1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 05 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） . 1 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc，且 Aba sin3? ，则 ?Bsin A. 3 B. 36 C. 33 D. 36? 2 “ 0ab? ”是“ 22ab? ”的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知 ?na 是等差数列， 1 2a? ， 9 18a? ，则 5a? A 20 B 18 C 16 D 10 4
2、原命题为：“若 ,mn都是奇数，则 mn? 是偶数”，其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，其中真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 5 ABC中， ?60,1,3 ? CACAB ，则 ABC的面积等于 A 32 B 34 C 32 或 34 D 32 6 下列函数中，最小值为 4的是 A 4yxx? B 4sin (0 )siny x xx ? ? ? ? C 4xxyee?D 3log 4 log 3xyx? 7 若 2 50ax x b? ? ? 解集为 | 3 2xx? ? ? ， 则 2 50bx x a? ? ? 解集为 A. 11 | 32x x x? ? ?或 B
3、. | 3 2xx? ? ? C. 11 | 32xx? ? ? D. | 3 2x x x? ? ?或 8 如果椭圆 221100 36xy?上一点 P到焦点 F1的距离为 6，则点 P到另一个焦点 F2的距离 A 6 B 10 C 12 D 14 9 当 a 为任意实数时，直线 08? yax 恒过定点 P，则以点 P为焦点 的抛物线的标准方程是 A 2 32yx? B 2 32xy? C 2 32yx? D 2 32xy? - 2 - 10已知 ( 2)log ( 3)nnan?，我们把使乘积 1 2 3 na a a a? ? ? ? 为整数的数 n 称为“优数”，则在区间内（ 0，
4、2012）所有劣数的个数为 A 3 B 4 C 5 D 6 11设 A是 ABC中的最小角，且 11cos ? aaA ，则实数 a的取值范围是 A 1 a 3 B a 1 C a 3 D a 0 12.椭圆 1416 22 ? yx 上有两点 P、 Q ， O为原点 ， 若 OP、 OQ 斜率之积为 41? ， 则 22 OQOP ? 为 A . 4 B. 20 C. 64 D. 不确定 第 II卷 综合题（共 90分） 二、填空题 ： （本大题共 4小题，每小题 4分，共 16 分把正确答案填在题中横线上） 13.若将 20， 50， 100都分别加上同一个常数，所得三个数 依原顺序成等比
5、数列，则此等比数列的公比是 14 已知命题 :Px?R， sin 1x? ，则 ? P ： _. 15.若双曲线 221xyab? ? 的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为 _. 16给出下列几种说法： ABC中，由 sin sinAB? 可得 AB? ； ABC中，若 2 2 2a b c?，则 ABC为锐角三角形； 若 a b c、 、 成等差数列，则 2a c b? ； 若 2ac b? ，则 a b c、 、 成等比数列 . 其中正确的有 . 三、解答题：（本大题共 6小题，共 74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知 a 、 b
6、、 c 分别 是 ABC中 角 A、 B、 C的对边 ，且 2 2 2a c b ac? ? ? （ I） 求角 B 的大小 ； （ II） 若 ab 3? ，求 sinA 的值 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 的前 n 项和为 2nS n n?. （ I） 求数列 ?na 的通项公式； - 3 - （ II） 若 1()2nanbn?，求数列 nb 的前 n 项和 nT 19 （本小题满分 12 分） 一动圆和直线 21: ?xl 相切，并且经过点 )0,21(F ， （ I） 求动圆的 圆心 ? 的轨迹 C的 方程； （ II） 若过点 P（ 2， 0）且斜率为 k 的直
7、线交曲线 C于 M 11( , )xy ， N 22( , )xy 两点 求证： OM ON 20 （本小题满分 12 分） 已知命题 p ：方程 22121xymm?的图象是焦点在 y 轴上的双曲线；命题 q ：方程24 4( 2) 1 0x m x? ? ? ?无实根；又 pq? 为真， q? 为真，求实数 m 的取值范围 . 21.（ 本小题满分 12分） 某投资商到一开发区投资 72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出 12万元，以后每年支出增加 4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50万元 .设 )(nf 表示前 n年的纯利润总和，（ f（ n） =前 n 年的总收入 前 n
8、年的总支出 投资额 72万元） . （ I）该厂从第几年开始盈利？ （ II）该厂第几年 年平均纯利润 达到最大？并求出 年平均纯利润的 最大值 . 22 （本小题满分 14分） 已知中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 23 的椭圆过点（ 2 ， 22 ). （ I） 求椭圆方程； （ II） 设不过原点 O的直线 l ： mkxy ? )0( ?k ，与该椭圆交于 P、 Q两点，直线 OP、 OQ的斜率依次为 1k 、 2k ，满足 214 kkk ? ，求 2m 的 值 . - 4 - 参考答案 一、选择题：（每小题 5分共 60分） CADCA CADBD CB 二、解答题：（每小题
9、 4分，共 16 分） 13. 53 14 : R,sin 1p x x? ? ? ? 15. 22yx? 16 三、解答题： 17 （ I） 解： 由余弦定理，得 212co s 222 ? ac bcaB ，? 2分 0 B ?， 3?B ? 6分 （ II）由正弦定理 AaBb sinsin ? ，? 8分 得 633 3s ins ins in ? aab BaA?.? 12 分 18 解：（ I）当 2n? 时， 221 ( 1 ) ( 1 ) 2n n na S S n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?，? 3分 当 1n? 时， 1 2a? 也适合上式，? 5分
10、2nan? .? 6分 （ II）由（ I）知， 11( ) ( )24na nnb n n? ? ? ?. ? 8分 21 1 1( ) ( ) (1 2 )4 4 4 nnTn? ? ? ? ? ? ? ?=111 ( ) ( 1)441 214n nn? ?= 21 1 ( 1)1 ( ) 3 4 2nn ?.? 12分 19 解： （ I） ? 到 F的距离等于到定直线 21: ?xl 的距离，? 2 分 根据抛物线的定义可知：的轨迹就是以 F为焦点， l 为准线的抛物线，? 3 分 其中 1?p 得 2 2yx? 为所求 . ? 6分 （ II） 证明： 过点 P（ 2， 0）且斜率
11、为 k 的直线 的方程为 ( 2) ( 0)y k x k? ? ? ? 7分 代入 2 2yx? 消去 y可得 .04)1(2 2222 ? kxkxk ? 8分 由韦达定理得 212 24 4.kxx k?由 221 1 2 22 , 2y x y x?，? 9分 1 2 1 2OM ON x x y y? ? ?= 124 2 4 4 0xx? ? ? ?， .OM ON? ? 12 分 （用斜率之积 = 1证 OM ON亦可） 20 解：方程 22121xymm?是焦点在 y轴上的双曲线， 2010mm? ?，即 2m? .故命题 p ： 2m? ； ? 3分 - 5 - 方程 24
12、4( 2) 1 0x m x? ? ? ?无实根， 24 ( 2 ) 4 4 1 0m? ? ? ? ? ? ?， 即 2 4 3 0mm? ? ? ， 13m?.故命题 q ： 13m?. ? 6 分 又 p ? q 为真， q? 为真， p 真 q 假 . ? 8分 即 213mmm? ? 或，此时 3m? ；? 11分 综上所述： ? ?3| ?mm .? 12分 21.解 ：由题意知 7242 )1(1250)( ? nnnnnf 72402 2 ? nn .? 4分 （ I）由 182,072402,0)( 2 ? nnnnf 解得即 ? 7分 由 *Nn? 知，从第三年开始盈利 .
13、? ? ? 8分 （ II）年平均纯利润 16)36(240)( ? nnnnf ? 10分 当且仅当 n=6时等号成立 .? ? ? 11 分 年平均纯利润 最大值为 16万元， 即第 6年，投资商 年平 均纯利润 达到最大， 年平均纯利润 最大值 16 万元 .? 12分 22.解：（ I）设椭圆的方程为 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?，由题意解得 2, 1ab?. 椭圆的方程 2 2 14x y?.? 6分 （ II）由 22 14y kx mx y? ?得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x km x m? ? ? ? ?， ? 7分 12 2212 28414441kmxxkmxxk? ? ? ? ? ? ?， ? 10 分 设 P 11( , )xy ,Q 22( , )xy , 1212,yykkxx?， 1212 124 yyk k k xx? ? ? ?= 1 2 2 112yx y xxx? = 1 2 1 2122 ( )kx x m x xxx?= 2222 1kmk m? ? ，? ? 13分 2 12m? .? 14 分
