1、 - 1 - 北京市东城区 2017 2018学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科） 本试卷共 100分。考试时长 120分钟。 第一部分（选择题 共 36分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 1z ， 2z 互为共轭复数，若 1211 ? iz， 则 ?2z A. i211? B. i211? C. i?21 D. i211? 2. 在对两个变量 x， y进行线性回归分析时有下列步骤： 对所求出的回归直线方程作出解释； 收集数据（ ix ， iy ）， i=1， 2，?， n； 求线性回归
2、方程； 选用线性回归方程并求相关系数； 根据所搜集的数据绘制散点 图，确定存在线性关系。 若根据可靠性要求能够作出变量 x， y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是 A. B. C. D. 3. ? ?10 )2( dxxex等于 A. 1?e B. e C. 1?e D. 1 4. 若随机变量 ),( pnBX ，且 25)( ?XE ， 45)( ?XD ，则 ? )1(XP A. 321 B. 81 C. 325 D. 165 5. 下面几个推理过程是演绎推理的是 A. 在数列 na 中，根据 11?a ， *),2(12 11 Nnnaaa nnn ? ?，计算出 2a ， 3a
3、, 4a的值，然后猜想 na 的通项公式 B. 某校高二共 8 个班，一班 51 人，二班 52 人，三班 52 人，由此推测各班人数都超过50人 C. 因为无限不循环小数是无理数，而 ? 是无限不循环小数，所以 ? 是无理数 - 2 - D. 由平面三角形的性质 ，推测空间四面体的性质 6. 6将一枚均匀的硬币连掷 5次，如果出现 k次正面的概率等于出现 1?k 次正面的概率，那么 k的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在极坐标系中，过点 )2,2( ? 且与极轴平行的直线方程是 A. 2? B. 2? C. 2cos ? D. 2sin ? 8. 如图是正态分布 ),(
4、21?N ， ),( 22?N ， ),( 23?N )0,( 321 ? 相应的曲线，那么1? ， 2? ， 3? 的大小关系是 A. 321 ? ? B. 123 ? ? C. 231 ? ? D. 312 ? ? 9. 现有五张卡片，其中两张上写着数字 5，三张上写着数字 8，从这五张卡片中选出四张组成一个四位数，那么这样的四位数共有 A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 14个 10. 已知2121111)( nnnnnf ? ?， *Nn? ，则 A. f（ n）共有 n项，当 n=2时， 3121)2( ?f B. f（ n）共有 1?n 项，当 n=2时， 413121)2
5、( ?f C. f（ n）共有 nn?2 项，当 2?n 时， 3121)2( ?f D. f（ n）共有 12 ?nn 项，当 2?n 时， 413121)2( ?f 11. 已知函数 f（ x）的导函数 )(xf 是二次函数，且 )( xfy? 的图象关于 y 轴对称，0)3( ?f ，若 )(xf 的极大值与极小值之和为 4，则 f（ 0） = - 3 - A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 12. 如图所示，一质点 P（ x,y）在 xOy 平面上沿曲线从 A到 B作匀速运动，其在 x轴上的投影点 Q（ x， 0）的运动速度 )(tvV? 的图象大致为 第二部分（非选择题 共 64
6、分） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ） 13. 学校食堂在某天中午备有 5种素菜， 3种荤菜， 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐 _种。 14. 在复平面内，若复数 z同时满足下列条件： Riz ?2 ； 2?z 对应的点在第三象限。 试写出一个满足条件的复数 z=_。 15. 曲线? ? ? ty tx 1 52（ t 为参数， Rt? ）与 x 轴的交点坐标是 _。 16. 在 nxx )1( ? 的展开式中，第三项与第五项的系数相等，则 n=_；展开式中的常数项为 _。 17. 观察下列等式： 1=1； 1 4=（ 1+2）； 1 4+
7、9=1+2+3； 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） ? 根据上述规律，第 6个式子为 _；第 n个式子为 _。 18. 若曲线 )(xfy? 上存在唯一的点 P，使得在点 P的切线与曲线 )(xfy? 有且只有一个- 4 - 公共点，则称曲线 )(xfy? 存在“真切”线，给出下列曲线： 2xy? ； 3xy ? ； xy ln? ； xxy ln2 ? 则存在“真切”线的所有曲线的序号为 _ 三、解答题（本题共 4 小题，共 46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （本题满分 9分） 已知 Rx? ， 212?xa ， xb ?2 ， 12 ? xxc ，试证明 a,
8、b,c至少有一个不小于 1。 20. （本题满分 12 分） 已知函数 axexf x ?)( （ a为常数）的图象与 y轴交于点 A，曲线 y=f（ x）在点 A处的切线斜率为一 1 （ I）求 a的值并求该切线方程； （）求 f（ x）在区间 一 1， 1上的最小值和最大值； （）证明：当 x0时， xex?2 21. （本题满分 12分） 某书店打算对 A， B， C， D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了 15位顾客（记为 ia ， ?i 1， 2， 3，?， 15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）： 顾客 图书 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8
9、a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a A 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D 1 1 1 1 1 1 （ I）若该书店每天的人流量约为 100 人次，一个月按 30 天计算，试估计 A 类图书的月销量 （单位：本）； （）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送 5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望； （）若某顾客已选中 B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书 ?（结- 5 - 果不需要证明） 22. （本题满分 13 分）
10、 已知函数 xmxf ln)( ? ， Rm? 。 （ I）若函数 y=f（ x） +x的最小值为 0，求 m的值； （）若函数 y=f（ x）与 )0(2 1)( ? xxxxh 的图象在（ 1， 0）处有公切线 l （ i）求 m的值； （ ii）求证： )(xfy? 与 )(xhy? 的公切线只有 l一条 - 6 - 【试题答案】 一、选择题（本题共 12小题，每小题 3分，共 36分） 1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C 10. D 11. A 12. B 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3分，共 18分） 13. 30 14
11、. i2? （答案不唯一） 15. （ 3， 0） 16. 6 20 17. 1 4+9 16+25 36=（ 1+2+3+4+5+6） 1 4+9 16+? +（ 1） n+1n2=（ 1） n+1（ 1+2+? +n） , *Nn? 18. 注：两个空的填空题第一个空填对得 1分，第二个空填对得 2分 三、解答题（本题共 4 小题，共 46分） 19. 本题满分 9分 证明：假设 a,b,c 都小于 1，即 1,1,1 ? cba ，? 3 分 则有 3? cba 而 33)21(232122 22 ? xxxcba 6分 两者矛盾，所以假设不成立， 故 a,b,c至少有一个不小于 1 9
12、分 20. 本题满分 12分 解：（ I）由 axexf x ?)( ,得 aexf x ?)( 2分 设 A（ 0,m），则由已知得 1)0( ?f 即 11 ?a ，解得 2?a 所以 xexf x 2)( ? ， 2)( ? xexf ，此时 )1,0(A 故在点 A处的切线方程为 1? xy 4分 - 7 - （ II）令 0)( ?xf ，得 2ln?x 当 2ln?x 时， 0)( ?xf ， f（ x）单调递减；当 2ln?x 时， 0)( ?xf ， )(xf 单调递增 所以当 )2ln,1?x 时， )(xf 单调递减； 1,2(ln,?x 时， f（ x）单调递增 故当 2
13、ln?x 时， f（ x）有最小值， f（ ln2） =2 2ln2=2 ln4； 6分 又 2)1( 1 ? ?ef ， 2)1( ?ef ，显然 )1()1( ff ? ， 故 )(xf 在区间 1， 1上的最大值为 21)1( ? ef 8分 （ III）证明：令 2)( xexg x ? ，则 xexg x 2)( ? 由（ II）得， 04ln2)2( ln)()( ? fxfxg 故 )(xg 在 R上单调递增 又 01)0( ?g 所以当 0?x 时， 0)0()( ? gxg ，即 xex?2 12分 21. 本题满分 12分 解：（ I） 100030100155 ? （本）
14、 答： A类图书的月销量约为 1000本 2分 （ II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为 53159 ?P X可取 0， 5， 10， 15 4分 1258)52()0( 3 ?XP ； 213 )52()5( CXP ? 1253653?； 223 )53()10( CXP ? 125545?； 12527)53()15( 3 ?XP 8分 所以 X的分布列为 X 0 5 10 15 P 1258 12536 12554 12527 所以 912511251252715125541012536512580)( ?XE 10分 （ III）图书 D 12分 22. （本题满分 13 分
15、） - 8 - 解：（ I）由题意，得函数 xxmy ? ln ，所以 xmxxmy ? 1 2分 当 0?m 时，函数 y 在 ),0( ? 上单调递增，此时无最小值，舍去； 当 0?m 时，由 0?y ，得 mx ? 当 ),0( mx ? 时， 0?y ，原函数单调递减；当 ),( ? mx 时， 0?y ，原函数单调递增 所以当 mx ? 时，函数 y 取最小值，即 0)ln( ? mmm ，解得 m= e 6分 （ II）（ i）由 xmxf ln)( ? ，得 xmxf ?)( ，所 以 mf ?)1( 由 )0(2 1)( ? xxxxh ，得221)( xxh ?，所以 21)
16、1( ?h 由已知有 )1()1( hf ? ，解得 21?m 8分 （ ii）设函数 f（ x）与 h（ x）上各有一点 )ln21,(11 xxA， )2 1,( 222 xxxB ?则 f（ x）以点 A为切点的切线方程为21ln2121 11 ? xxxyh（ x）以点 B为切点的切线方程为2222 2221 xxxxy ? 由两条切线重合，得 (*)2221ln21,2121221221?xxxxx消去 1x ，整理得2211ln xx ? ，即 011ln22 ? xx令 xxx 11ln)( ? ，得22 111)( xxxxx ?所以函数 )(x? 在（ 0， 1）单调递减，在 ),1(? 单调递增。 又 0)1( ? ，所以函数 )(x? 有唯一零点 x=1， 从而方程组（ *）有唯一解? ?1,121xx 即此时函数 f（ x）与 h（ x）的图象有且只有一条公切线 13分
