1、 - 1 - 第 5 题图 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 09 满分 150分，时间 120分钟 第 I卷 共 60 分 一、选择题： 本大题有 12小题， 每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1 命题 “ 0xR?， 20020xx? ? ? ” 的否定是 A 0xR?， 20020xx? ? ? B xR? ， 2 20xx? ? ? C xR? ， 2 20xx? ? ? D xR? ， 2 20xx? ? ? 2 下列有关命题的说法正确的是 A命题 “ 若 2 1x? ，则 1x? ” 的否命题为 “ 若 2 1x? ，则 1x? ” B
2、命题 “ 若 xy? ，则 22xy? ” 的逆否命题是假命题 C命题 “ 若 220ab?，则 ,ab全不为 0” 为真命题 D命题 “ 若 ? ” ，则 cos cos? ” 的逆命题为真命题 3 抛物线 2axy? 的焦点坐标为 A )0,41( a B )0,4(a C )41,0( a D )4,0( a 4 已 知 正 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 ， 点 E 为 上 底 面 11AC 的 中 心 ， 若1AE AA x AB y AD? ? ?，则 ,xy的值是 A 11,22xy? B 11, 2xy? C 1,12xy? D 1, 1xy? 5 如图，
3、在正方体 A1B1C1D1ABCD中， E是 C1D1的中点，则异面直线 DE 与 AC夹角的余弦值为 A 1010? B 120? C. 120 D. 1010 6 过点 (2, 2)P ? ，且与 2 2 12x y?有相同渐近线的 双曲线方程 是 A 124 22 ? yx B 142 22 ?xy C 142 22 ? yx D 124 22 ?xy 7 “ 方程 21xm- + 23ym- =1 表示焦点在 y轴上的椭圆 ” 的充分不必要条件是 A 31 2m? B 12m? C 23m? D 13m? - 2 - 第 10 题图 A E B C G D F B A D C 8 已知
4、 ABP 的顶点 A 、 B 分别为双曲线 22:116 9xyC ?的左右焦点，顶点 P 在双曲线 C上，则 sin sinsinABP? 的值等于 A 7 B 74 C 54 D 45 9 已知抛物线 xy 42 ? 上的焦点 F ，点 P 在抛物线上，点 ? ?1,2?A ，则要使 | | | |PF PA?的值最小的点 P 的坐标为 A ? 1,41B ? 1,41C ? ?22,2? D ? ?22,2? 10 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ， EF、 分别是 AB AD、 的 中点， GC 平面 ABCD ，且 2GC? ，则点 B 到平面 EFG 的距 离为 A 10
5、10 B 11112 C 53 D 1 11 如图，椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的四个顶点 , , ,ABCD 构成 的四边形为菱形，若菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆 的离心率是 A 352 B 358? C 512? D 514? 12 双曲线 1y x? 的实轴长和焦距分别为 A 2,2 B 2,22 C 22,4 D 2 2,4 2 第 卷 共 90 分 二、填空题：本大题有 6小题，每小题 5分，共 30分，把答案填在答卷的相应位置 . 13 已知向量 ( 1,0,1)a? ， (1,2,3),b k R?，且 ()ka b? 与 b 垂直，则 k 等
6、于 . 14 设 1F ， 2F 是椭圆 2 2 14x y?的两个焦点，点 P 在椭圆上，且 120FP PF?，则 12FPF 的面积为 . y O x 第 11 题图 - 3 - 第 17 题图 15 已知抛物线 2 8yx? ， F 为其焦点， P 为抛物线上的任意点，则线段 PF 中点的轨迹方程是 . 16 有一抛物线形拱桥，中午 12点时，拱顶离水面 2 米，桥下的水面宽 4 米；下午 2 点，水位下降了 1米，桥下的水面宽 米 . 17 如图，甲站在水库底面上的点 D 处，乙站在水坝斜面 上的点 C 处，已知测得从 C、D 到库底与水坝的交线 的距离分别为 10 2DA? 米、
7、10CB? 米， AB 的长 为 10米， CD 的长为 106 米，则库底与水坝所成的二 面角的大小为 度 . 18 已知平面 ? 经过点 (1,1,1)A ，且 (1,2,3)n? 是它的一个法向量 . 类比曲线方程的定义以及 求曲线方程的基本步骤，可求得平面 ? 的方程是 . 三、解答题：本大题有 5题，共 60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 19 （本小题满分 12分） 在如图的多面体中， EF 平面 AEB ， AE EB? , /AD EF ， /EF BC ，24BC AD?， 3EF? ， 2AE BE?， G 是 BC 的中点 () 求证： /AB 平面 DE
8、G ； () 求二面角 C DF E?的余弦值 . 20（ 本小题满分 10分） 已知抛物线 2:4C y x? 与直线 24yx?交于 AB, 两点 . () 求弦 AB 的长度； () 若点 P 在 抛物线 C 上，且 ABP? 的面积为 12，求点 P的坐标 . 21 (本小题满分 12分 ) 已知双曲线 C与椭圆 148 22 ? yx 有相同的焦点， 实半轴长为 3 . () 求双曲线 C 的方程； () 若直线 2: ?kxyl 与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B ,且 2OA OB? (其中 O 为原点 ),求 k 的取值范围 . 22 (本小题满分 12分 ) A DF
9、EB G C- 4 - xzyA DFEB G C如图，在平行四边形 ABCD 中， 01, 2 , 9 0A B B D A B D? ? ? ?，将它们沿对角线 BD 折起，折后的点 C 变为 1C ，且 1 2AC? () 求证：平面 ABD? 平面 1BCD ； () E 为线段 1AC 上的一 个动点，当线段 1EC 的 长为多少时 ,DE 与平面 1BCD 所成的角为 030 ？ 23 （本小题满分 14分） 如图，已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?， 1 2 1,A A B 是椭圆 C 的顶点，若椭圆 C 的离心率 32e? ，且过点 2( 2, )2
10、 . () 求椭圆 C 的方程； () 作直线 l ，使得 21/l AB ，且与椭圆 C 相交于 PQ、 两点（异于椭圆 C 的顶点），设直线 1AP和直线 1BQ的倾斜角分别是 ,?，求证： ? ? ?. 参考答案 一、选择题： 1 12： BDCADB ADABCC 二、填空题： 13 7 14 1 15. 2 44yx? 16 26 17 135 18. 2 3 6 0x y z? ? ? ? 三、解答题： 19解 : () 证法一： / / , / /AD EF EF BC， /AD BC . 又 2BC AD? ,G 是 BC 的中点， /AD BG ， 四边形 ADGB 是平行四
11、边形， /AB DG . AB? 平面 DEG ， DG? 平面 DEG ， /AB 平面 DEG . 证法二： EF? 平面 AEB ， AE? 平面 AEB ， BE? 平面 AEB ， EF AE? ， EF BE? ， 又 AE EB? , ,EB EF EA 两两垂 直 . 2,4,6 - 5 - 以点 E为坐标原点， ,EB EF EA 分别为 ,xyz 轴建立如图的空间 直角坐标系 .由已知得， A （ 0， 0， 2）， B （ 2， 0， 0）， C （ 2， 4， 0）， F （ 0， 3， 0）， D （ 0， 2， 2）， G （ 2， 2， 0） ( 0 , 2 ,
12、2 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 2 )E D E G A B? ? ? ?, 设平面 DEG 的法向量为 ( , , )n x y z? 则 00ED nEG n? ?，即 2202 2 0yzxy? ?，令 1y? ,得 ( 1,1, 1)n? ? ? . 2 2 0AB n? ? ? ? ?，即 AB n? . AB? 平面 DEG , /AB 平面 DEG . () 由已知得 (2,0,0)EB? 是平面 EFDA 的法向量 . 设平面 DCF 的法向量为 0 0 0 0( , , )n x y z? ， (0 , 1, 2 ), (2 ,1, 0 )F
13、D F C? ? ?， 0000FD nFC n? ?，即 00002020yzxy? ? ? ?，令 0 1z? ,得 0 ( 1,2,1)n ? . 则0 26c o s , 626n E B ? ? ? ?， 二面角 C DF E?的余弦值为 6.6? 20解： () 设 A（ x1,y1)、 B(x2,y2), 由2244yxyx? ?得 x2-5x+4=0,0. 法一：又由韦达定理有 x1+x2=5,x1x2=4 , | AB|= 2 121 2 | |xx? = 221 2 1 21 2 ( ) 4 5 2 5 1 6 3 5 ,x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 法二：
14、解方程得： x=1 或 4， A 、 B两点的坐标为（ 1,-2)、（ 4,4） | AB|= 22(4 1) (4 2 ) 3 5 ,? ? ? ? () 设点 2( , )4ooyPy,设点 P到 AB的距离为 d,则 2 425o oy yd? ,S PAB=21 53 2 425o oy y?=12， - 6 - y z x 2 482o oy y? ? ?. 2 482ooy y? ? ? ?，解得 6oy? 或 4oy? P点为（ 9， 6）或（ 4， -4） . 21 解： () 设双曲线的方程为 )0,0(12222 ? babyax , 2,3 ? ca? , 1?b , 故
15、双曲线方程为 13 22 ?yx . () 将 2?kxy 代入 13 22 ?yx 得 0926)31( 22 ? kxxk 由? ? ? 0 031 2k 得 ,312?k 且 12?k 设 ),(),( 2211 yxByxA ,则由 2?OBOA 得 )2)(2( 21212121 ? kxkxxxyyxx = 2)(2)1( 21212 ? xxkxxk 2231 26231 9)1(222 ? kkkkk,得 .331 2 ?k 又 2 1k? ， 21 13 k? ? ? ,即 )1,33()33,1( ?k 22 () 2 2 21 1 1 12A C A C A B B C
16、A B B C? ? ? ? ? ? 又 AB BD? ， 1 1 1,B C B D B C D B C B D B? ? ?平 面 1AB BC D?平 面 AB ABD? 平 面 平面 ABD? 平面 1BCD （ ）在平面 1BCD 过点 B作直线 l BD? ,分别直线 ,l BDBA 为 x， y， z建立空间直角坐标系 B-xyz 则 A(0,0,1)， C1(1, 2 ,0)， D(0, 2 ,0) - 7 - ),1,2,0(),1,2,1(1 ? ADAC )1,0,0(?BA 设 1 ( , 2 , )A E A C? ? ? ? ? ?，则 ( , 2 ,1 ), 0
17、,1E ? ? ? ? )1,22,( ? ?DE 又 )1,0,0(?BA 是平面 BC1D的一个法向量 依题意得 sin 3 0 | co s , |o B A D E? ? ?，即2211|23( 1)? ? 解得 21? ， 即 1| | 1CE? 时， DE 与平面 1BCD 所成的角为 030 23. 解： （ ）由已知得： 222 2 2322112caabc a b? ? ? 2, 1ab?， ?椭圆 C的方程为 2 2 14x y? （ ）由（ ）知： 1( 2,0)A? ， 2(2,0)A ， 1(0,1)B 21/l AB ? 21 12l A Bkk? ? 故可设直线
18、l 的方程为 12y x m? ? ，设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y 由22 1412x yy x m? ? ? ?得 222 2 2 0x mx m? ? ? ? ? 224 4 (2 2 ) 0mm? ? ? ?，即 22m? ? ? , 21 2 1 22 , 2 2x x m x x m? ? ? ? ,PQ异于椭圆 C的顶点， ? ,22?, - 8 - ?1 11ta n 2APyk x? ? ?，1 2 21ta n BQ yk x? ? ? tan tan?1212yyxx? 2 1 1 212( 2 )( 1)( 2 )x y x yxx? ? ? ? 2 1 1 2 2 11222( 2 )x y x y y xxx? ? ? ? 1112y x m? ?，2212y x m? ? tan tan?2 1 1 2 2 1121 1 1( ) ( ) 2 ( ) 22 2 2( 2 )x x m x x m x m xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 212( 1 ) ( ) 2 2( 2 )m x x x
