1、 知识点知识点 25 三角形（含多边形及其内角和）三角形（含多边形及其内角和） 一、选择题一、选择题 7 （2020绍兴）长度分别为 2，3，3，4 的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接， 但不允许折断） ，得到的三角形的最长边长为（ ） A4 B5 C6 D7 答案B 解析本题考查了三角形的三边关系三角形的三边满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，因为 3+3=2+4，所以最长边不能是 6，若是 5，此时满足 4-32+33+4，所以三角形的最 长边是 5因此本题选 B 3 （2020 江苏徐州） 若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（
2、） A.2cm B. 3cm C. 6cm D.9cm 答案 C解析根据三角形三边的关系来进行判别，因为三角形的两边长为分别为3cm、6cm，所以 它的第三边长c的取值范围为3c9，故选C. 7（2020 宿迁）在 ABC 中，AB1，BC 5 下列选项中，可以作 AC 的长度的是（ ） A3 B4 C5 D6 答案A解析根据三角形的三边关系，得51AC51，从而 AC3，故选 A 2 （2020 陕西）A23 ，则A 的余角是（ ） A57 B67 C77 D157 答案B解析如果两个角的和等于 90 ， 那么这两个角互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角， A 的余角是 90 23 67
3、 8(2020 自贡)如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30 ，那么这个角的度数是（ ） A50 B70 C130 D160 答案 C解析本题考查了补角的概念和方程知识等知识，解：设这个角是 x ，根据题意，得 x2（180 x）+30，解得：x130即这个角的度数为 130 因此本题选 C 5 （2020 北京）正五边形的外角和为（ ） （A）180 （B）360 （C）540 （D）720 答案B 解析本题考查了多边形的外角和，多边形的外角和等于 360 ，因此本题选 B 4. （2020 淮安）六边形的内角和是 （ ） A.360 B.540 C.720 D.1080 答案 C 解析
4、本题考查了多边形的内角和定理，利用多边形的内角和（n2） 180即可解决问题 根据多边形的内角和可得： （62）180720故选：C （2020济宁）4.一个多边形的内角和是 1080，则这个多边形的边数是（ ） A. 9 B. 8 C.7 D.6 答案B 解析设这个多边形的边数为 n，则有（n-2）180=1080，解得 n=8. 6 （2020扬州）如图，小明从点 A 出发沿直线前进 10 来到达点 B，向左转 45 后又沿直线前进 10 米到达点 C.再向左转 45 后沿直线前进 10 米到达点.照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为 （ ） A.100 米 B.80 米
5、 C.60 米 D.40 米 （第 6 题图） 答案B 解析本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为 360 ；根据题意判断出小明 走过的图形是正多边形是解题的关键 小明每次都是沿直线前进 10 米后向左转 45 度， 他走过的图形是正多边形，边数 n=360 45 =8，他第一次回到出发点 A 时，一共 走了 810=80m因此本题选 B （2020德州）6.如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 8 米后向左转 45，再沿直线前进 8 米，又 向左转 45照这样趟下去，他第一次回到出发点 A 其走的路程为 A. 80 米 B. 96 米 C. 64 米 D. 48 米 答案C 解析小
6、明这样走一圈应是得到一个正多边形，这个多边形的外角为 45，所以其边数为 360 8 45 ， 所以小明回到出发点 A 走的路程为 88=64（米）. 5 （2020无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ） A36 B30 C144 D150答案 A 解析根据多边形的外角和等于 360，正多边形的每一个外角相等，则利用 360 与边数的商，可以 得出 B 正确；故选 B. 3（2020乐山）如图，E 是直线 CA 上一点，FEA40 ，射线 EB 平分CEF，GEEF则 GEB（ ） A10 B20 C30 D40 答案B 解析先根据射线 EB 平分CEF，得出CEBBEF70 ，再根据 GE
7、EF，可得GEB GEFBEF 即可FEA40 ，CEF180 40 140 ；射线 EB 平分CEF，CEB BEF70 ；GEEF，GEBGEFBEF90 70 20 12 （2020泰安）如图，点 A，B 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，点 C 为坐标平面内一点， BC1，点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为（ ） A 2 1 B 2 1 2 C2 2 1 D2 2 1 2 答案 B 解析本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点 C 为 坐标平面内一点，BC1，所以点 C 在以点 B 为圆心、1 长为半径的圆上，
8、在 x 轴上取 OA=OA=2， 当 A、B、C 三点共线时，AC 最大，则 AC=2 2 1，所以 OM 的最大值为 2 1 2 ，因此本 题选 B A B C O M x y M C B A/AOx y （第 12 题） 4 （2020怀化）若一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形的边数为（ ） A6 B7 C8 D9 答案C 解析首先设这个多边形的边数为 n， 由 n 边形的内角和等于 180 （n2） ， 即可得方程 180 （n2） 1080，解此方程即可求得答案 解：设这个多边形的边数为 n， 根据题意得：180（n2）1080， 解得：n8 故选：C 6. (2020湘潭)
9、如图，ACD是ABC的外角，若110ACD ，50B ，则A（ ） A. 40 B. 50 C. 55 D. 60 答案D 解析本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 ACD是ABC的外角， ACD=B+A A=ACD-B， 50B A=60 故选：D 4 （2020 广东）若一个多边形的内角和是 540 ，则该多边形的边数为（ ） A4 B5 C6 D7 答案B解析本题考查了多边形的内角和， 根据多边形内角和公式( )2180540n-? ， 求得 5n= ， 因此本题选 B 6 （2020 广东）已知 ABC 的周长为 16，点 D，E，F 分别为 ABC 三条边
10、的中点，则 DEF 的 周长为（ ） A8 B2 2 C16 D4 答案A解析本题考查了三角形中位线，因此可得() 1 8 2 DEDFEFABBCAC+=+=，因此 本题选 A 3 （2020 黄冈）已知一个正多边形的一个外角为 36 ，则这个正多边形的边数是（ ） A7 B8 C98 D10 答案D解析本题考查了正多边形的性质以及多边形的外角和等知识多边形的外角和都等于 360 ，由于每个外角都为 36 ，所以 360 36 10，故该多边形为十边形，因此本题选 D （第 9 题） 6（2020 宜昌）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）. A B C D 答案C 解析据
11、假命题的例证即反例， 需要满足题设， 不满足结论； 如下图， 分别延长与的两边， 利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，选项 C 外角是钝角，故选项 C 符合题意 9（2020 宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要 求每走完一段直路后向右偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）. A每走完一段直路后沿向右偏 72 方向行走 B每段直路要短 C每走完一段直路后沿向右偏 108 方向行走 D每段直路要长 答案A解析旋转 360 回到原来方向，走五段相等的直路向右偏回到原点即每次旋转360 5 =72 即可 旋转一周回到原方向故选：A 7（2
12、020 宜宾）如图，M、N 分别是 ABC 的边 AB、AC 的中点，若A65 ，ANM45 ，则 B（ ） A20 B45 C65 D70 答案D 解析由 M、N 分别是 ABC 的边 AB、AC 的中点，可得 MNBC，所以CANM45 ，所 （第9题） 以B180 AC180 65 45 70 11（2020 恩施）如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在AB上且1BE ，F为对角线AC上一动 点，则BFE周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案B 解析连接 ED 交 AC 于一点 F，连接 BF， 四边形 ABCD 是正方形， 点 B 与点 D 关于 AC 对
13、称， BF=DF， BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小， 正方形ABCD的边长为 4， AD=AB=4，DAB=90 ， 点E在AB上且 1BE ， AE=3， DE= 22 5ADAE ， BFE的周长=5+1=6， 故选：B. 7 （2020娄底） （2020娄底）正多边形的一个外角为60，则这个多边形的边数为（ ） A 5 B6 C 7 D8 答案B 解析本题考查了多边形的外角和，正多边形的一个外角等于 60 ，且外角和为 360 ， 则这个正多边形的边数是：360 60 =6，因此本题选 B 5.（2020吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为（ ）
14、 A. 85 B. 75 C. 65 D. 60 【答案】B 【详解】如图所示，由一副三角板的性质可知：ECD=60 ，BCA=45 ，D=90 ， ACD=ECDBCA=60 45 =15 ， =180DACD=180 90 15 =75 ， 故选：B 二、填空题二、填空题 14 （2020 丽水丽水）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边 形，则图中的度数是 答案30解析四边形ABCD是平行四边形， D+C180.180 （54070140180） 30，因此本题答案为 30 16 （2019 上海） 如图， 在正六边形ABCDEF中， 设BAa，BCb， 那么向量BF_ 答案2
15、解析连接 CF 多边形 ABCDEF 是正六边形， ABCF， CF2BA， 2 ， ，2 . 14（2020 重庆A卷） 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍， 则这个多边形的边数是_ 答案6解析设这个多边形的边数为n， 根据这个多边形的内角和等于它的外角和的2倍， 得 （n-2） 180=3602，解得 n=6 16 （2020 江苏徐州） 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， 若ADB=18， 则这个正多边形的边数为 . l2 图5图4图3 A BC D E A B CD l1 F E DC B A 1 （第16题） 答案10解析根据圆周角定理以及正多边形中心
16、角的性质进行计算. 连接OA、OB，则AOB=2 ADB=36，多边形边数为： 360 10 36 . 15（2020 衡阳）已知一个n边形的每一个外角都为30 ，则n等于 . 答案12解析本题主要考查了多边形的外角和定理，n 边形的的外角和为 360 ，每一个外角都 为 30 ，n=360 30 =12，因此本题答案为 12 16（2020 衡阳）一副三角板如图摆放，且AB/CD.则1的度数为 . (第 16题图) 答案105 解析本题考查了平行线的性质与三角形内角和定理的推论，AB/CD，D=45 ， AFE=D=45 ，1是 AEF的外角，1=AFE +EAF=45 +60 =105 .
17、因此本题答案为 105 12 （2020 陕西）如图，在正五边形 ABCDE 中，DM 是边 CD 的延长线，连接 BD，则BDM 的度 数是_ 答案144 解析五边形的内角和为 540 ，正多边形的每个内角都相等，每条边也相等，在 BCD 中，求出C108 ，CDBCBD36 ，所以BDM180 36 144 （2020 四川甘孜州） 23 三角形的两边长分别为 4 和 7， 第三边的长是方程 x28x120 的解， 则这个三角形的周长是_ 答案17 D C B O A D C B O A C B A E DM 解析本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系 利用因式分解法解方程 x28
18、x120 得 x12，x26根据三角形三边的关系得 3第三边的长11第三边的长为 6所以这个三角 形的周长是 47617 （2020 济宁） 12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是_(写 出一个即可)， 答案4 解析设第三边长为 x，则 6-3x6+3，即 3x9，所以第三边可以为 4. 15（2020 北京） 如图所示的网格是正方形网格， A， B， C， D 是网格交点， 则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为： ABC S ABD S（填“”，“”或“”） 答案 解析连接 CD，则 CDAB，根据平行线间距离处处相等，所以 ABC S ABD S 15
19、（2020福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC等于_ 度. 答案30 解析本题考查了正多边形的性质，根据题意内环为正六边形，ACB 为正六边形的一个外角， ACB=60，又三角形 ABC 是直角三角形ABC=30 （2020江西）11.如图，AC平分DCB，CBCD，DA的延长线交BC于点E，若49EAC， 则BAE的度数为 【解析】CD=CB，ACD=ACB，CA=CA，CADCAB，B=D，设ACB=， B=，则ACD=，D=，EAC 为ACD 的一个外角，49，在ABC 中有内角 和为 180，180BAC，BAC=131，BAE=BAC-EAC=82，故答
20、案为 82 14 （2020南京）如图，在边长为 2cm 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 在 BC 上，则PEF 的面积 为_cm2. 答案23 解析连接 BE、BF.多边形 ABCDEF 是正六边形，ABCBACAFE120 ，且 AB AF，ABFAFB30 ，则CBFEFB90 ，BCEF，则 SPEFSBEF.直线 BE 是 正六边形 ABCDEF 的对称轴，ABE 1 2 ABC60 ，EBFABEABF30 ，故 BF 3EF23.SPEFSBEF 1 2 EF BF 1 2 2 2323. 15 （2020南京）如图，线段 AB、BC 的垂直平分线 l1、l2相交于点 O.
21、若139，则AOC _. A B C D E F P A B C D E F P 答案78 解析由题意可知点 O 是ABC 的外接圆圆心， 如图， AOC2B.在四边形 OEBD 中， OEB ODB180，BDOE1DOE180，B139.AOC2B 78. 15. (2020连云港)如图，正六边形 A1A2A3A4A5A6。内部有一个正五边形 B1B2B3B4B5，且 A3A4/B3B4，直 线 l 经过 B2、B3，则直线 l 与 A1A2的夹角= . 答案48 解析本题考查了正多边形的外角、平行线的性质、四边形内角和，正五边形的一个外角是 72， 正六边形的一个内角是 120即 23
22、120 ,AA 由 A3A4/B3B4 可内错角相等，再利用四边形内角和可求为 360-120-120-72=48，答案为 48 13（2020青岛）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 在 CD 的延长线 上，连接 AE，点 F 是 AE 的中点，连接 OF 交 AD 于点 G.若 DE=2，OF=3，则点 A 到 DF 的距离 为 . l2 l1 A BC O 1 l2 l1 A BC D EO 1 答案5 5 4 解析本题考查了正方形的性质、线段垂直平分线的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的 中线的性质、三角形的中位线的性质，解答过程如下： 四边
23、形 ABCD 是正方形，CD=AD，OD=OA= 2 1 AC，ADE=ADC=90. 又点 F 是 AE 的中点，DF=AF=EF= 2 1 AE，OF 是线段 AD 的垂直平分线，OF 是ACE 的中位 线， AGO=AGF=90，AG=GD= 2 1 AD= 2 1 CD=OG，GF= 2 1 DE= 2 1 2=1. 又OF=OG+GF=AG+1=3，AG=2，AD=2AG=22=4， DF=AF= 22 GFAG = 22 12 =5. 设点 A 到 DF 的距离为 x，由题意得 DFx=ADGF，5x=41，x=5 5 4 . 因此本题答案为5 5 4 12 （2020泰州）如图，
24、将分别含有30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角 重叠形成的角为65，则图中角的度数为_ 答案140 解析本题考查了三角形内角和外角相关知识，这是一个基本图形，45 30 65 140 12（2020天水）一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x 28x120 的根，则该 三角形的周长为_ 答案13 解析先利用因式分解法解方程 x 28x120， （x2） （x6）0，x 12，x26，然后根据三 角形的三边关系 225，256，得出第三边的长是 6，则该三角形的周长为：25613 13.（2020湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是
25、答案6 解析本题考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为 方程的问题来解决设该多边形的边数为 n，根据题意，得， （n-2）180=720， 解得 n=6故这个多边形的边数为 6因此本题答案是 6 15.（2020株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形 ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点 O， 点 M、N分别在射线 OA、OC 上，则MON_度 答案80 解析考查了正 n边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为 360 n 根据正多边形性质求出中心角，即可求出MON 根据正多边形性质得，中心角为 3609=40， 2=80MONABC 故答案为：80 7(202
26、0青海)已知 a，b，c 为ABC 的三边长b，c 满足(b2)2c30，且 a 为方程x 42 的解，则ABC 的形状为_三角形 答案等腰 解析由非负数的性质可知 b20， c30 b2， c3 由方程x42， 得 x42 x 6 或 x2当 a6 时，236，此时不能构成三角形，舍去；当 a2 时，2，2，3 构成等 腰三角形 18（2020 河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=_ 答案12解析根据题意，得120= 360 n 4，解得n=12. 12（2020 黄冈） 已知， 如图， 在 ABC 中， 点 D 在边 BC 上， AB=AD=DC， C=35 ， 则BA
27、D=_ 度 第 13 题图 答案40解析本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和等于 180 以及三角形外角等知 识由 AD=DC 可得C=CAD=35 ；由三角形外角的知识可得ADB=70 ，又有 AB=AD，所以 B=ADB=70 ；由三角形内角和等于 180 可得BAD=180 70 70 =40 ，因此本题答案 40 14 （2020 海南）正六边形的一个外角等于_度. 答案60 解析正六边形的每个内角都为 120，故它的一个外角为 60. 14（2020 烟台） 已知正多边形的一个外角等于 40， 则这个正多边形的内角和的度数为 1260 【解析】 正 n 边形的每个外角相等，且其
28、和为 360，据此可得360 =40， 解得 n9 （92） 1801260， 即这个正多边形的内角和为 1260故答案为：1260 16 （2020黄石）匈牙利著名数学家爱尔特希（PErdos，19131996）曾提出：在平面内有 n 个 点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称为爱尔特希 点集如图，是由五个点 A、B、C、D、O 构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶 点及正五边形的中心构成） ，则ADO 的度数是 答案18 解析先证明AOBBOCCOD， 得出OABOBAOBCOCBOCDODC， AOBBOCCOD，然后求出正五边形每个角的
29、度数为 108，从而可得OABOBA OBCOCBOCDODC54，AOBBOCCOD72，可计算出AOD 144，根据 OAOD，即可求出ADO 【解答】解：这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成， 根据正五边形的性质可得 OAOBOCOD，ABBCCD， AOBBOCCOD（SSS） ， OABOBAOBCOCBOCDODC，AOBBOCCOD， 正五边形每个角的度数为：（52）180 5 108， A BCD D CB A O OABOBAOBCOCBOCDODC54， AOBBOCCOD（180254）72， AOD360372144，OAOD， ADO（180144）
30、18 11 （2020天门仙桃潜江）已知正 n 边形的一个内角为 135 ，则 n 的值是 答案8 解析本题考查了正多边形的定义，多边形内角与外角外角的度数是：180 135 =45 ， 则n=360 45 =8.故答案为：8. 13 （2020遂宁）已知一个正多边形的内角和为 1440，则它的一个外角的度数为 36 度 【解析】设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n2）1440，解得：n10， 这个正多边形的每一个外角等于：3601036 故答案为：36 三、解答题三、解答题 27 （2020 北京）在ABC 中，C90 ，ACBC，D 是 AB 的中点，E 为直线 AC 上一动点，
31、连 接 DE，过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF. (1)如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AEa，BFb，求 EF 的长（用含 a，b 的式子表示)； (2)当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF,BF 之间的数量关 系，并证明. 图1 图 2 解析（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，CEAEa，再根据平行四边形的性质、矩形 的判定与性质可得 DECF，从而可得 CFBFb，然后利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析） ，先根据平行线的性质可得EADGBD，DEADGB，再根据三角形 全等的判定定理与性质
32、可得 EDGD，AEBG，然后根据垂直平分线的判定与性质可得 EFFG， 最后在 RtBGF 中，利用勾股定理、等量代换即可得证 答案解： （1）D是 AB 的中点，E是线段 AC 的中点 DE 为ABC 的中位线，且 CEAEa DEBC， 1 2 DEBC C90 DEC180 C90 DFDE EDF90 四边形 DECF为矩形 DECF 11 () 22 CFBCBFCF CFBFb 则在 RtCEF 中， 2222 EFCECFab ； （2）过点 B作 AC 的平行线交 ED的延长线于点 G，连接 FG BGAC EADGBD，DEADGB D 是 AB的中点 ADBD D F E D B CC B AA 在EAD 和GBD 中， EADGBD DEADGB ADBD EADGBD(AAS) EDGD，AEBG 又DFDE DF 是线段 EG的垂直平分线 EFFG C90 ，BGAC， GBFC90 在 RtBGF 中，由勾股定理得： 222 FGBGBF 222 EFAEBF
