1、专题层级快练专题层级快练(七十七十) 1(2019 陕西咸阳模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率 为1 2，点 A 在椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M(m，0)，使得 MNPQ？若存在，求 实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案 (1)x 2 4 y2 3 1 (2)存在 m 0，1 4 解析 (1)由 e1 2，得 a2c. 由|AF1|2，得|AF2|2a
2、2. 由余弦定理得|AF1|2|AF2|22|AF1| |AF2|cosF1AF2|F1F2|2， 即 a23a3c2， 解得 c1， a2，b2a2c23. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 31. (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0) 由 F2(1，0)，设直线 PQ 的方程为 yk(x1)，由 x 2 4 y 2 3 1， yk（x1）， 得(4k23)x28k2x4k2120， 得 x1x2 8k2 4k23，故 x0 x1x2 2 4k2 4k23. 又点 N 在直线 PQ 上，所以 y0y1y2 2 k（x11）k（x21） 2 k 2(x1x22
3、) 3k 4k23， 所以 N 4k2 4k23， 3k 4k23 . 因为 MNPQ，所以 kMN 0 3k 4k23 m 4k2 4k23 1 k，整理得 m k2 4k23 1 4 3 k2 0，1 4 . 所以在线段 OF2上存在点 M(m，0)，使得 MNPQ，m 的取值范围为 0，1 4 . 2(2019 吉林一中二模)已知抛物线 C：y22px(p0)与直线 x 2y40 相切 (1)求该抛物线的方程； (2)在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，使得 1 |AM|2 1 |BM|2为定值？如果存在，求出点 M 的坐
4、标；如果不存在，请说明理由 答案 (1)y28x (2)存在 M(4，0) 解析 (1)联立方程，有 x 2y40， y22px， 消去 x，得 y22 2py8p0，由直线与抛物线相 切，得 8p232p0，解得 p4. 所以抛物线的方程为 y28x. (2)假设存在满足条件的点 M(m，0)(m0) 直线 l：xtym，由 xtym， y28x， 得 y28ty8m0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，有 y1y28t，y1y28m. |AM|2(x1m)2y12(t21)y12， |BM|2(x2m)2y22(t21)y22. 1 |AM|2 1 |BM|2 1 （t21）y12
5、 1 （t21）y22 1 t21 y12y22 y12y22 1 t21 4t2m 4m2 ， 当 m4 时， 1 |AM|2 1 |BM|2为定值，所以 M(4，0) 3(2020 湖南五市十校联考)已知动圆 C 过定点 F(1，0)，且与定直线 x1 相切 (1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程 (2)过点 M(2，0)的任一条直线 l 与轨迹 E 相交于不同的两点 P，Q，试探究在 x 轴上是否 存在定点 N(异于点 M)，使得QNMPNM？若存在，求点 N 的坐标；若不存在， 说明理由 答案 (1)y24x (2)存在点 N(2，0)，使得QNMPNM 解析 (1)方法一：由题意知
6、，动圆圆心 C 到定点 F(1，0)的距离与其到定直线 x1 的距 离相等，又由抛物线的定义，可得动圆圆心 C 的轨迹是以 F(1，0)为焦点，x1 为准线的 抛物线，其中 p2. 动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 y24x. 方法二：设动圆圆心 C(x，y)，由题意知 （x1）2y2|x1|，化简得 y24x，即动圆圆 心 C 的轨迹 E 的方程为 y24x. (2)假设存在点 N(x0，0)，满足题设条件 由QNMPNM可知，直线 PN 与 QN 的斜率互为相反数，即 kPNkQN0. 由题意知直线 PQ 的斜率必存在且不为 0，设直线 PQ 的方程为 xmy2. 联立 y24x， xm
7、y2，得 y 24my80. 由 (4m)2480，得 m 2或 mb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右 顶点为 A，上顶点为 B，且满足向量BF1 BF2 0. (1)若 A(2，0)，求椭圆的标准方程 (2)设 P 为椭圆上异于顶点的点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，问是否存在过点 F2的直 线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由 答案 (1)x 2 4 y2 2 1 (2)存在，k1 2 30 10 解析 (1)易知 a2，因为BF1 BF2 0， 所以BF1F2为等腰直角三角形 所以 bc，由 a2b2c2可知 b 2， 故椭圆的标准方程为x 2 4 y2 2
8、 1. (2)由已知得 b2c2，a22c2， 设椭圆的标准方程为 x2 2c2 y2 c21，点 P 的坐标为(x0，y0) 因为 F1(c，0)，B(0，c)， 所以F1P (x0c，y0)，F1B (c，c)， 由题意得BF1 PF1 0，所以 x0cy00. 又因为点 P 在椭圆上，所以x0 2 2c2 y02 c2 1，由以上两式可得 3x024cx00. 因为 P 不是椭圆的顶点， 所以 x04 3c，y0 1 3c，故 P 4 3c， 1 3c . 设圆心为(x1，y1)，则 x12 3c，y1 2 3c， 圆的半径 r （x10）2（y1c）2 5 3 c. 假设存在过点 F2
9、的直线满足题设条件，并设该直线的方程为 yk(xc)， 由相切可知|kx1kcy1| k21 r，所以 |k 2 3c kc 2 3c| k21 5 3 c， 即 20k220k10，解得 k1 2 30 10 ，故存在满足条件的直线 5(2020 沧州七校联考)已知抛物线 C：y22px(p0)，其焦点为 F，O 为坐标原点，直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B，M 为 AB 的中点 (1)若 p2，M 的坐标为(1，1)，求直线 l 的方程 (2)若直线 l 过焦点 F，AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，试问：2|MN| 2 |FN| 是否为定值？若为定 值，试求出此定值；
10、否则说明理由 答案 (1)2xy10 (2)2|MN| 2 |FN| 是定值，定值为 2p 解析 (1)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，故设直线 l 的方程为 x1t(y1)，即 x ty1t, 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 xty1t， y24x， 得 y24ty44t0， 16t21616t16(t2t1)0，y1y24t， 4t2，即 t1 2. 直线 l 的方程为 2xy10. (2)抛物线 C：y22px(p0)，焦点 F 的坐标为 p 2，0 . 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，直线 l 过焦点 F，故设直线 l 的方程为 xtyp 2(t0)， 设 A (x1，y1)，B(x2，y2) 由 xtyp 2， y22px， 得 y22ptyp20， y1y22pt，4p2t24p20. x1x2t(y1y2)p2pt2p，M pt2p 2，pt . MN 的方程为 yptt xpt2p 2 . 令 y0，解得 xpt23p 2 ，N pt23p 2 ，0 ， |MN|2p2p2t2，|FN|pt23p 2 p 2pt 2p， 2|MN| 2 |FN| 2（p 2p2t2） pt2p 2p. 综上，2|MN| 2 |FN| 是定值，定值为 2p.
