1、 1 2017-2018 高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷 2 一、填空题 1 命题“ ”的否定是 _ 【答案】 【解析】 根据全称命题的否定为特称命题可得： “ ” 的否定是 ，故答案为. 2 设曲线 在点 (3,2)处的切线与直线 垂直 ,则 _. 【答案】 -2 考点：导数的运用 . 3 已知函数 ? ? 4 2 1f x a x a? ? ?.若命题：“ ? ?0 0,1x? ，使 ? ?0 0fx? ”是真命题，则实 数 a 的取值范围是 _ 【答案】 12a? 【解析】试题分析：由题意 ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 1 4 2 1 0f f a a a? ? ? ?
2、 ? ?，解得 12a? 考点：含有存在题词的命题的真假函数的零点 4 若不等式 x2 2x+3 a 0成立的一个充分条件是 0 x 5，则实数 a的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 不等式 成立的一个充分条件是 ， 当 时，不等式 不等式 成立， 设 则满足 ，即 解得 故答案为 2 5 已知点 A( 3， 4)， B(6， 3)到直线 l:ax y 1 0 的距离相等，则实数 a等于 _ 【答案】 或 【解析】 两点 ， 到直线 的距离相等， ，化为 ， 解得 或 ，故答案为 或 . 6 已知函数 ? ? 3213f x ax x x? ? ?在区间 ? ?0,2 上是单调增函数，则实数
3、 a 的取值范围为 _. 【答案】 1a? 点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意 f (x)0（或 f (x)0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（ a,b）内可导的函数 f(x)在（ a,b）上递增（或递减）的充要条件应是 f( x)0 或 f (x)0 恒成立，且 f (x)在（ a,b）的任意子区间内都不恒等于 0。这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点 x0处有 f (x0)=0. 7抛物线 2 12yx? 的准线与双曲线 22162xy?的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 【答案】 33 【解析】试题分
4、析：抛物线的准线方程为 3x? ，双曲线的渐近线方程为 33yx? ，所以所要求的三角形3 的面积为 1 3 2 3 3 32 ? ? ? ； 考点： 1抛物线的几何性质； 2双曲线的几何性质； 8 已知函数 ?fx是定义在 R上的奇函数，且当 ? ?,0x? 时， ? ? ? ? 0f x xf x?若? ? ? ?221ln3l o g 52,1 l o g 53 ln2ff fm n k? ? ?，则 ,mnk 的大小关系为 _.（用 “” 连接） 【答案】 n m k? 9下列四个命题： 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； 命题 “ 设 ，若 ，则 或 ” 是一个假命题；
5、“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件； 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真其中不正确的命题是 （写出所有 不正确 命题的序号） 【答 案】 【解析】试题分析： 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真； 命题 “ 设 ， ，若 ，则 或 ” 是一个真命题； 的解集是 ，故 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件；正确； 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真正确 考点：命题真假的判断 10 已知函数 ? ?0 xxfxe?，设 ? ?1nfx? 为 ?nfx的导函数， 4 ? ? ? ? ? ? ?10211 ,2 ,xxxf x f xexf x f xe? 根据以上结果，推
6、断 ? ?2017fx? _. 【答案】 2017x xe?【解析】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 132 212 3 1xx nnxxxe x e x n xf x f x f xeee? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 1 7 12017 20171 x xfx e? ? ? ?2017x xe ? . 11 已知函数 ? ? 1 ( 1)xf x a a? ? ?的图象为曲线 C,O为坐标原点，若点 P为曲线 C上的任意一点，曲线 C上存在点 Q,使得 OP OQ? ，则实数 a 的取值集合为 _. 【答案】 ?e 【解析】 不妨设 ? ? ? ?
7、1 1221 11 1 2 2 1 2 221 1, , , ( 0 ) 11x xxxya yaP x y Q x y x xyaya? ? ? ? ? ? ? ?121 2 1 2 1 2+ = + 1 1xxx x y y x x a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12121212= - 1 1 = 0 111xx xxxxx x a a aa? ? ? ?， 设 ? ? ? ?1xxg x g xa? ? ? ?21 ln1xxxa xa aa?， 记 ? ? ? ? ? ? ? ?21 l n l n 0 0x x xh x a x a a h x x a a g x g
8、x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是减函数，由? ? ? ?1 21g x a egx? ? ? ，故所求集合为 ?e 12 函数 ? ?lo g 3 1 ( 0 , 1 )ay x a a? ? ? ? ?且的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 20mx ny? ? ? 上，其中0mn? ，则 12mn? 的最小值为 _. 【答案】 4 【解析】 ? ?2 , 1 2 2A m n? ? ? ? ? 5 1 2 1 2 2 1 4 1 44 4 2 42 2 2m n n m n mm n m n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、当且仅当 2nm? 时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” (即条件要求中字母为正数 )、“定” (不等式的另一边必须为定值 )、“等” (等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 . 13 已知 F1,F2是椭圆 2 2 14x y?和双曲线 C2的公共焦点 ,A为 C1,C2的一个公共点 ,且 A到原点的距离为 2 ,则 C2的离心率为 _ 【答案】 3 14 已知椭圆 22:143xyC ?的右顶点为 A , 点 ? ?2,4M ,过椭圆 C 上任意一点 P 作直线 MA 的垂线 ,垂足为 H ,则 2 PM PH?
10、的最小值为 _. 【答案】 2 17 2? 【解析】 在椭圆中， 2, 1ac?，所以椭圆的右焦点坐标为 ? ?2,0F ，右准线方程为 4x? 。过点 P 作右准线的垂线，设垂足为 G，则 2PH PG?，由椭圆的第二定义得 12PFe PG?，所以 2PG PF? 。 因此 ? ?2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 7 2P M P H P M P F P M P F M F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 ,MPF 三点共线时等号成立。 6 所以 2 PM PH? 的最小值为 2 17 2? 。 答案： 2 17 2? 点睛：本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥
11、曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷，如在本题中运用了连接两点间的线中线段最短的结论。 二、解答题 15 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ 116a )的定义域为 R;命题 q:方程 22110 4xyaa?表示椭圆 (1)如果 p是真命题 ,求实数 a 的取值范围 ; (2)如果命题 “p或 q”为真命题 ,求实数 a的取值范围。 【答案】 （ 1） 2a? ；（ 2） 4a? 【解析】 试题分析：（ 1）命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ 116a )的定义域为 R转化为 ax2-x+
12、 1 016a? 在 R上恒成立（） ? ?0a? 舍 ；） 20, 1 0,4aa ? ? ? ? ?解不等式求解（ 2）由（ 1）知 2,p a q?真 ， 真 ： 1 0 0 4 0 ,1 0 4aaaa? ? ?解 得 4 10, 3,aa? ? ? ?且 qp或 为真即求 p真 q真的并集即得解 . 试题解析： （ 1）命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ 116a )的定义域为 R转化为 ax2-x+ 1 016a? 在 R上恒成立（） ? ?0a? 舍 ；） 20 , 1 0 , a 24aa ? ? ? ? 解 得；所以 2a? . （ 2）由（ 1）知 2,p a q
13、?真 ， 真 ： 1 0 0 4 0 ,1 0 4aaaa? ? ?解 得 4 10, 3,aa? ? ? ?且 qp或 为真即求 p真 q真的并集，所以 4.a? 16 已知 0m? ，命题 :p 椭圆 C1： 2213xym?表示的是焦点在 y 轴上的椭圆，命题 :q 对 kR? ，直线 2 1 0kx y? ? ? 与椭圆 C2： 2 2 22x y m?恒有公共点 . 7 （ 1）若命题 “ pq? ”是假命题，命题“ pq? ”是真命题，求实数 m 的取值范围 . （ 2）若 p 真 q 假时，求椭圆 C1、椭圆 C2的上焦点之间的距离 d的范围。 【答案】 （ 1） ? ? ? ?
14、 ? ?, 1 0 , 1 3 ,m ? ? ? ? ? ?；（ 2） 2 ,32d ? 【解析】 试题分析：（ 1）当命题 P为真命题时可得 03m?，当 q 为真命题时 11mm? ?或 ；由“ pq? ”假，“ pq? ”真可得 pq， 一真一假，分两种情况讨论可得结论；（ 2）由条件知求当 01m?时，求点? ?0, 3 m? 与点 20, 2 m?之间距离的最小值，利用函数的知识可 求解。 试题解析： （ 1）若命题 P为真命题时，则有 03m?， 直线 2 1 0kx y? ? ? 过定点 ? ?0,1A ， 当命题 q 为真命题时，则有 2 2 201m? ， 解得 11mm?
15、?或 ， 命题 “ pq? ”是假命题，命题 “ pq? ”是真命题， 命题 p 和命题 q 一真一假。 当 p 真 q 假时， 则有 03 11mm? ? ?，解得 01m?； 当 p 假 q 真时， 则有 03 11mm? ? ?或 或，解得 1m? 或 3m? 。 综上所述 1m? 或 01m?或 3m? ， 所以实数 m 的取值范围为 ? ? ? ? ? ?, 1 0 ,1 3 ,? ? ? ? ?。 8 点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法 (1)求出当命题 p， q为真命题时所含参数的取值范围； (2)判断命题 p， q的真假性； (3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补
16、集的运算，求解参数的取值范围 17 如图，在半径为 3m 的 14 圆形（ O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 OABC ，其中点 B 在圆弧上，点,AC在两半径上，现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长 AB xm? ，圆柱的体积为 3Vm . （ 1）写出体积 V 关于 x 的函数关系式，并指出定义域； （ 2）当 x 为何值时，才能使做出的圆柱形 罐子体积 V 最大？最大体积是多少？（圆柱体积公式： V sh? ， s 为圆柱的底面积， h 为圆柱的高） 9 【答案】 （ 1） 39 4xxV ? ， 其中 03x?.（
17、2）当 x 为 3 m 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是 332? 3m . 【解析】 试题分析：（ 1）连接 OB，在 Rt OAB中，由 AB=x，利用勾股定理可得 29OA x?，设圆柱底面半径为 r，则 29OA x?=2r ，即可得出 r利用 V=r 2?x（其中 0 x 30）即可得出（ 2）利 用导数 V ，得出其单调性，即可得出结论 列表如下： x ? ?0, 3 3 ? ?3,3 V? ? 0 ? V 极大值 332? 所以当 3x? 时， V 有极大值，也是最大值为 332? . 答：当 x 为 3 m 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是 332? 3m . 10 18如 图，椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 l的方程为
