1、数学直通车数学直通车-导数及其应导数及其应用用知识体系知识体系第一节第一节 导数的概念及运算导数的概念及运算基础梳理基础梳理1.函数f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1-x0,y=f(x0+x)-f(x0),则当x0时,商 叫做函数y=f(x)在区间x0,x0+x的平均变化率.0010()()f xxf xyxxx（2）几何意义函数f(x)在 处的导数 的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的切线的斜率，相应的，切线方程为 0 x0()fx000()()().yf xfxxx)(,(00 xxf2.函数f(x)在x=x0处的导
2、数（1）定义 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).4.基本初等函数的导数公式3.函数f(x)的导函数f(x)在开区间(a，b)可导,对(a，b)内每个值x,都对应一个确定的导数 在区间(a，b)内 构成一个新的函数,称为函数y=f(x)的导函数,记为 或y(或 ).()fx()fx()fxxy原函数导函数f(x)=cf(x)=0f(x)=f(x)=f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=(a0)f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=(a0,且a1)f(x)=f(x)=lnxf(x)=()nx Q1
3、nnxxalnxaaxexelogax1lnxa1x5.导数运算法则（1）f(x)g(x)=f(x)g(x);（2）f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);（3）2()()()()()()0.()()f xfx g xf x g xg xg xg x6.复合函数的导数复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.uyyxux典例分析典例分析题型一题型一 求函数的平均变化率求函数的平均变化率【例1】求函数 在 到 之间的平均变化率.x0 xx0 xfxfxyxx)()(00分析 紧扣定义 进行计算
4、.解2yx2220000()2,2.yxxxxxxyxxx 10102220)(xxxxxxy学后反思求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量 ；(2)计算平均变化率.解这类题目仅仅是简单的套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.)()(12xxffyxxxxffxy1212)()(举一反三举一反三1.求 在 到 之间的平均变化率.xy21)0(00 xxxx0解析：xxxxxxxxxxxxxxfxfxy0020101)()()(220220000)()(分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.题型二题型二 利用求导公式求导数利用求导公式求导数【例2】求下列函数
5、的导数.解xxxxxxxxycossin2sin2)1(22)(sin)(2211(1)sin;(2);(3).1xxyxyyxxexe学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.)sin()sin()sin()sin()cos(2221cossinsincos)cos1)(cos()sin)(sin1()cos()sin(xxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxx解析举一反三举一反三2.求函数 的导数.xxxxysincos222322(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(2).(1)(1)(1)11(3)()()12.xxxxxxxxxxxxeeeee ee e
6、eyeeeyxxxxx 题型三题型三 导数的物理意义及物理上的应用导数的物理意义及物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-.（1）求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1的瞬时速度.t 32分析 第（1）问可利用 公式；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.ts学后反思本例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+t这段时间内的平均速度 当t趋近于0时的极限，即s对t的导数.导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物
7、体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义.利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.ts解（1）质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.ttststs36)1()1(举一反三举一反三3.以初速度 作竖直上抛运动的物体，在t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.)0(00vvgtvtts2021)(t0解析：物体在 时刻的瞬时速度为 gttgtvvs00221)(t0tvtsg000)(题型四题型四 导数的几何意义及几何上的
8、应用导数的几何意义及几何上的应用【例4】(12分)已知曲线 .（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.分析 (1)在点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.34313xy解（1）,.2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,.3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=04(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=6xy234313xy)34031,(30 xxx02切线方程为 ,即 ,.8点P（2，
9、4）在切线上，,.9即 ,即 ,解得 或 ,.10所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.1210 x20 x00)1()2(20 xx0)1)(1(4)1(00002xxxx040004223xxx0400323xx3403204322xx34032032xxxy)(0)34031(023xxxxy学后反思（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异：在过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)准确理解曲线的切线的概念，还要注意以下两个方面：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.直线与曲线只有一个公
10、共点，不能说明直线就是曲线的切线，如抛物线的对称轴与其仅有一个公共点，但对称轴不是抛物线的切线;反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点，如曲线y=sin x与其切线y=1有无数个公共点.曲线未必在其切线的“同侧”，如直线y=0虽然“穿过”曲线 ,但它依然是曲线 在点（0，0）处的切线.xy3xy3举一反三举一反三4.已知曲线C:y=-3 +2x,直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点(,)(0),求直线l的方程及切点的坐标.3x2x0 x0 x0y解析：y=3 -6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及(,),解得 .切点为（,）.把切点坐标代入y=kx得切线方程为y=
11、x,即x+4y=0.2x0 x3200032xxx32200000032362,xxxkxxx032x 3238331,824kk 14题型五题型五 复合函数的导数复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.223(1)31(2)cos(21)log2xyxyxxa分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导，也可直接用复合函数求导法则运算.解（1）方法一：设 ，则2logyu2312xux22222(43)1(43)(43)3131logloglog22exeexxxxuuxxyyuxx方法二：22222222231(43)(43)313131log2log(31)22log
12、log22exexexxxxyxxxxxx33333333cos(21)lncos(21)sin(21)lncos(21)sin(21)3lncos(21)2sin(21)cos(21)cos(21)()(3)(21)32xxxxxxxxxaxxaxxaxxxyaxaaxxaaaaa（2）学后反思求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导.其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）,即：先分解（复合关系）,再求导（导数相乘）.举一反三举一反三5.求下列函
13、数的导数.1co s21(1);(2)1xyyxex解析：32322211222(1)222(1)1(1)(1)(1)(1)xxxxyxxxx 1cos1cos1cos1cos1cos1cos1cos1cossin(1sin)()()(1cos)xxxxxxxxexexeexexx eyxeex（2）易错警示易错警示【例】求曲线S:在点A(0,16)处的切线方程.错解分析将点A代入曲线S易知点A不在曲线S上,故由导数的几何意义可知,f(0)不是曲线在过A的切线的斜率.33yxx错解由于f(x)=，故f(0)=3,即曲线在A点处切线斜率为3,从而切线方程为3x-y+16=0.233x正解设过点A
14、的切线与曲线S切于点M（).f(x)=,由导数的几何意义可知切线的斜率为 .又由两点连线的斜率公式知 .联立、得 ,则 ，故切线方程为9x+y-16=0.3000,3xxx233x20()303kfxx 3001603kxxx20()3903kfxx 02x考点演练考点演练10.点P是曲线y=-ln x上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是 .2x解析:作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=-ln x相切，则切点到直线y=x-2的距离最小.由y=2x-=1,得x=1，或x=(舍去).切点为（1，1）,它到直线x-y-2=0的距离为d=2x1x12221 1 222.21(1)答案:2
15、11.求下列函数的导数.(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);522sin(2);(3)sin(1);24(4)tan2cosxxyxyyxxx 解析322(1)(1)(2)(3)116121163yxxxxxxxyx53322252322sinsin(2),332232sincos2sin()()()3xxxyxxxxxxxxyxxxxxxx 21(3)sin(1)sin(cos)sin,2422211cos222cos1sin(sin)2xxxyxxxyx 22222sin(4)tan,coscossin1sin()cos(sin)(cos)cossincoscoscosxxxxxxx
16、xxxxyxxx12.设t0，点P(t,0)是函数f(x)=+ax与g(x)=b +c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.3x2x将a=代入上式得b=t.因此c=ab=.综上所述，a=,b=t,c=.2t 2t3t2t解析：函数f(x)的图象过点P(t,0)，f(t)=0，即 +at=0,又t0，故a=.同理，由g(t)=0得c=-b ,即c=ab.又f(x)、g(x)在点P(t,0)处有相同的切线，f(t)=g(t),而f(x)=3 +a,g(x)=2bx,3 +a=2bt,3t2t2t2x2t0 x0 x0 x0 x第二节第二节 导数的应用（导数的应
17、用（）基础梳理基础梳理1.函数的单调性在某个区间(a,b)内，若f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内；若f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内 .2.函数的极值（1）如果在 附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f()=0,那么f()是极大值；（2）如果在 附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f()=0,那么f(）是极小值.单调递增单调递减0 x0 x典例分析典例分析题型一题型一 利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间分析 通过解f(x)0,求单调递增区间.【例1】已知f(x)=-ax-1,求f(x)的单调增区间.xe解 f(x)=-ax-1,f(x)=-a.令f
18、(x)0,得 a.当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-,+);当a0时，f(x)的单调增区间为ln a,+).xexexe学后反思 求函数的单调区间，就是解f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f(x)；（3）令f(x)=0，求出全部驻点补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f()=0，则称点 为函数f(x)的驻点；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.0
19、x0 x举一反三举一反三1.求函数f(x)=sin x-x,x(0,)的单调区间.12解析解析：f(x)=sin x-x,f(x)=cos x-.当f(x)0,即cos x-0时，解得0 x ,f(x)的单调递增区间为（0,）;当f(x)0,即cos x-0时，解得 x0或f(x)0时，a ，而 -1,a-1；同理当cos x ,则-2aa-2,当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：极小值极大值f(x)+0-0+f(x)(a-2,+)a-2(-2a,a-2)-2a(-,-2a)x23解析：(1)当a=0时，f(x)=，f(x)=(+2x)，则f(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点（
20、1,f(1)处的切线的斜率为3e.(2)f(x)=+(a+2)x-2 +4a .令f(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a 知，-2aa-2.2xx e2xxe2x2a23所以f(x)在(-,-2a),(a-2,+)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=;函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=.若aa-2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表:x(-,a-2)A-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)在(-,a-2),(-2a,
21、+)内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=;函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=.23aae2(43)aa e232(4 3)aa e23aae第三节第三节 导数的应用导数的应用()()基础梳理基础梳理1.一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）；（2）2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意
22、导数在这两方面的应用.求函数y=f(x)在（a,b）内的极值将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.典例分析典例分析题型一题型一 求函数的最值求函数的最值分析 通过求导，令f(x)=0,找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，来找到最值.【例1】已知函数f(x)=,求函数在-1,1上的最值.2xx e解 f(x)=,f(x)=令f(x)=0,得 ,x=0，或x=-2(舍去).f(0)=0,f(-1)=,f(1)=e,=f(1)=e,=f(0)=0.2xx e2222).xxxxex eexx（22)0 xexx（11
23、eemax()f xmax()f x学后反思 求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.举一反三举一反三1.求函数 的最值.441()ln,f xxeexx 解析：函数 在 上可导，且f(x)=令f(x)=0，得x=-1或x=1（舍去）.f(-e)=-4,f(-1)=1,且 ,函数 的最大值为 -4，最小值为1.44()lnf xxx1,ee234(1)(1)(1)44xxxxxx4e41()4fee44441ee44()lnf xxx4e题型二题型二 导数在实际问题中的应用导数在实
24、际问题中的应用【例2】(2009福州模拟)甲、乙两地相距400 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元）关于速度v(km/h）的函数关系是（1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.分析 根据题目所给条件建立目标函数，利用导数求解.解（1）(0v100).43111519200160Pvvv3256000482Qvv(2)Q=-5v.令Q=0，则v=0（舍去）或v=80,当0v80时，Q0;当800.当v=80时，全程运输成本取得极小值，即为最小值.从而Q
25、min=Q(80)=(元).学后反思 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先根据题意建立函数关系式，并确定其定义域，再利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.216v20003 举一反三举一反三2.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3a5)元的管理费.预计当每年产品的售价为x(9x11)元时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，
26、分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q（a）.解析：(1)分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L=(x-3-a),x9,11.(2)L(x)=-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L(x)=0,得x=6+或x=12(不合题意，舍去).3a5,86+.易知在x=6+的两侧L的值由正值变负值.2(12)x2(12)x23a23a28323a当86+9，即3a 时，Lmax=L(9)=(9-3-a)=9(6-a);当96+,即 a5时，Lmax=当3a ，即当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；当 a5，即当每
27、件售价为（6+）元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=(万元).23a922(12 9)9228323a929223a2322(6)(63)332112(6)4(3)33Laaaaa399(6),32()9,5214(3)3aaQ aaa314(3)3a题型三题型三 求单调区间与解含参不等式求单调区间与解含参不等式【例3】（2008全国）已知函数 (aR),试讨论f(x)的单调区间.分析 求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.32()1f xxxax学后反思 分类讨论是数学中的一个重要思想.对含参数的函数求单调区间时，求导后仍含有参数，可转化为解含参数的不等式
28、问题.解含参数的不等式常通过讨论来完成，注意在讨论时各种情况要考虑全面，如本题易遗漏=0即 的情况.3a 解f(x)=3 +2ax+1 ,其判别式=4 -12.(1)当0,即a 或a 时，则在内f(x)0,f(x)是减函数;在 和 内f(x)0,f(x)是增函数.（2）当0,即 时，则对所有xR都有f(x)0，此时f(x)在R上是增函数.（3）当=0,即 时，则f()=0,且对所有的x 都有f(x)0.故当 时，f(x)在R上是增函数.2x2a332233(,)33aaaa 23(,)3aa23(,)3aa33a3a 3a3a 【例4】已知函数 ,若 在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围.
29、分析 由 在R上是增函数知 在R上恒成立，进而转化为最值问题.解 由题意知 在（-，+）上是单调增函数，在（-，+）上恒成立，即 对xR恒成立.,只需a0,又a=0时，在R上是增函数，a0，即a（-，0.学后反思 在已知函数 是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令 0（或 0）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使 恒等于0,若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若 不恒为0，则由 0（或 0）恒成立解出的参数的取值范围确定.3()1f xxax()f x()f x()0fx2()3fxxa()f x2()30fxxa23ax230 x 23(
30、)30,()1fxxf xx()f x()fx()fx()fx()fx()fx()fx 举一反三举一反三3.(改编题)已知函数 (a0)，求函数f(x)的单调区间.(2)当a0知3axa,由f(x)0知xa.所以f(x)的增区间为(3a,a)，减区间为(-,3a),(a,+).综上，当a0时,f(x)的增区间为(a,3a),减区间为(-,a),(3a,+);当a0时，由f(x)0知ax3a,由f(x)0知x3a.所以f(x)的增区间为(a,3a),减区间为(-,a),(3a,+).2x2a题型四题型四 导数与不等式的证明导数与不等式的证明【例5】（12分）(2008山东)设函数 ,已知x=-2
31、和x=1为f(x)的极值点.(1)求a和b的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)设 ，试证:f(x)g(x).分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，列出关于a,b的方程组，然后解之.（2）作差：f(x)-g(x)，然后研究整体f(x)-g(x)的单调性，进一步证明结论成立即可.2132()xf xx eaxbx323()2g xxx解(1)f(x).1又x=-2和x=1为f(x)的极值点,f(-2)=f(1)=0,即 ,解得 .31221(2)2(2)(32)3xxxbxxxaxbexaxxe6203320abab131ab (2)a=,b=-1,f(x)=x(x+2)(-1).令f(x)
32、=0，解得 .5当x(-,-2)(0,1)时，f(x)0，f(x)在(-2,0)和(1,+)上是单调递增的,在(-,-2)和(0,1)上是单调递减的.7131xe1232,0,1xxx(3)由(1)可知 ,故f(x)-g(x)=.8令h(x)=-x,则h(x)=-1.令h(x)=0,得x=1.x(-,1时，h(x)0,h(x)在(-,1上是单调递减的,故当x(-,1时，h(x)h(1)=0.10 x1,+)时，h(x)0,h(x)在x1,+)上是单调递增的,故当x1,+)时，h(x)h(1)=0.11对任意x(-,+)，恒有h(x)0,又 0,因此f(x)-g(x)0,故对任意x(-,+)恒有
33、f(x)g(x)122x学后反思 采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，是证明不等式的常用技巧.若证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明f(x)-g(x)0.如果f(x)-g(x)0，说明函数f(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知，当x(a,b)时，f(x)-g(x)0，即f(x)g(x).利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性求解不等式或证明不等式.这类试题在考查综合能力的同时充分体现了导数的工具性和导数应用的灵活性.21321()3xf xx exx21
34、321()xxxx exx e1xe1xe举一反三举一反三4.已知函数f(x)=+ln x,求证:x1时，对任意的正整数n,总有f(x)x.1nx证明:x1,对任意正整数n，恒有 1,故只需证明1+lnxx.令h(x)=1+ln x-x,x1,+),则h(x)=-1.当x1时，h(x)0,故h(x)在1,+)上递减，即h（x）h(1)=1+ln 1-1=0,1+ln x-x0,即1+ln xx，f(x)1+ln xx.当x1时，对任意的正整数n，总有f(x)x.1nx1x易错警示易错警示【例】从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边长为x的正方形，如右图所示.再将四边向上折起，做成一个无
35、盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比值不超过常数t.问:x取何值时，容积V有最大值?错解 V=.V=4(3x-a)(x-a).因为 ，所以函数的定义域为 这里，V在定义域内有唯一的极值点x=a3，由问题的实际意义可知，当 时，Vmax=.2322(22)484xxaxxaxa2216124axxa22xtax2(0,)12tat3ax 31627a错解分析 上述解法忽略了定义域的限制.正解（1）当 ,即 时，由V=0得 ，这时V在定义域内有唯一极值点 .由问题的实际意义可知，当 时，Vmax=.(2)当 ,即 时，x ，这时有V0，所以V在定义域内 为增函数，故当 时，Vm
36、ax=.2312atat14t 3ax 3ax 3ax 31627a2312atat104t3a212taxt23321248(2)(1 2)1 2ttattaaatt考点演练考点演练10.（2010山东济南模拟）将长为52 cm的铁丝剪成两段，各围成一个长与宽之比为21及32的矩形，那么面积之和的最小值为 .答案:782cm解析:设剪成的两段中其中一段为x，另一段为52-x.由题意知，面积之和为S=S=令S=0,则x=27,另一段为52-27=25.此时Smin=78().2cm2223(52)2(52)136610101850(52)xxxxxx13(52)925xx11.请您设计一个帐篷
37、，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示）.试问:当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解析：设 x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长(单位:m)为 于是底面正六边形的面积（单位:）为S(x)1OO22282(1)3xxx2m2233 36(82)(82)42xxxx12.(2008天津)已知f(x)=x+b（x0）,其中a,bR.(1)若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求f(x)的解析式;（2）讨论f(x)的单调性；（3）若对任意的a ,2,不等式f(x)10在 ,1上恒成立，求b的取
38、值范围.ax1214帐篷的体积(单位:)为V(x)=V(x)=令V(x)=0，解得x=-2（舍去)或x=2.当1x0,V(x)为增函数;当2x4时，V(x)0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积.错解 由题意作出图形，解方程组 得x=2,即直线x+y-6=0与抛物线y2=8x的交点为A(2,4)，故所求面积为 28(0),60yx yxy4032 2(68)16.3sxx dx错解分析 由于 表示由直线y=6-x与x=0,x=4围成的图形面积，显然不是所求图形的面积.404400(68)(6)8.sxx dxx dxxdx40(6)x dx正解 2602408(6).3sxdxx d
39、x考点演练考点演练答案：2 10.设 ，则y的最大值是 .0(sincos sin)xyttt dt解析:0002221(sincos sin)(sinsin2)2115(coscos2)|coscos24441513cos(2cos1)coscos44221(cos1)22.2xxxyttt dttt dtttxxxxxxx 一条水渠横断面为抛物线型，如图，渠宽AB=4 m，渠深CO=2 m，当水面距地面0.5 m时，求水的横断面的面积.解析：如图,建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p0),把点(2,2)代入抛物线得2p=2,x2=2y,将点(x,1.5)代入得x=3,水的横断面的
40、面积为23 m2.3233331(1.5)21(1.5)|2 3.6Sxdxx12.如图，在曲线y=x2(x0)上某一点A处作一条切线使其与曲线以及x轴所围的面积为 .试求:(1)切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程.112解析：（1）如图,设A（x0,y0）,且x00.y=2x,切线方程为y-y0=2x0(x-x0).令y=0,得x=,切线与x轴交点B（,0）.阴影部分面积.又S=,x0=1,A(1,1).(2)将A(1,1)代入切线方程得y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.02x02x1120AOC2032300000-S1=|2111().32212ABCxSSx dxBCACxxxxx曲边30111212x
