1、专题层级快练专题层级快练(六十九六十九) 1已知 a，b 满足 2a3b1，则直线 4xay2b0 必过的定点为( ) A. 4 3， 1 6 B. 4 3， 1 6 C. 1 6， 4 3 D. 1 6， 4 3 答案 D 解析 2a3b1，又由 4xay2b0， 得 y 4xa 1 2xb1， y 4x2， 1 2x3， x 1 6， y4 3. 选 D. 2垂直于 x 轴的直线交双曲线 x22y22 于不同的两点 M，N，A1，A2分别为双曲线的左、 右顶点，设直线 A1M 与 A2N 交于点 P(x0，y0)，则 x022y02的值为( ) A5 B4 C3 D2 答案 D 解析 设
2、M(x1，y1)，则 N(x1，y1)，y10，A1( 2，0)，A2( 2，0)，直线 A1M 的 方程为 y y1 x1 2(x 2)，直线 A2N 的方程为 y y1 x1 2(x 2)，由，得 y 2 y12 x122(x 22)x 1 22y 1 22，y21 2(x 22)，即 x22y22.P(x 0，y0)是直线 A1M 与 A2N 的交点，x022y022. 3 一动圆的圆心在抛物线y28x上， 且动圆恒与直线x20相切， 则此动圆必过定点( ) A(4，0) B(2，0) C(0，2) D(0，0) 答案 B 解析 由抛物线 y28x，得准线方程为 xp 22，焦点坐标为(
3、2，0)因为动圆的圆心 在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点 (2，0)故选 B. 4(2020 湖北八校第二次模拟)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物 线于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，若直线 l 的倾斜角为2 3 ，则|AF| |BF|等于( ) A.1 3 B.2 5 C.1 2 D.2 3 答案 A 解析 由题意得F p 2，0 ， 直线l的斜率ktan 2 3 3， 直线l的方程为y 3 xp 2 ， 即 x 3 3 yp 2， 代入抛物线方程得 y 22 3 3 pyp20， 解得 y 3
4、 3 p 或 y 3p， 设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，由点 A 在第一象限可知 y1 3 3 p，则 y2 3p，|AF| |BF| |y1| |y2| 1 3.故选 A. 5(2020 河北石家庄二模)倾斜角为 4 的直线经过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F，与椭 圆交于 A，B 两点，且AF 2FB ，则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 3 答案 B 解析 由题可知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立得 x 2 a2 y2 b21， yxc， (b2a2)y2 2b2cyb40，设 A(x1，y1)，B(x2，y
5、2)，则 y1y22b 2c a2b2， y1y2 b4 a2b2， 又AF 2FB ，(cx1，y1) 2(x2c，y2)，y12y2，可得 y22b 2c a2b2， 2y22 b4 a2b2 . 1 2 4c2 a2b2，又 b 2a2c2，e 2 3 .故选 B. 6(2020 江西新余二模)斜率为 k 的直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于 A， B 两点，点 P(x0，y0)为 AB 中点，作 OQAB，垂足为 Q，则下列结论中不正确的是( ) Aky0为定值 B.OA OB 为定值 C点 P 的轨迹为圆的一部分 D点 Q 的轨迹为圆的一部分 答案 C 解析
6、 由题意知抛物线的焦点为 F p 2，0 ，设直线 l 的方程为 yk xp 2 (k0) 联立 yk xp 2 ， y22px， 消去 y，整理得 k2x2(k2p2p)xk 2p2 4 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2k 2p2p k2 ，x1x2p 2 4 . 则 x0 x1x2 2 k 2p2p 2k2 ， 所以 y1y22p k ，y1y2p2，y0y1y2 2 p k. A 中，ky0k p kp，为定值，故 A 正确 B 中，OA OB x1x2y1y2p 2 4 p23p 2 4 ，为定值，故 B 正确 C 中，由 x0k 2p2p 2k2 ， y0p
7、 k， 消去 k，得 x0p 2 y02 p ，故点 P 的轨迹不是圆的一部分，所以 C 错 误 D 中，由于 OQAB，直线 AB 过定点 F p 2，0 ，所以点 Q 在以 OF 为直径的圆上故 D 正 确 7过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，则 1 |AF| 1 |BF|_ 答案 2 p 8已知曲线 C：y22px(p0)O 为原点，A，B 是 C 上两个不同点，且 OAOB，则直线 AB 过定点_ 答案 (2p，0) 9已知 A，B 是抛物线 C：y22px(p0)过焦点的弦两个端点，分别过 A，B 作 C 的切线 l1， l2，则 l1与 l2的
8、交点在定直线 l 上，那么 l 的方程为_ 答案 xp 2 10 (2017 课标全国)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)， 四点 P1(1， 1)， P2(0， 1)， P3 1， 3 2 ， P4 1， 3 2 中恰好有三点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1， 证明：l 过定点 答案 (1)x 2 4y 21 (2)略 解析 (1)由于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 P3，P4两点又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2知，C
9、不经过点 P1，所以点 P2在 C 上，因此 1 b21， 1 a2 3 4b21， 解得 a24， b21. 故 C 的方程为x 2 4y 21. (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果 l 与 x 轴垂直， 设 l： xt， 由题设知 t0， 且|t|0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8km 4k21，x1x2 4m24 4k21. 而 k1k2y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 2kx1x2（m1）（x1x2） x1x2 . 由题设知 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0， 即(
10、2k1) 4m24 4k21(m1) 8km 4k210，解得 k m1 2 . 当且仅当 m1 时，0， 于是 l：ym1 2 xm，即 y1m1 2 (x2)，所以 l 过定点(2，1) 11已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 e 3 2 ，其左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2| 2 3，设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率 之积为1 4. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求证：x12x22为定值，并求该定值 答案 (1)x 2 4y 21 (2)4 解析 (1)依题意，c 3，而 e 3 2 ，a2，b
11、2a2c21，则椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 1. (2)证明：由于y1 x1 y2 x2 1 4，则 x1x24y1y2，x1 2x 2 216y 1 2y 2 2. 而x1 2 4 y121，x2 2 4 y221，则 1x1 2 4 y12，1x2 2 4 y22， 1x1 2 4 1x2 2 4 y12y22，则(4x12)(4x22)16y12y22， (4x12)(4x22)x12x22，展开，得 x12x224 为定值 12过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点 (1)若|AB|8，求直线 l 的方程； (2)若点 A
12、关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该定点的坐标 答案 (1)yx1 或 yx1 (2)证明略，定点为(1，0) 解析 (1)由题知，抛物线 C：y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，直线 l 的斜率为 k，故可设 直线 l 的方程为 yk(x1)，直线 l 与抛物线 C 的交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 y24x， yk（x1），得 k 2x2(2k24)xk20. 由题意知 k0，且 (2k24)24k2k216(k21)0. 所以 x1x22k 24 k2 ，x1x21. 由抛物线的定义，知|AB|x1x228，所以 x1x26， 所以2k
13、 24 k2 6，即 k21，解得 k 1， 所以直线 l 的方程为 yx1 或 yx1. (2)证明：因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D，所以 D(x1，y1)， 则直线 BD 的斜率为 kBDy2y1 x2x1 y2y1 y22 4 y1 2 4 4 y2y1， 所以直线 BD 的方程为 yy1 4 y2y1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y1 24x4x 1. 因为 y24x，x1x21，所以(y1y2)216x1x216，即 y1y24(因为 y1，y2异号)， 所以(y2y1)y4y124x4y1 2 4 ， 所以直线 BD 的方程为 4(x1)(y1y2)y0. 由 x10， y0， 解得 x1， y0， 所以直线 BD 过定点(1，0)
