1、第六章 平面向量及其应用6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 (基础篇）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且C120，则A，B两点间的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得 ，所以故选:A2一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山汽车行驶到A处测得高山在南偏西15方向上，山顶处的仰角为60，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75方向上，则山高为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示：设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高
2、，在中，由正弦定理，得，所以，.故选：C32020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）A50米B57米C64米D70米【答案】D【解析】如图所示：由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，则李华的行走路线，如图所示，在中，因为，由余弦定理可得：米，即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D.4如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处
3、的仰角分别为，且，则建筑物的高度为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：.故选：B.5.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在塔底D的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，A，B的距离是84 m，则塔高CD为()A24 mB12 mC12 mD36 m【答案】C【解析】设塔高CDx m，则ADx m，DBx m.又由题意得ADB9060150，在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22 x2cos 150，解得x12 (负值舍去)，故选:C.故选：C.二、多选题
4、（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6海事救护船A在基地的北偏东60，与基地相距100 n mile，渔船B被困海面，已知B距离基地100 n mile，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是( )A.100n mile B.200n mile C.150n mile D.300n mile【答案】C【解析】如图，设基地位于O处，由题意知BAO30，BO100，OA100，则在ABO中，由余弦定理，得BO2BA2AO22BAAOcosBAO，即BA2300BA20 0000，解得BA100或BA200，即渔船B与救护船A的距离是100 n mile或200 n
5、 mile.故选：AB.7.某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，这人走( )千米到达A城.A.15 B.9 C.10 D.20【答案】AD【解析】如图，令ACD，CDB，在CBD中，由余弦定理得cos，sin .又sinsin(60)sincos60sin60cos，在ACD中，AD15(km).故选:AD8在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BD
6、C30，DCA60，ACB45.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离不可能为()()AaBaCaDa【答案】ABD【解析】ABC180754560，所以由正弦定理，得，AB20 m.在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BCa，在ACD中，CAD180606060，所以ACD为等边三角形.因为ADBBDC，所以BD为正ACD的中垂线，所以ABBCa.故选:ABD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为_【答案】10 km【解析】由余弦定理
7、可得：AC2AB2CB22ABCBcos 12010220221020700.AC10(km) 故答案为:10 km10如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为_分钟.【答案】【解析】由题意知：，则在中，利用余弦定理知：，代入数据，得，解得：，则从到所用时间为，则，即.故答案为：.11.某运动会举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，则旗杆的高度为_【答案】
8、30米【解析】如图所示，依题意可知CEA45，ACE1806015105，所以EAC1804510530.由正弦定理可知，所以AC20 (米)所以在RtABC中，ABACsin ACB2030(米)所以旗杆的高度为30米 故答案为:30米四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12某人向正东方向走了x km后向右转了150，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，求x的值【答案】2或.【解析】如图，若设出发点为A，ABx，则有AC2AB2BC22ABBCcos 30，即()2x2322x3cos 30，解得x2或.13在一次海上联合作战演习中
9、，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值【答案】2小时，正弦值为.【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.由余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，所以sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.14如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据求cos 的值.【答案】1【解析】由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.在ABD中，根据正弦定理可得，即，所以BD100sin 15100sin (4530)25()在BCD中，由正弦定理得，即，解得sin BCD1.所以cos cos (BCD90)sin BCD1.
