1、 1 安徽省淮北市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷相应的位置。 2、全部答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3、本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第 卷 一、 选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的 .) 1知集合 M= x|-1 x 3， N= x|-2 x 1则 MN= （ ） C. (1,3) D. () 2已知点 A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC ，则向量 BC （ ） A B. (7, 4) D. (1, 4) 3计算 1 i 2
2、017 =（ ） ( 1 i ) A 1 B i C i D 1 4若抛物线 y2=2px（ p 0）上的点 A（ x0， ）到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于（ ） A 1 B 1 C 3 D 2 2 2 5若 mR ，则 “log 6m= 1” 是 “ 直线 l1： x+2my 1=0 与 l2：（ 3m 1） x my 1=0 平行 ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6在利用最小二乘法求回归方程 y 0.67x 54.9 时，用到了下表中的 5 组数据，则表格 a 中 的值为（ ） x 10 20 30 40
3、 50 A 70.2 B 68.3 C 68.0 D 72.1 y 62 a 75 81 89 (n an , 7已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a S 1 n 2 则 a2017=（ ） A 2016 B 2017 C 4032D 4034 2 8如图是某个几何体的三视图，其中主视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 （ ） A 2 B 2 2 C 3 D 2 3 9已知双曲线 x2 y2 （ a 0， b 0）的一条渐近线被圆（ x a2 b2 c） 2+y2=4a2 截得弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ）
4、 A B C 6 6 3 2 D 2 10执行右面的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3， 则输出的 M ) A. 20 B. 7 C. 15 D. 16 3 2 8 5 11 .函数 f(x) sin(2x ) |0” 的否定是 14在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， a sin B 2 sin C, cos C 13 ， ABC 的 面积为 4，则 c= 15.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 3 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一 件产品 B 需要甲材料 0.5k
5、g，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的 最大值为 元。 16.设函数 f (x x3 m 2)x2 x, (x 若对于任意的 t ,函数 f (x) 在区间 (t,3) 上总不 2 是单调函数 ,则 m 的取值范围是为 . 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17（本小题满分 12 分）在各项均为正数的等比数列 an中， a1=2，且 2a1， a3， 3a2 成等差数列
6、（ ） 求等比数列 an的通项公式；（ ） 若数列 bn满足 bn 2 an ，求数列 bn的前 n 项和 Tn 的最大值 18（本小题满分 12 分）根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克 /立方米， PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克 /立方米我市环保局随机抽取了一居民区 2016 年 11 月的 20 天中 PM2.5 的 24 小时平均浓度（单位：微克 /立方米）的监测数据，数据统计如表 组别 PM2.5 浓度 频数（天） 频率 （微克 /立方米） 第一组 （ 0， 25 3 0.15 第二组 （ 25， 5
7、0 12 0.6 第三组 （ 50， 75 3 0.15 第四组 （ 75， 100 2 0.1 （ 1）从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克 /立方米的天数中，随机抽取 2 天，求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克 /立方米的概率；（ 2）将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本 频率分布直方图如图 求图中 a 的值； 求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 4 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由 19.（本小题满分 12 分） 如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD
8、 交点， BE 平面 ABCD ， （ I）证明：平面 AEC 平面 BED ； （ II ）若 ABC ， AE EC, 三棱锥 E ACD 的体积为 36 ，求该三棱锥的侧面积 . 20.（本小题满分 10 分） x 2 y 2 x 2 t 已知曲线 C : ，直线 l , (t 为参数 ) 2t 4 9 y 2 （ I）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； （ II）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A ， 求 PA 的最大值与最小值 . 21（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : x2 y2 a b 0) 的左、右焦点分别为 F1，
9、 F2， a2 b2 过 F2 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， ABF 1 的周长为 8，且 AF 1F2 的面积的最大时， AF 1F2 为正三角形（ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 MN 是椭圆 C 经过原点的弦， MNAB ，求证： | MN |2 为定值 AB 22. （本小题满分 12 分） 设函数 f(x) = alnx + xx + 1 ，其中 a 为常数 . （）若 a 0 ，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程； （ II）讨论函数 f ( x ) 的单调性 . 5 文科数学参考答案 一、 选择题： (本大题共 12小题，每小题 5分
10、 .) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B D A C B D B C A D 二、 填空 题： (本大题共 4小题，每小题 5分 .) 13. 20 , 3 0x R x x? ? ? ? ? 14 6 15. 216000 16.37( , 9)3? 三、解答题 17 （本小题满分 12 分） 【解答】 （ ）设数列 an的公比为 q， an 0 因为 2a1， a3， 3a2成等差数列，所以 2a1+3a2=2a3，即 ， 所以 2q2 3q 2=0，解得 q=2 或 （ 舍去）， 又 a1=2，所以数列 an的通项公式 （ ）由题意得， bn=11 2lo
11、g2an=11 2n，则 b1=9，且 bn+1 bn= 2， 故数列 bn是首项为 9，公差为 2的等差数列， 所以 =（ n 5） 2+25， 所以当 n=5时， Tn的最大值为 25 18 （本小题满分 12 分） 【解答】 （ 1）设 PM2.5的 24小时平均浓度在（ 50， 75内的三天记为 A1， A2， A3， PM2.5的 24 小时平均浓度在（ 75， 100）内的两天记为 B1， B2 所以 5天任取 2天的情况有： A1A2， A1A3， A1B1， A1B2， A2A3， A2B1， A2B2， A3B1， A3B2共 10种 ? 其中符合条件的有： A1B1， A1
12、B2， A2B1， A2B2， A3B1， A3B2共 6种 ? 所以所求的概率 P= = ? （ 2） 由第四组的频率为： 0.1得： 25a=0.1， 解得： a=0.004 去年该居民区 PM2.5年平均浓度为： 12.5 0.15+37.5 0.6+62.5 0.15+87.5 0.1=42.5（微克 /立方米） ? 因为 42.5 35， 所以去年该居民区 PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民 区的环境需要改进 ? 19.（本小题满分 12分） 6 【解答】 （ I） 因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD， 因为 BE 平面 ABCD，所以 AC BE， 故
13、AC 平面 BED. 又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED （ II） 设 AB=x ，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120，可得 AG=GC= 32 x ,GB=GD=2x . 因为 AE EC，所以在 RtD AEC中，可得 EG= 32 x . 由 BE 平面 ABCD，知 DEBG为直角三角形，可得 BE= 22x . 由已知得，三棱锥 E-ACD的体积 31 1 6 63 2 2 4 3E A C DV A C G D B E x- = 醋 ?=.故 x =2 从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 DEAC的面积为 3， DEAD的面积与 DECD的面积均
14、为 5 . 故三棱锥 E-ACD的侧面积为 3+25 . 20.（本小题满分 10分） 【解答】 （ I） 曲线 C 的参数方程为2cos3sinxy ? ?（ ? 为参数）直线 l 的普通方程为 2 6 0xy? ? ? （ ） 曲线 C 上任意一点 (2cos ,3sin )P ?到 l 的距离为 5 | 4 c o s 3 s in 6 |5d ? ? ? 则 25| | | 5 s in ( ) 6 |s in 3 0 5dPA ? ? ? ?，其中 ? 为锐角，且 4tan 3? 当 sin( ) 1? ?时， |PA 取得最大值，最大值为 2255 当 sin( ) 1?时， |P
15、A 取得最小值，最小值为 25521 （本小题满分 12 分） 【解答】 （ I） 由已知 A， B 在椭圆上，可得 |AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a， 又 ABF1的周长为 8，所以 |AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即 a=2， 由椭圆的对称性可得， AF1F2为正三角形当且仅当 A为椭圆短轴顶点， 则 a=2c，即 c=1， b2=a2 c2=3， 则椭圆 C的方程为 + =1； （ ）证明：若直线 l的斜率不存在， 即 l： x=1，求得 |AB|=3， |MN|=2 ，可得 =4； 若直线 l的斜率存在，设直线 l： y=k（ x 1），
16、设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）， D（ x4， y4）， 代入椭圆方程 + =1，可得（ 3+4k2） x2 8k2x+4k2 12=0， 7 有 x1+x2= ， x1x2= ， |AB|= ? = ， 由 y=kx代入椭圆方程，可得 x= ， |MN|=2 ? =4 ， 即有 =4 综上可得 为定值 4 22. （本小题满分 12 分） 【解答】 （ I） 0a?当 时212( ) , ( )1 ( 1)xf x f xxx? ?221(1) (1 1) 2f ? ? (1) 0 (1, 0 )f ?又 直 线 过 点1122yx? ? ?（ ）2
17、2( ) ( 0 )( 1)af x xxx? ? ? ?220 ( ) 0 . ( )( 1 )a f x f xx? ? 当 时 ， 恒 大 于 在 定 义 域 上 单 调 递 增 .2222 ( 1 ) 20 ( ) = 0 . ( )( 1 ) ( 1 )a a x xa f x f xx x x x? ? ? ? 当 时 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 增 .22 10 ( 2 2 ) 4 8 4 0 , .2a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 时 ， 即 ()fx开 口 向 下 ， 在 定 义 域 上 单 调 递 减 。 1 , 21 ( 2 2 ) 8 4 1 2 10 0 .22 a a a aax aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当
