1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第2页页 专题要点 专题讲解 02 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第3页页 专题研究 球与几何体的切接问题球与几何体的切接问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第4页页 专专 题题 要要 点点 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第5页页 1长方体的外接球 (1)球心：体对角线的
2、交点； (2)半径：R a2b2c2 2 (a，b，c 为长方体的长、宽、高) 2正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径 R 3 2 a(a 为正方体 的棱长)； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第6页页 (2)内切球：球心是正方体的中心；半径 ra 2(a 为正方体的棱 长)； (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径 r 2 2 a(a 为正方体的棱长) 3正四面体的外接球与内切球 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径 R 6 4 a(a 为正四 面体的棱长)； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学
3、数学理（新课标版）理（新课标版） 第第7页页 (2)内切球： 球心是正四面体的中心； 半径 r 6 12 a(a 为正四面 体的棱长) 推导如下：设正四面体 SABC 的棱长为 a， 其内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，如图， 取 AB 的中点 D，连接 SD，CD，SE 为正四面体 的高，在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，且圆心 在高 SE 上的圆由正四面体的对称性，可知其内切球和外接球 的球心同为 O. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第8页页 此时，OCOSR，OEr，SE 6 3 a，CE 3 3 a， 则有 RrSE
4、 6 3 a，R2r2CE2a 2 3 ，解得 R 6 4 a，r 6 12 a. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第9页页 专专 题题 讲讲 解解 题型一 几何体的外接球(微专题) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第10页页 微专题 1：柱体的外接球 例 1 (1)(2017 天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面 上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_ 【解析】 由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 3.设 该正方体外接球的半径为 R，则 2R3，R3 2，所以这个球的体积 为4 3 R34
5、3 27 8 9 2 . 【答案】 9 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第11页页 (2)(2020 长春模拟)已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长 为 6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面 积为 12 ，则该三棱柱的体积为_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第12页页 【解析】 设球半径为 R，上，下底面中心 设为 M， N， 由题意， 外接球球心为 MN 的中点， 设为 O，则 OAR，由 4R212，得 R OA 3， 又易得 AN 2， 由勾股定理可知 ON 1，所以 MN2，即棱柱
6、的高 h2，所以该三棱柱的体积为 3 4 ( 6)223 3. 【答案】 3 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第13页页 状元笔记 柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算常见的方法是将多面体还原到正方体和长方 体中再去求解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第14页页 思考题 1 (1)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合 体，如果该组合体的主视图、左视图、俯视图均如图
7、所示，且图 中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第15页页 【解析】 由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正 方体的体对角线长为 2 3，即为球的直径 所以球的表面积为 S4 2 3 2 212. 【答案】 12 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第16页页 (2)(2020 江南十校联考)已知圆柱的底面半径为1 2，它的两个 底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( ) A B. 3 4 C. 2 D. 4 高考一轮总复习高考一轮总复习
8、数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第17页页 【解析】 由题意作图，如图所示由题知圆柱 的底面半径 r1 2，球的半径 R1，设圆柱的高为 h. 则由 R h 2 2r2得 12 h 2 2 1 2 2，解得 h 3， 所以该圆柱的体积为 Vr2h 3 4 .故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第18页页 微专题 2：锥体的外接球 例 2 (1)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积为_ 【解析】 设 SO1是正四面体 SABC 的高， 外 接球的球心 O 在 SO1上，设外接球半径为 R，AO1 r， 则在ABC 中得 r 3
9、3 . 从而 SO1 SA2AO1211 3 2 3， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第19页页 在 RtAOO1中，由勾股定理，得 R2 2 3R 2 3 3 2，解得 R 6 4 . V球4 3R 34 3 6 4 3 6 8 . 【答案】 6 8 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第20页页 (2)已知正四棱锥 PABCD 内接于一个半径为 R 的球， 则正 四棱锥 PABCD 体积的最大值是( ) A.16R 3 81 B.32R 3 81 C.64R 3 81 DR3 【解析】 如图，记 O 为正四棱锥 PA
10、BCD 外接球的球心，O1为底面 ABCD 的中心，则 P，O， O1三点共线，连接 PO1，OA，O1A. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第21页页 设 OO1x，则 O1A R2x2，AB 2 R2x2，PO1 Rx， 所以正四棱锥 PABCD 的体积 V1 3AB 2PO 11 32(R 2 x2)(Rx)2 3(x 3Rx2R2xR3)，求导得 V2 3(3x 2 2RxR2)2 3(xR)(3xR)， 当 x R 3 时， 体积 V 有最大值64R 3 81 ， 故选 C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（
11、新课标版） 第第22页页 状元笔记 锥体的外接球问题关键是确定球心位置 (1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心； (2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直 线上； (3)球心到各顶点的距离都相等； (4)球心一定在外接球的直径上 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第23页页 思考题 2 (1)(2020 石家庄市质检)如图， 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点， 若 PB1， APBBAD 3 ， 则三棱锥 PAOB 的外接球的体积是_ 高考一轮总复习高考一轮
12、总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第24页页 【解析】 四边形 ABCD 是菱形，ACBD，则 OAOB.PB平面 ABCD，PBAO，又 OBPBB， AO平面 PBO，AOPO，即PAO 是以 PA 为斜边的直角三 角形PBAB，PAB 是以 PA 为斜边的直角三角形， 三棱锥 PAOB 的外接球的直径为 PA.PB1，APB 3 ， PA2，三棱锥 PAOB 的外接球的半径为 1，三棱锥 P AOB 的外接球的体积为4 3 . 【答案】 4 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第25页页 (2)(2020 山西模拟一) 九章算术中对一些
13、特 殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三 角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与 相对的棱切开， 得到一个阳马(底面是长方形， 且有一条侧棱与底 面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面 体) 在如图所示的堑堵 ABCA1B1C1中， AA1AC5， AB3， BC4，则阳马 C1ABB1A1的外接球的表面积是( ) A25 B50 C100 D200 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第26页页 【解析】 阳马 C1ABB1A1的外接球与以 A1B1， B1C1， BB1 为 棱 的 长 方 体 的 外 接 球 相 同 ， 所 以
14、 球 的 直 径 为 A1B12B1C12BB12 3242525 2， 故球的表面积为 S 4 5 2 2 250.故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第27页页 题型二 几何体的内切球 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第28页页 例 3 (1)半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底 面都相切)的表面积为_，体积为_ 【解析】 外切圆柱的底面半径为 R，高为 2R， S表S侧2S底2R2R2R26R2， V圆柱R22R2R3. 【答案】 6 R2 2 R3 高考一轮总复习高考一轮总复习
15、 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第29页页 (2)若正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为_ 【解析】 如图正四面体 ABCD 的中心为 O， 即内切球球心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面 的距离 ABa, 正四面体的高 h 6 3 a.又 VABCD4VOBCD，h 4R，R1 4h 6a 12 . 【答案】 6a 12 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第30页页 (3)(2020 重庆七校联考)已知正三棱锥的高为 6， 内切球(与四 个面都相切)的表面积为 16 ，则其底面边长为( ) A18 B12 C6 3 D4 3 高考一轮
16、总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第31页页 【解析】 如图，由题意知，球心在三棱锥 的高 PE 上，设内切球的半径为 R，则 S球4R2 16，所以 R2，所以 OEOF2，OP4. 在 RtOPF 中，PFOP2OF22 3.因为 OPFDPE，所以OF DE PF PE，得 DE2 3，AD3DE6 3， AB 2 3AD12.故选 B. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第32页页 状元笔记 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心 (2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法” V多S表R内切
17、1 3. (3)正四面体内切球半径是高的1 4，外接球半径是高的 3 4. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第33页页 思考题 3 (1)(2020 厦门质量检查一) 如图， 某棱锥的正视图和侧视图都是等边三 角形，若该棱锥的体积为4 3 3 ，则该棱锥的 内切球的表面积是( ) A. 3 B.2 3 C.4 3 D.8 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第34页页 【解析】 由正视图和侧视图知，该几何体为正四棱锥，底 面是边长为 2 的正方形因为该棱锥的体积为4 3 3
18、，所以该棱锥 的高 h 3， 斜高 h2.设该棱锥的内切球的半径为 R， 则 41 3 1 222R 1 32 2R4 3 3 ， 解得 R 3 3 .所以该棱锥的内切 球的表面积 S4 3 3 24 3 .故选 C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第35页页 (2)(2020 皖中入学摸底考试)将半径为 3， 圆心角为2 3 的扇形 围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为 ( ) A. 2 3 B. 3 3 C.4 3 D2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第36页页 【解析】 设圆
19、锥的底面半径为 r，高为 h，则 2r2 3 3，r1.h32122 2.设圆锥内切球的半径为 R，则 R 2 2R 1 3，R 2 2 ，V球4 3R 34 3 2 2 3 2 3 .故选 A. 【答案】 A 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第37页页 (3)如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD1截球 O 的截面面积为( ) A. 6 6 B. 3 C. 6 D. 3 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第38页页 【解析】 平面 ACD1截球 O 的截面为AC
20、D1的内切圆 因为正方体的棱长为 1，所以 ACCD1AD1 2， 所以内切圆的半径 r 6 6 ，所以 Sr2 6 36 6 . 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第39页页 题型三 最值问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第40页页 例 4 (1)(2020 贵州贵阳适应性考试)已知底面是正六边形的 六棱锥 PABCDEF 的七个顶点均在球 O 的表面上， 底面正六边 形的边长为 1，若该六棱锥体积的最大值为 3，则球 O 的表面积 为_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标
21、版） 第第41页页 【解析】 因为六棱锥 PABCDEF 的七个顶点均在球 O 的 表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥 P ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大设正六棱锥的高为 h，则 1 3 61 211sin60 h 3，解得 h2.记球 O 的半径为 R， 根据平面截球面的性质，得(2R)212R2，解得 R5 4，所以球 O 的表面积为 4R24 5 4 225 4 . 【答案】 25 4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第42页页 (2)(2020 济南市质量评估)已知球 O 的半径为 3，该球的内接 正三棱锥的体积最大值为
22、V1，内接正四棱锥的体积最大值为 V2， 则V1 V2的值为_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第43页页 【 解 析 】 设 球 O 的 内 接 正 三 棱 锥 的 底 面 边 长 为 a(0a3 3)，球心 O 到正三棱锥底面中心的距离为 x(0 x3)， 则 x2 3 3 a 232， 即 a23(9x2) 如果球 O 的内接正三棱锥的 体积最大，显然球心 O 在该正三棱锥的高线上，所以正三棱锥的 高为 x3，所以该正三棱锥的体积 V1 3 3 4 3(9x2)(3x) 3 4 (9x2)(3x).令 f(x)=(9-x2)(3+x),则 f(x)=
23、-3(x2+2x-3),令 f (x)=0，得 x=-3 或 x=1，可得 f(x)在0,3)上有唯一的极大值，故当 x1 时，f(x)有最大值，其最大值为 32，故 V18 3. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第44页页 设正四棱锥的底面边长为 b(0b3 2)，球心 O 到正四棱锥 的底面中心的距离为 y(0y0 得 0a2 2 3 ，由 V2 2 3 ， 故函数V 2a32a2在 0，2 2 3 上是增函数， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第49页页 在 2 2 3 ， 上是减函数，故当 a2 2 3 时，V 取得最大值，为 2 2 2 3 32 2 2 3 216 27， 圆锥的体积为1 31 222 3 ， 故原工件的材 料利用率为 16 27 2 3 8 9. 【答案】 8 9 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第50页页 请做：专题层级快练（五十） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢
