1、 - 1 - 2017 2018上学期高二期末考试 数 学（理） 满分： 150分 , 考试时间： 120分钟 第 I卷（ 60 分） 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，每题只有一个正确答案） 1.在 CcbABC s in,16,1030B 则，中， ? ?等于（ ） . A.53B.53?C.54?D.542.已知数列 ?na 满足nn aa 211?，若 84?a ，则 1a 等于（ ） . A. 1 B.2 C.64 D.128 3.已知椭圆 )0(11222 ? bb yx 的离心率为 1010 ，则 b 等于（ ） . A.3 B.31 C.109 D. 10103
2、4.命题 22,: bcacbap ? 则若 ；命题 ,01,: 2 ? xxRxq 则下列命题为真命题的 是（ ） . A. qp? B. qp? C.? ? qp? D. ? ?qp ? 5.设 ? ?1,2,2 ?u 是平面 ? 的法向量， ? ?2,4,3?a 是直线 l 的方向向量，则直线 l 与平 面 ? 的位置关系是（ ） . A.平行或直线在平面内 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 6.已知双曲线 154 22 ?yx 的左右焦点分别为 21,FF ，点 P 是双曲线上一点，且0221 ?PFFF ，则 1PF 等于（ ） . A.213 B.29 C.27 D.23
3、7.下列说法中正确的个数是（ ） . 022 2 ? xxx 是 的必要不充分条件； - 2 - 命题“若 ,2?x 则向量 ? ? ? ?2,1,11,0 ? bxa 与向量 垂直”的逆否命题是真命题； 命题“若 023,1 2 ? xxx 则 ”的否命题是“若 023,1 2 ? xxx 则 ” . A.0 B.1 C.2 D.3 8.若实数 4,1 yx 成等差数列， 8,2 ? cba 成等比数列，则 bxy? =（ ） . A.41?B.41 C.21 D. 21? 9.在 ABC? 中，内角 A,B,C的对边分别是 cba, ，若 acabAC 23,2s ins in 22 ?
4、，则Bcos 等于（ ） . A.21 B.31 C.41 D.51 10.已知数列 ?na 是等差数列， 13,3 72 ? aa ，则数列? ?11nn aa的前 n 项和为（ ） . A.122?nnB. 12?nn C. 12 22?nn D. 121?nn 11.函数 ? ? )10(13lo g ? aaxy a 且的图象恒过定点 A，若点 A 在直线01?nymx 上，其中 0?nm ，则 nm 14? 的最小值为（ ） . A.16 B.24 C.25 D.50 12. 已 知 数 列 ?na 中， ? ? ? ? Nnaaana nnn ,1,2 11 . 若 对 于 任 意
5、 的? ? ? Nnt ,1,0 ，不等式 ? ? 3121 221 ? aatatna n 恒成立，则实数 a 的取值范 围为（ ） . A.? ? ? ? ,31, B.? ? ? ? ,12, C.? ? ? ? ,31, D.? ?3,1? 第 II卷（ 90分） 二、填空题（本大题共 4小题， 每小题 5分，共 20分 ） - 3 - 13.若实数 yx, 满足?124xyxyx ，则162 ? yxZ 的最大值是 . 14.设 21,FF 是椭圆 14 22 ?yx 的两个焦点， P在椭圆上，且满足 ?6021 ? PFF ，则21FPF? 的面积是 . 15.关于 x 的不等式
6、? ? ? ? 0111 22 ? xaxa 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是 . 16.已知抛物线 xy 82? 上有一条长为 9的动弦 AB，则 AB中点到 y 轴的最短距离为 . 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. （ 10 分） 在 ABC? 中 , ? ?0,4?A , ? ?0,4B ，点 C 运 动 时 内 角 满 足BCA sin2sinsin2 ? ，求顶点 C 的轨迹方程 . 18.（ 12 分） 在 ABC? 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足? ? ? ? ? ? Cab
7、Bc 2s i n2c o s ? . (1)求角 C的大小； (2)若 ,3,13 ? bc 求 ABC? 的面积 . 19. (12 分） 2017 年，在国家创新驱动战略的引领下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型创新平台， 1400多个北斗基站遍布全国，上万台套设备组成星地 “ 一张网 ” ，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以到厘米或毫米级。 最近北斗三号工程耗资 9 万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续 使用，第 n 天的维修保养费为 )(5.992 ? Nnn 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平
8、均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？ - 4 - 20.（ 12分） 在三棱柱 111 CBAABC? 中， ?1BB 平面 ABC ， 3?AB ， 4?BC ，5?AC ， 261?AA . （ 1）设 ACmAD? ，异面直线 1AB 与 BD 所成角的余弦值为 51 ，求 m 的值； （ 2）若 D 是 AC 的中点，求平面 1BDC 和平面 1CDC 所成锐二面角的余弦值 . C1B 1A1DCBA21. （ 12分） 已知数列 ?na 的前 n 项和 nS 满足 ,12 2 ? naS nn 且 1?na . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）求
9、 nanaan aaaT 222 21 21 ? ?的值 . 22.（ 12 分） 点 ? ?1,2M 在椭圆 C： ? ?012222 ? babyax 上，且点 M 到椭圆两焦点的距离之和为 52 . （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）已知动直线 ? ?1? xky 与椭圆 C相交于 A,B两点，若 ? 0,37P，求证： PBPA?为定值 . - 5 - 抚顺市六校联合体 2017-2018 上学期高二期末考试 数学（理）答案 一 选择题 1-5、 DCBDA 6-10、 ACACB 11-12、 CC 二 填空题 13、 0 14、 33 15、 1,53(? 16、 25 三解答题
10、 17、 解：在 ABC? 中， BCA sin2sinsin2 ? ,由正弦定理得： bca 22 ? （ 2 分） ，即|2|2 CAABCB ? ,整理可得： |21| ABCBCA ? ,又因为 )0,4(),0,4( BA ? ,即8| ?AB ， 4| ? CBCA ，所以点 C 的轨迹是以 BA, 为焦点的双曲线的右支（除去点 )0,2( ）（ 6分） 在此双曲线中 8|2,42 ? ABca ，即 4,2 ? ca ， 3222 ? acb ,所以点 C的轨 迹方程为 )2(1124 22 ? xyx （ 10分） 18、 解：（ 1）在 ABC? 中， )2s in ()2(
11、)c o s ( CabBc ? ? ， 即 CabBc co s)2(co s ? （ 1分） 由正弦定理得 CABBC c o s)s in2( s inc o ss in ? （ 2分） CABCCB c o ssi n2c o ssi nc o ssi n ? CACB co ssin2)sin ( ? ， （ 3 分） 即 CAA cossin2sin ? （ 4 分） 又因为在 ABC? 中， 0sin ?A ，所以 1cos2 ?C ，即 21cos ?C ,所以 3?C （ 6分） （ 2） 在 ABC? 中， Cababc cos2222 ? ,所以 aa 3913 2 ?
12、解得 4?a 或 1?a （舍去）， （ 9分） 所以 33s in21 ? CabS ABC（ 12 分） 19、 解：设一共使用了 n 天，平均每天耗资为 y 元， - 6 - 则 nnny 2)5.992100(90000? 75.99490000 ? nn （ 6分） 当且仅当 490000 nn ? 时，即 600?n 时 y 取得最小值 399.75（ 11分） ， 所以一共使用了 600天，平均每天耗资 399.75元 （ 12分） 20、 解：（ 1）在 ABC? 中 5,4,3 ? ACBCAB ，所以 BCAB? , 又因为 ABCBB 平面?1 ， 261?AA ，所以以
13、 1, BBBCBA 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 （ 2分） ，此时 ),26,4,0(),26,0,0(),0,4,0(),0,0,0(),0,0,3( 11 CBCBA 所以 )0,4,3(?AC , 又因为 ACmAD? ， 所 以 点 )0,4,33( mmD ? ，)26,0,3(),0,4,33( 1 ? ABmmBD 因为异面直线 BDAB,1 所成角的余弦值为 51 ， 所以51918259 |99|,c o s| 21 ? mm mBDAB，解得 21m （ 6分） （ 2）因为 D 是 AC 中点，所以 )0,2,23(D .设平面 DBC1 的法
14、向量 ),( 0001 zyxn ? ，),26,4,0(1 ?BC )0,2,23(?BD 则有：? ? 001 11 BDn BCn得：?022302640000yxzy 令 40?x ，得 2,3 00 ? zy ，所以 )2,3,4(1 ?n （ 8分） 设平面 DCC1 的法向量 ),( 1112 zyxn ? ， ),26,0,0(1 ?CC )0,2,23( ?CD 则有：? ? 002 12 CDn CCn得：?0223026111yxz 令 41?x ，得 0,3 11 ? zy ，所以 )0,3,4(2 ?n （ 10 分） 45 37|,c o s 21 2121 ? n
15、n nnnn， - 7 - 所以锐二面角 CDCB ? 1 的余弦值为 4537 .（ 12 分） 21、 解：（ 1）当 1?n 时， 1122 211 ? aaS n，解得 2?a 或 0 （舍） （ 1分） .当 2?n 时， 12 2 ? naS nn ， 1)1(2 2 11 ? ? naS nn 两式相减得： 12 2 12 ? ?nnn aaa ，即 0)1( 2 12 ? ?nn aa ， 0)1)(1( 11 ? ? nnnn aaaa ，又因为 1?na ，所以 0)1( 1 ? ?nn aa ， 01 1 ? ?nn aa ，即 11? ?nn aa ， 所 以 数 列
16、na 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列11)1(1 ? nnaa n （ 6 分） . （ 2）因为 nanaan aaaT 222 21 21 ? ?， 所以 132 2)1(2322 ? nn nT ? ?nT2 213 2)1(222 ? ? nn nn? （ 7分） 两式相减得 2133 2)1()22(2 ? ? nnn nT ? 2213 22)1(21 )21(28 ? ? nnn nn 所以 22 ? nn nT （ 12分） 22、 解：（ 1）?522112 22a ba解得? ?35522ba 即椭圆的方程为 135522 ?yx （ 4分） （ 2）设 ),(),
17、( 2211 yxByxA ，联立?1355)1(22 yxxky得 0536)31( 2222 ? kxkxk ， 02048)53)(13(436 2224 ? kkkk ， 13 53,13 6 22212 221 ? kkxxk kxx （ 8分） - 8 - 所以21212211 )37)(37(),37(),37( yyxxyxyxPBPA ?)1)(1()37)(37( 21221 ? xxkxx 2212212 949)(37()1( kxxkxxk ? 22 2422 22222 94913 5163949)13 6)(37(13 53)1( kk kkkk kkkkk ? ? 94? （ 12分）
