsin (t为参数 )， 代入圆的方程得 t2 (10cos 6sin )t 9 0. (10cos 6sin ) 2 36 0， ?分 整理得 cos (8cos 15sin ) 0， cos 0或 tan 815. 过 A点切线方程为 x 5,8x 15y 85 0. ?分 又 t 切 b2a 3sin 5cos ， 由 cos 0得 t1 3，由 8cos 15sin 0， 解得? sin 817，cos 1517，可得 t2 3. 将 t1， t2代入切线的参数方程知，相应的切点为 (5,0)， ? ?4017， 7517 .?分 23. （本小题满分 分）
14、解： （ 1） 由柯西不等式得： (4 4 1)(a 1)2 (b 2)2 (c 3)22(a 1) 2(b 2) c32， ?分 9(a 1)2 (b 2)2 (c 3)2(2a 2b c 1)2. ? ?分 2a 2b c 8， (a 1)2 (b 2)2 (c 3)2 499， (a 1)2 (b 2)2 (c 3)2的最小值是 499.?分 （ 2） 证明： (1)当 n 2时 ， 左边 1 14 34， 右边 2 122 34. 所以等式成立 ?分 (2)假设当 n k(k2 ， k N )时 ， 等式成立 ， 即 ? ?1 14 ? ?1 19 ? ?1 116 ? ? ?1 1k2 k 12k (k2 ， k N ) ?分 当 n k 1时 ， ?1 14 ?1 19 ?1 116 ? ?1 1k2 ?1 1（ k 1） 2 k 12k （ k 1） 2 1（ k 1） 2 （ k 1） k （ k 2）2k （ k 1） 2 k 22（ k 1） （ k 1） 12（ k 1） ， ? 13 分 所以当 n k 1时 ， 等式成
