1、 - 1 - 宿迁市 2017 2018学年度高二第一学期期末数学试卷 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在 答题卡相应位置上 1. 写出命题 “ ” 的否定 ： _ 【答案】 . 2. 抛物线 的准线方程是 _ 【答案】 【解析】由题意可得 p=4,所以准线方程为 ,填 3. 直线 和圆 的公共点个数为 _ 【答案】 2 【解析】因为 ， 所以直线与圆相交，即公共点个数为 2 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的 结果 S为 _ 【答案】 24 【解析】执行循环为： 结束循环，输出 5. 已知长方形 中， ， ， 为 的中点，若在长
2、方形 内随机取一点 ，则 的概率为 _ 【答案】 【解析】概率为几何概型，测度为面积，概率等于 6. 根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果 S为 _ - 2 - 【答案】 【解析】执行循环为 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查 .先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环 终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项 . 7. 已知一组数据 ， 8， 7， 9， 7， 若这组数据的平均数为 ，则它们的方差为 _ 【答案】 【解析】因为平均数为 ，所以 方差为 8. 以 为圆心且与圆 外切的
3、圆的标准方程为 _ 【答案】 【解析】 ， 即标准方程为 9. 若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则 的值为 _ 【答案】 【解析】 10. 已知双曲线 与 有公共渐近线，且一个焦点为 ，则双曲线 的标准方程为_ 【 答案】 - 3 - 【解析】设双曲线 ： ,则 11. 已知 ，则 “ ” 是 “ 方程 表示焦点在 轴上的椭圆 ” 的 _ 条件 (从 “ 充分不必要 ” ， “ 必要不充分 ” ， “ 充要 ” ， “ 既不充分又不必要 ” 中选择一个 ) 【答案】必要不充分 【解析】因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 因此 “ ” 是 “ 方程 表示焦点在 轴上的椭圆 ” 的必要不
4、充分条件 点睛：充分、必要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断 “ 若 则 ” 、 “ 若 则 ” 的真假并注意和图示相结合，例如 “ ? ”为真，则 是 的充分条件 2等价法：利用 ? 与非 ?非 ， ? 与非 ?非 ， ? 与非 ?非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法：若 ? ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件 12. 函数 在 上的最大值是 _ 【答案】 【解析】 当 时， ；当 时， 因此当 时， 13. 已知椭圆 的左焦点为 ，下顶点为 若平行于 且在 轴上截距为的直线与圆 相切，则该椭圆的离心率为 _ 【答案】 【解
5、析】设 - 4 - 14. 已知关于 的不等式 对任 意的 恒成立，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 令 因此 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 . 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知命题 ，命题 点 在圆 的内部 (1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围 ； (2)若命题 “ 或 ” 为假命题 ， 求实数 的取值范围 【答
6、案】 (1) (2) 【解析】试题分析：（ 1）先根据二次不等式恒成立得 ,解得命题 为真时 的取值范围（ 2）根据点在圆内得命题 为真时 的取值范围 ,由 “ ” 为假命题，得 为假命题， 为假命题 根据补集得命题 为假时 的取值范围 ,最后根据交集得实数 的取值范围 试题解析：（ 1）因为 恒成立， 则 ， 解得 ，所以实数 的取值范围是 （ 2）因为 “ ” 为假命题，所以 为假命题， 为假命题 当 为真命题时， ，解得 ， 所以 为假命题时 - 5 - 由（ 1）知， 为假命题时 从而 ， 解得 所以实数 的取值范围为 16. 某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况 通过随
7、机抽样，电力公司获得了 50 户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图 （ 如图所示 ） （ 1）求 a， b的值； （ 2）为了解用电量较大的用户用 电情况，在第 5、 6两组用分层抽样的方法选取 5户 求第 5、 6两组各取多少户？ 若再从这 5户中随机选出 2户进行入户了解用电情况，求这 2户中至少有一户月平均用电量在 1000,1200范围内的概率 【答案】 (1) (2) 3,2 【解析】试题分析：（ 1）根据小长方形面积等于概率求得 b，再根据频数等于总数与频率- 6 - 乘积得 a（ 2） 根据分层抽样 ， 由比例关系确定抽取户数 先根据枚举法确定总事件数，再
8、从中确定满足条件事件数，最后根据古典概型概率公式求概率 试题解析：（ 1）频率 分布直方图 ， 知第 5组的频率为 ，即 又样本容量是 50，所以 （ 2） 因为第 5、 6两组的频数比为 ， 所以在第 5、 6两组用分层抽样的方法选取的 5户中， 第 5、 6两组的频数分别为 3和 2 记 “ 从这 5户中随机选出 2户中至少有一户月平均用电量在 1000,1200范围内 ” 为事件 ， 第 5组的 3户记为 ，第 6组的 2户记为 ， 从这 5户中随机选出 2户的可能结果为： ，共计 10 个， 其中 2户中至少有一户月平均用电量在 1000,1200范围内的结果为： ，共计 7个 所以
9、， 答：这 2户中至少有一户月平均用电量在 1000,1200范围内的概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法 . (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 .对于基本事件有 “ 有序 ” 与 “ 无序 ” 区别的题目，常采用树状图法 . (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化 . (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 . 17. 如图，已知圆 ，点 (1)求经过点 且与圆 相切的直线 的方程； (2)过点 的直线与圆 相交于 两点， 为线段 的中点，求线段 长度的取值范围 - 7 - 【答
10、案】 (1) (2) 【解析】试题分析：（ 1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（ 2）先求 点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值 试题解析：（ 1）当过点 直线的斜率不存在时，其方程为 ，满足条件 当切线的斜率存在时，设 ： ，即 ， 圆心 到切线 的距离等于半径 3， ，解得 切线方程为 ，即 故所求直线 的方程为 或 （ 2）由题意可得， 点的轨迹是以 为直径的圆，记为圆 则圆 的方程为 从而 ， 所以线段 长度的最大值为 ，最小值为 ， 所以线段 长度的取值范围为 18. 某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为
11、的正方形纸板如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是 的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为 、 的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒 - 8 - (1)求包装盒的容积 关于 的函数表达式，并求函数的定义域； (2)当 为 多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？ 【答案】 (1) (2) 切去的正方形边长 时，包装盒的容积最大，最大容积是 【解析】试题分析：（ 1）先用 x表示长宽高，再根据长方体体积公式列函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（ 2）求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，最后根据单调性确定函数最值 试
12、题解析： （ 1） 因为包装盒高 ，底面矩形的长为 ，宽为 ， 所以铁皮箱的体积 函数的定义域为 （ 2）由（ 1）得 ， ， 令 ， 解得 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减 所以函数 在 处取得极大值，这个极大值就是函数 的最大值 又 答：切去的正方形边长 时，包装盒的容积最大，最大容积是 19. 已知椭圆 的左焦点为 ,且过点 (1)求椭圆 的标准方程； (2)已知 分别为椭圆 的左 、 右顶点 , 为直线 上任意一点，直线 分别交椭圆 于不同的两点 求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标 - 9 - 【答案】 (1) (2) 直线 恒过定点，且定点坐标为 【解析】试
13、题分析：（ 1）根据椭圆定义确定 a，再根据 c求 b（ 2）设 根据直线 与椭圆方程联立方程组解得 ， N坐标，再根据两点式求 MN 直线方程，化成点斜式，求出定点 试题解析： (1)椭圆的一个焦点 ，则另一个焦点为 , 由椭圆的定义知 : ，代入计算得 又 , 所以椭圆 的标准方程为 (2)设 ， 则直线 ，与 联立，解得 同理 所以直线 的斜率为 = 所以直线 所以直线 恒过定点，且定点坐标为 点睛：定点 、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定 “ 定点 ” 是什么、 “ 定值 ” 是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的 . 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现 . - 10 - 20. 已知函数 ,其中 为正实数 (1)若函数 在 处的切线斜率为 2， 求 的值 ； (2)求函数 的单调区间 ； (3)若函数 有两个极值点 ， 求证 ： 【答案】 (1)1(2) 单调减区间为 , ,单调减区间为 （ 3）见解析 【解析】 试题分析：（ 1）根据导数几何意义得 ，解得 的值 ； （ 2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（ 3）先根据韦达定理得， 再化简
