1、 1 北京市西城区 2017-2018 学年高二上学期期末考试 文科数学 第 卷（共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 直线 30xy? ? ? 的倾斜角为（ ） A 30? B 45? C 60? D 135? 2.命题“对任意 3x? ，都有 ln 1x? ”的否定是（ ） A 存在 3x? ，使得 ln 1x? B 对任意 3x? ，都有 ln 1x? C 存在 3x? ，使得 ln 1x? D 对任意 3x? ，都有 ln 1x? 3.双曲线 221xy?的焦点到其渐近线的距
2、离为（ ） A 1 B 2 C 2 D 224.设 ,?是两个不同的平面， ,abc是三条不同的直线，（ ） A若 ,a bb c?，则 /ac B若 / / , / /ab?，则 /ab C若 ,a ba ?， 则 /b? D若 ,aa?， 则 /? 5.“方程 221xymn?表示的曲线为椭圆”是“ 0mn? ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设 ,?是两个不同的平面 ， l 是一条直线，若 / / , / / ,l l m? ? ? ?， 则（ ） A l 与 m 平行 B l 与 m 相交 C l 与 m 异面 D l 与
3、m 垂直 7.设拋物线 2:4C y x? 的焦点为 F ，直线 3:2lx?，若过焦点 F 的直线与抛物线 C 相交于,AB两点，则以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D以上三个答案均有可能 8.设 ? 为空间中的一条直线，记直线 ? 与正方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 的六个面所在的平面相交的平面个数为 m ，则 m 的所有可能取值构成的集合为（ ） A ? ?2,4 B ? ?2,6 C ? ?4,6 D ? ?2,4,6 第 卷（共 110 分） 2 二、填空题（每 题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9. 命题“若
4、 220ab?， 则 ab? ”的逆否命题为 10.经过点 ? ?2,1M 且与直线 3 8 0xy? ? ? 垂直的直线方程为 11.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为 12.在 ABC? 中 ， 3, 4 ,AB BC AB BC? ? ?.以 BC 所在的直线为轴将 ABC? 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 13.若双曲线 C 的一个焦点在直线 : 4 3 20 0l x y? ? ?上， 一条渐近线与 l 平行，且双曲线 C 的焦点在 x 轴上，则双曲线 C 的标准方程为 ；离心率为 14.在平面直角坐标系中，曲线 C 是由到两个定点 ? ?1,0A 和点 ? ?1
5、,0B? 的距离之积等于 2 的所有点组成的 .对于曲线 C ，有下列四个结论： 曲线 C 是轴对称图形； 曲线 C 是中心对称图形； 曲线 C 上所有的点都在单位圆 221xy?内； 曲线 C 上所有的点的纵坐标 11,22y ?. 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15. 如图，在正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， D 为 AB 的中点 . 3 （ 1）求证： CD? 平面 11ABBA ； （ 2）求证： 1/BC 平面 1ACD . 16.已知圆 22: 6 8 0C x y x y m?
6、 ? ? ? ?，其中 mR? . （ 1）如果圆 C 与圆 221xy?相外切，求 m 的值； （ 2）如果直线 30xy? ? ? 与圆 C 相交所得的弦长为 27，求 m 的值 . 17. 如 图 ， 在 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 1AA? 平面 ABCD ，/ / 1A B C D A B A D A D C D? ? ?,， 1 2AA AB?， E 为 1AA 的中点 . （ 1） 求四棱锥 1C AEBB? 的体积； （ 2）求证： 1BC CE? ； （ 3） 判断线段 1BC上是否存在一点 M (与点 C 不重合 ） ，使得 , , ,CDEM
7、四点共面 ? (结论不要求证明） 18. 设 F 为拋物线 2:2C y x? 的焦点， ,AB是拋物线 C 上的两个动点 . （ 1）若直线 AB 经过焦点 F ， 且斜率为 2，求 AB ； （ 2）若直线 : 4 0l x y? ? ? ，求点 A 到直线 l 的距离的最小值 . 19. 如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF?4 平面 ABCD . （ 1）求 证：平面 ACF? 平面 BDEF ； （ 2）若过直线 BD 的一个平面与线段 AE 和 AF 分别相交于点 G 和 H (点 G 与点 ,AE均不重合），求证：
8、/EF GH ； （ 3）判断线段 CE 上是否存在一点 M ， 使得平面 /BDM 平面 AEF ?若存在，求 EMEC的值；若不存在，请说明理由 . 20. 已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的一个焦点为 ? ?5,0 ，离心率为 53.点 P 为圆22: 13M x y?上任意一点， O 为坐标原点 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设直线 l 经过点 P 且与椭圆 C 相切， l 与圆 M 相交于另一点 A ，点 A 关于原点 O 的对称点为 B ，证明：直线 PB 与椭圆 C 相切 . 5 答案 一、选择题 1-5: BCADB 6-8: AC
9、D 二、填空题 9. 若 ab? ， 则 220ab? 10. 3 5 0xy? ? ? 11. 1 12.15? 13. 2219 16xy?， 5314. 三、解答题 15.（ 1）证明：因为正三棱柱 1 1 1ABC ABC? ， D 为 AB 的中点， 所以 CD AB? , 1AA? 底面 ABC . 又因为 CD? 底面 ABC ， 所以 1AA CD? . 又因为 1AA AB A?,AB? 平面 11ABBA ， 1AA? 平面 11ABBA ， 所以 CD? 平面 11ABBA . （ 2）证明：连接 1AC ，设 11AC AC O?,连接 OD ， 由正三棱柱 1 1 1
10、ABC ABC? 得 , 1AO OC? ， 又因为在 1ABC? 中， AD DB? , 所以 1/OD BC , 又因为 1BC? 平面 1ACD ， OD? 平 面 1ACD , 所以 1/BC 平面 1ACD . 16.（ 1） 解：将圆 C 的方程配方，得 ? ? ? ?223 4 2 5x y m? ? ? ? ?， 6 所以圆 C 的圆心为 ? ?3,4 ，半径 ? ?25 25r m m? ? ?. 因为圆 C 与圆 221xy?相外切， 所以两圆的圆心距等于其半径和，即 ? ? ? ?223 0 4 0 1 2 5 m? ? ? ? ? ?， 解得 9m? . （ 2）解：圆
11、 C 的圆心到直线 30xy? ? ? 的距离 3 4 3 222d ?. 因为直线 30xy? ? ? 与圆 C 相交所得的弦长为 27， 所以由垂径定理，可得 ? ? ? ?222 2 5 2 2 7rm? ? ? ?， 解得 10m? . 17. （ 1） 解：因为 1AA? 平面 ABCD ,AD? 平面 ABCD , 所以 1AA AD? . 又因为 1,AB AD AA AB A? ? ?， 所以 AD? 平面 11ABBA . 因为 /AB CD ， 所以四棱锥 1C AEBB? 的体积1 113C A E B B A E B BV S AD? ? ? ?四 边 形 ? ?11
12、1 2 2 1 132? ? ? ? ? ? ?. （ 2）证明：在底面 ABCD 中，因为 /AB CD ， , 1 2A B A D A D C D A B? ? ? ?，, 所以 2, 2AC BC?, 所以 2 2 2AB AC BC?,即 BC AC? . 因为在四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 1AA? 平面 ABCD ， 所以 1CC BC? ， 又因为 1CC AC C?, 所以 BC? 平面 1CAEC , 又因为 1CE? 平面 1CAEC , 所以 1BC CE? . 7 （ 3）答：对于线段 1BC上任意一点 M (与点 C 不重合 )， , , ,C
13、DEM 四点都不共面 . 18.解：由题意，得 1,02F?，则直线 AB 的方程为 122yx?. 由21222,yxyx? ? ?，消去 y ，得 24 6 1 0xx? ? ? . 设点 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 则 0? ,且1 2 1 231,24x x x x? ? ?， 所以 ? ? 21 2 1 2 1 2 55 5 4 2A B x x x x x x? ? ? ? ? ? ?. （ 2）解：设 ? ?00,Ax y ， 则点 A 到直线 l 距离 0042xyd ?. 由 A 是抛物线 C 上的动点，得 2002yx? ， 所以 ? ?
14、 220 0 02 1 24 1 72 2 2d y y y? ? ? ? ? ?， 所以当 0 1y? 时，min 724d ?. 即点 A 到直线 l 的距离的最小值 724. 19.（ 1） 证明：因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AC BD? . 又因为平面 BDEF? 平面 ABCD ,平面 BDEF? 平面 ABCD BD? , 且 AC? 平面 ABCD , 所以 AC? 平面 BDEF . 又因为 AC? 平面 ACF , 所以平面 ACF? 平面 BDEF . （ 2）证明：由题意， /EF BD ,EF? 平面 BDGH ， BD? 平面 BDGH , 所以 /EF
15、平面 BDGH , 又因为平面 EF? 平面 AEF ,平面 AEF? 平面 BDGH GH? , 所以 /EF GH . 8 （ 3）答：线段 CE 上存在一点 M ，使得平面 /BDM 平面 AEF ，此时 12EMEC?. 以下给出证明过程 . 证明：设 CE 的中点为 M ,连接 ,DMBM , 因为 /BD EF ,BD? 平面 AEF ， EF? 平面 AEF , 所以 /BD 平面 AEF . 设 AC BD O?，连接 OM ， 在 ACE? 中，因为 ,OA OC EM MC?, 所以 /OM AE ， 又因为 OM? 平面 AEF ,AE? 平面 AEF , 所以 /OM
16、平面 AEF . 又因为 OM BD O?， ,OMBD? 平面 BDM , 所以平面 /BDM 平面 AEF . 20.（ 1） 解：由题意，知 55,3cc a?， 所以 223, 2a b a c? ? ? ?， 所以椭圆 C 的标准方程为 22194xy?. （ 2） 证明：由题意，点 B 在圆 M 上，且线段 AB 为圆 M 的直径， 所以 PA PB? . 当直线 PA x? 轴时，易得直线 PA 的方程为 3x? ， 由题意，得直线 PB 的方程为 2y? ， 显然直线 PB 与椭圆 C 相切 . 同理当直线 /PA x 轴时，直线 PB 也与椭圆 C 相切 . 当直线 PA 与
17、 x 轴既不平行也不垂直时， 9 设点 ? ?00,Px y ,直线 PA 的斜率为 k ，则 0k? ，直线 PB 的斜率 1k?， 所以直线 ? ?00:PA y y k x x? ? ?，直线 ? ?001:PB y y x xk? ? ? ?， 由 ? ?0022,1,94y y k x xxy? ? ? ? ?消去 y ，得 ? ? ? ? ? ? 2220 0 0 09 4 1 8 9 3 6 0k x y k x k x y k x? ? ? ? ? ? ?. 因为直线 PA 与椭圆 C 相切， 所以 ? ? ? ? ? ?2 220 0 0 01 8 4 9 4 9 3 6 0
18、y k x k k y k x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理，得 ? ?2 2 21 0 0 0 01 4 4 9 2 4 0x k x y k y? ? ? ? ? ? ? ?.（ 1） 同理，由直线 PB 与椭圆 C 的方程联立， 得 ? ?222 0 0 0 02111 4 4 9 2 4x x y ykk? ? ? ? ? ? ?. （ 2） 因为点 P 为圆 22: 13M x y?上任意一点， 所以 220013xy?，即 220013yx? . 代入（ 1）式，得 ? ? ? ?2 2 20 0 0 09 2 9 0x k x y k x? ? ? ? ?， 代入（ 2）式，得 ? ? ? ?2 2 22 0 0 0 02144 9 2 4x x y k y kk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 20 0 0 02144 9 2 9x x y k x kk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?220 0 0 02144
