1、 - 1 - 福建省福州市 2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理 一、选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1“ 1x ? ”是“ 2xx? ”的 （ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不必要也不 充分条件 2.抛物线 2 8xy? 的准线方程是（ ） A. 132x? B. 2y? C. 132y? D. 2y? 3.若直线 l的方向向量为 b， 平面 的法向量为 n， 则可能使 l 的是 ( ) A b (1， 0， 0)， n ( 2， 0， 0) B b (1，
2、3， 5)， n (1， 0， 1) C b (0， 2， 1)， n ( 1， 0， 1) D b (1， 1， 3)， n (0， 3， 1) 4.已知椭圆 1925 22 ?yx 上一点 M 到椭圆的一个焦点的距离等于 4，那么点 M 到另一个焦点的距离等于 （ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 10 5.如图 1 所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，若 11AB?a ， 11AD?b ， 1AA?c ，则下 列向量中与 1AC 相等的向量是 ( ) A ? ? ?a b c B ?a b c C ?a b c D ?a b c 6. 下列命题 错误
3、的是 （ ） A命题 “若 p 则 q ”与命题“若 q? ，则 p? ” 互为 逆否命题 B命题 “ ?x R, 02 ?xx ” 的否定是 “ ?x R, 02 ?xx ” C ? 0?x 且 1?x ，都 有 21?xx 图 1 - 2 - D “ 若 babmam ? 则,22 ” 的逆命题为真 7 抛物线 y2 4x的焦 点到双曲线 x2 y23 1的渐近线的距离是 ( ) A.12 B. 32 C 1 D. 3 8 已知向量 2( , 2 , 0 ), (3, 2 , )a x b x x? ? ?，若向量 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围 （ ） A. ? ?,4
4、? B. ( 4,0)? C (0,4) D. (4, )? 9. 三棱锥 ABCD 中 ， AB AC AD 2， BAD 90， BAC 60， 则AB CD等于 ( ) A 2 B 2 C 2 3 D 2 3 10.已知 F1、 F2为双曲线 C： x2 y2=1 的左、右焦点，点 P 在 C上， F 1PF2=60 ，则 |PF1|?|PF2|=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 11.已知 21,FF 分别是椭圆 1925 22 ? yx 的左右焦点， P 为椭圆上一点， Q 是 y 轴上的一个动点，若421 ? PFPF ，则 )( 21 PFPFPQ ? 等于 （ ） A 6
5、 B 10 C 20 D 25 12椭圆焦点在 x轴上， A 为该椭圆右顶点， P在椭圆上一点， ?90?OPA ，则该椭圆的离心率 e的范围是（ ） A. ? 1,21B.? 1,22C. ? 36,21 D. ? 22,0 二 、 填空题 :本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分 13 已知 ? ? 3,0,1 ? aa ? ，则实数 ? 。 14.已知抛物线 y2=4x上的一点 P，点 P到 y轴的距离为 3，则点 P到 焦点 F距离 为 15 已知正方形 ABCD 的顶点 ,AB为椭圆的焦点，顶点 ,CD在椭圆上，则此椭圆的离心率为 16.设 ? ?bcbaa ,? ? ?zyx
6、,? ，若 30,6,5 ? baba ，则 ? ? zyx cba。 三、解答题： 本大题共 6小题 ,共 74分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . - 3 - 17 (本小题满分 12 分 )双曲线 C1过点 )3,32( ?A 且 渐近线方程为 xy 43? ， 椭圆 C2与双曲线 C1有相同的焦点，且离心率为 21 （ 1）求 双曲线 C1的标准方程。 （ 2）求椭圆 C2的标准方程 18 (本小题满分 12分 )已知 m R，设命题 p：方程 115 22 ? mymx 表示焦点在 y轴上的椭圆；命题 q： 关于 x 的方程 03423 2 ? mmxx 有 实根 （ 1
7、）若 p为真命题，求 m的取值范围； （ 2）若 “p q” 为真，求 m的取值范围 19 (本小题满分 12分 ) 如图，在棱长为 2的正方形 1111 DCBAABCD ? 中， E、 F分别为 11DA 和 1CC 的中点 （ 1） 求证： EF 平面 ACD； （ 2） 求异面直线 EF与 AB所成的角的余弦值； （ 3） 在棱上是否存在一点 P，使得二面角 P-AC-B大小为 ?30 ？若存在，求出 BP的长；若不存在，请说明理由。 20 (本小题满分 12 分 ) 在平面直角坐标系中，直线 l 与抛物线 xy 22? 相交于 A ,B 两点， （ 1）求证：“如果直线 l 过点 )
8、0,3(T ，那么 3?OBOA ”是真命题； （ 2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真 命题还是假命题，并说明理由。 - 4 - 21（本题满分 14分） 如图，在直角梯形 ABCD中， 90ADC?， CD AB ， 2, 1AB AD CD? ? ?，将 ADC? 沿 AC 折起，使平面 ADC? 平面 ABC，得到几何体 D-ABC （ 1） 求证： BC? 平面 ACD； （ 2） M为线段 AB 的 中点，求 AD 与平面 CMD所成角 ? 的余弦值。 22. （本题满分 14分）已知椭圆 2222+ =1( 0)xy abab 的左焦点为 F -c（ ,0） ,离心率为 3
9、3 ，点 M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 422+ 4bxy= 截得 的线段的长为 c ， 43|FM|= 3 。 求直线 FM 的斜率； 求椭圆的方程； 设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2 ，求直线 OP （ O 为原点）的斜率的取值范围。 - 5 - 2016-2017学年高二上学期期末考试 数学（理）答案 一、选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1“ 1x ? ”是“ 2xx? ”的 （ ） C A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不必要也不充分条件 2.抛
10、物线 2 8xy? 的准线方程是（ ） A. 132x? B. 2y? C. 132y? D. 2y? 答案： B 3.若直线 l 的方向向量为 b， 平面 的法向量为 n， 则可能使 l 的是 ( ) A b (1， 0， 0)， n ( 2， 0， 0) B b (1， 3， 5)， n (1， 0， 1) C b (0， 2， 1)， n ( 1， 0， 1) D b (1， 1， 3)， n (0， 3， 1) 解析： 若 l ， 则 b n 0.将各选项代入 ， 知 D正确 答案： D 4.已知椭圆 1925 22 ?yx 上一点 M 到椭圆的一个焦点的距离等于 4，那么点 M 到另
11、一个焦点的距离等于 （ ） C A. 1 B. 3 C. 6 D. 10 5.如图 1 所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，若 11AB?a ， 11AD?b ， 1AA?c ，则下列向量中与 1AC 相等的向量是 ( ) D A ? ? ?a b c B ?a b c C ?a b c D ?a b c 6. 下列命题 错误 的是 （ ） D 图 1 - 6 - A命题 “若 p 则 q ”与命题“若 q? ，则 p? ” 互为 逆否命题 B命题 “ ?x R, 02 ?xx ” 的否定是 “ ?x R, 02 ?xx ” C ? 0?x 且 1?x ，都 有
12、21?xx D “ 若 babmam ? 则,22 ” 的逆命题为真 7 抛物线 y2 4x的焦点到双曲线 x2 y23 1的渐近线的距离是 ( ) A.12 B. 32 C 1 D. 3 答案： B 8已知向量 2( , 2 , 0 ), (3, 2 , )a x b x x? ? ?，若向量 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围 （ ） A. ? ?,4? B. ( 4,0)? C (0,4) D. (4, )? 答案： A 9. 三棱锥 ABCD中 ， AB AC AD 2， BAD 90， BAC 60， 则 AB CD等于 ( ) A 2 B 2 C 2 3 D 2 3
13、解析： AB CD AB (AD AC) AB AD AB AC |AB|AD|cos 90 2 2 cos 60 2. 答案： A 10.已知 F1、 F2为双曲线 C： x2 y2=1 的左、右焦点，点 P 在 C上， F 1PF2=60 ，则 |PF1|?|PF2|=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 双曲线的定义；余弦定理 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 解法 1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求 |PF1|?|PF2|的值 - 7 - 解法 2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出 |PF1|?|PF2|的值 【解答】 解：法
14、1由双曲线方程得 a=1， b=1， c= ， 由余弦定理得 cosF 1PF2=|PF 1|?|PF2|=4 法 2 ； 由 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 得 ：|PF 1|?|PF2|=4； 故选 B 11.已知 21,FF 分别是椭圆 1925 22 ? yx 的左右焦点， P 为椭圆上一点， Q 是 y 轴上的一个动点，若421 ? PFPF ，则 )( 21 PFPFPQ ? 等于 （ ） C A 6 B 10 C 20 D 25 12椭圆焦点在 x轴上， A 为该椭圆右顶点， P在椭圆上一点， ?90?OPA ，则该椭圆的离心率 e的范围是（ ） A. ? 1,21B.? 1
15、,22C. ? 36,21 D. ? 22,0 12 B 【解析】 试题分析：设 ( , )Pxy 则 ( , ), ( , )O P x y A P x a y? ? ?.又由于 090OPA?，所以 0OP AP?即可得 2 2 2( ) ( )22aaxy? ? ? . 所以 点 P 在以 OA 为直 径的圆上 . 及椭圆与 该圆有公共点 . - 8 - 2 2 22222( ) ( )221aaxyxyab? ? ? ? ?消去 y 得 2 2 2 3 2 2( ) 0x b a a x a b? ? ? ?.由于过点 A 所以有一个根为 a ，另一个根设为 x ，则由韦达定理可得 332 2 2aaxa b a c? ? ? ?.又因为 0 xa? .所以解得 22e? .故选B. 考点： 1.线的垂直问题转化到向量垂直问题 .2.曲线的公共点转化为方程组的解得问题 .3.区间根的问题 .
