1、专题层级快练专题层级快练(六十八六十八) 1(2020 河北武邑中学期末)抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点 (1)O 为坐标原点，求证：OA OB 3； (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最 小值 答案 (1)略 (2)4 解析 (1)证明：依题意得，F(1，0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 xmy 1. 联立 xmy1， y24x， 消去 x 得 y24my40. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24. x1x2(my11)(
2、my21)m2y1y2m(y1y2)11， 故OA OB x1x2y1y23. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB. 由(1)知 2SAOB21 2|OF|y1y2| （y1y2）24y1y24 1m2， 所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4. 2.(2020 江西南昌摸底考试)如图，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右 焦点为 F，焦距为 4，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 A 关于原点 O
3、 的对称点为 C，当 l 的斜率存在时，直线 AB 和 BC 的斜率之 积为1 2. (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)求OBC 面积的最大值 答案 (1)x 2 8 y2 4 1 (2)2 2 解析 (1)由焦距为 4，可得 2c4，解得 c2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(x1，y1) 由 kABkBC1 2，得 y2y1 x2x1 y2y1 x2x1 y22y12 x22x12 1 2. 将 A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别代入x 2 a2 y2 b21，得 x12 a2 y1 2 b2 1， x22 a2 y2 2 b2 1. ，得y2 2y 1 2
4、x22x12 b2 a2，所以 a 22b2. 又 a2b2c2，所以 b2c24，所以 a22b28， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 8 y 2 41. (2)由点 A，C 关于原点对称，可得 SOBCSOAB. 又直线 AB 的倾斜角不为 0，焦点 F(2，0)， 所以可设直线 AB 的方程为 xty2. 由 x 2 8 y 2 4 1， xty2， 消去 x 并整理，得(t22)y24ty40， 则 y1y2 4t t22，y1y2 4 t22. 所以 SOBCSOAB1 2|OF|y1y2| （y1y2） 24y 1y2 4t t22 2 16 t224 2 t21 t22 4 2
5、 1 t21 1 t21 2 2， 当且仅当 1t21，即 t0 时取等号， 所以OBC 面积的最大值为 2 2. 3(2020 福建闽侯县三中期中)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 6 3 ，且与直线 y x2 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 A(2，0)，动点 B 在 y 轴上，动点 P 在椭圆 C 上，且 P 在 y 轴的右侧，若|BA|BP|， 求四边形 OPAB(O 为坐标原点)面积的最小值 答案 (1)x 2 3y 21 (2)2 解析 (1)由题意知，离心率 e 6 3 c a，所以 c 6 3 a，b 3 3 a，所以 x23y2a2，
6、 将 yx2 代入得 4x212x12a20， 由 12244(12a2)0，得 a 3，b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 3 y21. (2)设线段 AP 的中点为 D，因为|BA|BP|，所以 BDAP， 由题意得直线 BD 的斜率存在且不为零，设 P(x0，y0)(0x00)的准线 l1与 x 轴交于点 M，直线 l2：4x3y60 与抛物 线 C 没有公共点，动点 P 在抛物线 C 上，点 P 到 l1，l2的距离之和的最小值等于 2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 M 的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A，B，设MA MB 1 30，所以 p2. 所以抛物线 C
7、的方程为 y24x. (2)由(1)可得点 M 的坐标为(1，0)，由题意知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的 方程为 yk(x1) 由 yk（x1）， y24x 消去 x，整理得 ky24y4k0， 因为直线 AB 与抛物线交于两个不同的点，所以 1616k20，所以 0k21. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24， y1y24 k， 因为MA MB ，M(1，0)，所以(x11，y1)(x21，y2)，所以 y1y2， 由可得 k2 4 （1）2. 所以|AB|1 1 k2|y1y2| 1 1 k2 （y1y2）2 1 1 k2 （y1y2）24y1y2
8、 1 1 k2 1616k 2 k2 1616k4 k4 ， 则|AB|21616k 4 k4 16 k416 （1）4 2 16（ 221）2 2 16 1 2 2 16， 令 f()1 ， 1 31，则 f()在 1 3，1 上单调递减， 因此可得 21 10 3 ， 所以 0 1 2 2 16112 9 ， 所以 0b0)的离心率为 3 2 ， 抛物线 C2：x2ay 的准线方程为 y1 2. (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； (2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C1交于不同的两点 P，Q，若 O 在以 PQ 为直径的圆的 外部，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 答
9、案 (1)C1：x 2 4y 21，C 2：x 22y (2)k 2， 3 2 3 2 ，2 解析 (1)由题意得a 4 1 2，a2，故抛物线 C2的方程为 x 22y. 又 e 3 2 ，c 3，b1，从而椭圆 C1的方程为x 2 4 y21. (2)显然直线 x0 不满足条件，故可设直线 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由 x 2 4 y21， ykx2， 得(14k2)x216kx120. (16k)2412(14k2)0，k ， 3 2 3 2 ， ， x1x2 16k 14k2，x1x2 12 14k2， 根据题意，得 0POQ0， OP OQ x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)412（1k 2） 14k2 2k 16k 14k24 164k2 14k2 0， 2k2，综上得 k 2， 3 2 3 2 ，2 .
