1、第十一章 数列和数学归纳法Z+数列是初等数学的重要内容之一,在科学技术与日常生活中有着广泛的应用,这部分内容是进一步学习极限和高等数学的基础;它与初等数学的许多内容有着密切联系,学习它将有助于加强对初等数学内容的整体认识与知识的综合运用.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种重要方法.本章将首先学习有关数列、等差数列和等比数列的概念、公式及其实际应用，然后介绍数学归纳法及其应用举例.第一节 数列的概念 第二节 等差数列 第三节 等比数列*第四节 数学归纳法及简单应用举例第一节 数列的概念一、数列定义先看下面的例子：一个细胞在一昼夜内参分裂8次（一个分裂成两个），记录每次分裂后所得到的细胞
2、的个数，并按其先后次序排列成一列数：（1）2，4，8，16，32，64，128，256；1 1 1,;3 4 51 正整数1,2,3,4,5,的倒数排列成一列数:(2)1,2 庄子天下篇有一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，我们可得每日所剩下的棰的长度记录为：2311(3),;221 2将e的不足近似值按所保留的位数自少到多排列起来,也得到一列数:(4)2,2.7,2.71,2.718,;把正整数按照奇数取正号，偶数取负号的规律依次排列成一列数：(5)1,-2,3,-4,5,;无穷多个1排列成一列数：(6)1,1,1,1,1,1,1,;上述例子中的一列数就是数列，下面给出数列的定义.定义
3、 23,11+按照一定次序排列的一列数:称为数记为其中的每一个数都称为数列的一个项 各项依次称为第1项,第2项,第 项,第1项 又称为首项 第 项 又称为项 如果数列的第 项 与项数 之间能用解析式表示 那么这个解析式就称为数项!数列是定义域为正整数集的函数,=数列可用图像表示,它是一群孤立点.nnnnna a aaananananaf nnZ列通,列的通公式.1111,(3),2(5)1,.例如,数列 2 的通项为的通项公式为的通项公式为已知一个数列的通项公式 就可求出这个数列的各项nnnnnaanan 111,21nnnan 已知数列的通项公式写出它的前3项及第25项.例1n=在通项公式中
4、,依次取1,2,3,25,即可得:解23254262,1,.529aaaa 122234(1)(2),358 15 24(3),(4).3 45 写出下列各数列的一个通项公式.2,-4,6,-8,;2;3;2,0,2,0,2例21(1)12;nnan 本数列的每一项的绝对值都是项数的2倍 偶数且奇数项为正,偶数项为负,所以通项公式是:2(2)1;21 本数列的每一项的分子都是项数加1的平方,分母都是奇数,所以通项公式是:nnan解2(3)112;11 本数列的每一项的分母都是项数加1,分子都是分母的平方减1,所以通项公式是:nnn nann1(4),0 011,:11.nna 本数列的奇数项都
5、是2 2=1+1 偶数项都是所以通项公式是.应当指出,不是所有的数列都有通项公式,例如开头例子中的数列 4 就写不出通项公式来二、数列的分类 1.按项数分类 项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列，如开头例子中的数列（1）为有穷数列，而数列(2),(3),(4),(5),(6)都是无穷数列.2.按数列值大小分类 一个数列，若从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 那么这个数列称为递增数列，若从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 1,nnaa1nnaa ，那么这个数列称为递减数列.如开头例子中数列(1),(4)是递增数列，而数列(2),(3)是递减数列.一个数列，若它的项忽
6、大忽小，那么这个数列称为摆动数列，如开头例子中数列（5）.一个数列，若每项的数值都相等，那么这个数列称为常数数列，如开头例子中数列（6）.0,n项绝对变围类 一个数列,若它的任何一项的绝对值都小于某一个正数M,即a 的绝对值小于那么这个数列称为数没有这样的正数存在的数列称为无数,如开头例子中数列(1),(2),(3),(4),(6)都是有界数列,(5)为无界数列.MMM3.按各的值的化范分 有界列界列 显然,凡是有穷数列和常数数列都是有界数列,而无穷数列中有的是有界数列,有的是无界数列.习 题思考题：课堂练习题：1.,?它们的意义相同吗 数列的实质是什么 数列中的数可重复吗 数列的图像是什么形
7、状nnaaa a2.?目前我们所求解的数列题有几类 3.是否所有数列都有通项公式?有穷数列,常数列都是有界数列:无穷数列是否无界?有界数列一定是有穷数列吗?121 1,50.21.已知数列通项公式求第项和前三项nnnan 2.0.9,0.99,0.999,0.9999,.已知数列求通项公式答 案答 案答 案答 案答 案第二节 等 差 数 列一、等差数列的定义观察下面两个数列：.(1)-5,-2,1,4,7,;(2)1,5,9,13,17,这两个数列有一个共同的特点:从第2项起,每一项减去它前面的一项所得的差都等于同一个常数,在数列(1)中,这个常数是3,在数列(2)中,这个常数是4.定义 如果
8、一个数列，从第二项起，每一项与它的前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数称为公差，用 表示.d上述两个数列都是等差数列,数列(1)的公差3,数列(2)的公差4d=d=.,0,0,0,.在等差数列中当时 数列是递增的 当时 数列是递减的 当时 数列就是常数列ddd二、等差数列的通项公式1321431,2,3,2由等差数列的定义,可知aad aadadaadad一般地11 11-1naand这就是等差数列的通项公式.1 它表明了四个量之间的关系,只要知道其中任意三个量,就可求出另一个量.na,a,n,d 求18,14,10,6,的第16项.例118,14 184,16ad
9、n 1 将代入式 11-1 得161=+15=18+15-4 =-42 aad21?等差数列3,5,7,的第几项是例23,532.21(11 1)ada1n将 代入式得21312,n解得10n=解解6104,2,.3 等差数列中,已知求aaa 例3124,52.adad 1由已知,有:解得8,2.1ad 所以101989 210.aad 在6与26之间插入三个数,使它们成等差数列,求插入的三个数.例4 56,26.aa1由题知这五个数成等差数列,并且,:将它们代入式 11-1 得1264,ad解得5.d=因此,插入的三个数为11,16,21.解解三、等差中项定义如果三个数成等差数列,那么 称为
10、 与 的a,b,cbac等差中项.根据等差数列的定义,得:-b a=c b即 11-2a+cb=2四、等差数列前n项和的公式.n下面推导等差数列前 项和的公式为了求出如图11-1所示的钢管总数,我们设想在这堆钢管的旁边,如图11-2那样倒放着同样的一堆钢管,这样每层的钢管都相等,即:4+10=5+9=6+8=10+47,由于共有7层,两堆钢管总数是 4+10所求的钢管总数是74924+10 图11-1 钢管正放示意图11-2 钢管倒放示意23,:1一般地,等差数列它的前 项和即na a anS12nnSaaa,:根据等差数列的通项公式 上式可以写成 111121nSaadadand同理 把各项
11、的次序反过来,又可以写成:nS 12nnnnSaadada把上两式两边相加,得:11112nnnnnSaaaaaan aa由此得到等差数列的前 项和的公式n111 32n nn aaS(2)即等差数列前 项的和等于第一项与第 项的和的1的 倍.nnn11,因为所以上式又可以写成:naand1111 42n n nSnad9991(1)2,12,;(2)3,.2aaSadS 11 在下列等差数列中,已知求 已知求例59(1)2,12,911 3:aan 1 将代入式得992 12452S 1(2)3,911 4:21 将代入式得adn 9912 39 1922S 解11,2,8,.已知等差数列中
12、求 和nnadSan 例61,8,11 3:nndaS 将=2,代入式 11-1 和式得11211182anna 22132,280.4,2,.4,5.11解得:将它代入化简得解此方程得n不合题意 舍去 所以annnnna 解 某剧场有25排座位,后排比它前面一排多2个座位,最后一排有70个座位,问该剧场共有多少座位?例7,.d=na=S2525 由题知剧场25排座位成等差数列,其中2,=25,70 因而所求座位总数就是这个等差数列前25项之和11 3:由式 11-1 和式得125124 27025702aSa:解得12522,1150,1150.即剧场共有座位个aS解习 题思考题：课堂练习题
13、：1.0,0,0?叙述等差数列定义?公差各是什么数列ddd2.,.,.写出等差数列的中项公式 通项公式 前 项和公式若 为公差及数写出三个数组成等差数列nda1.:15,25,35,45,13,8,3,2,;数列和是等差数列吗?若是求出公差 写出第一个数列的第21项.12.5,4,401?求等差数列中的nadan 75753.?22求和的等差中项答 案答 案答 案答 案答 案第三节 等 比 数 列一、等比数列的定义又如下面的数列:我们知道,一个细胞逐次分裂后的个数,组成数列:(1)1,2,4,8,16,32,64,;(2),;1 1 1 1,2 4 8 16(3),;1 11 1,-,-3 9
14、27,.观察上面的几个数列 我们发现它们都有这样的特点:从第2项起,每一项与它前面一项的比都等于同一个常数.在数列(1)1中,这个常数2;在数列(2)中,这个常数是在数列(3)中,这个21常数是-3定义 如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前面一项的比都等于同一个常数,那么这个数列称为等比数列,这个常数称为公比,.用 表示q,2,1,3上述三个数列都是等比数列 数列(1)的公比数列(2)1的公比=数列(3)的公比特别地 数列3,3,3,的公比2=1.qqqq 0,1,(1);01,(2);0,1对于首项的等比数列来说 公比时 数列是递增的如数列公比时 数列是递减的 如数列公比时数列是摆动的,
15、如数列(3).aqqq0.1类似地可以讨论对首项时的各种情形a 显然公比=1时,数列是常数列.q二、等比数列的通项公式由等比数列的定义，可知：2321321431,.aa qaa qa qaa qa q一般地 11 11-5nna=a q 这就是等比数列的通项公式.它表明了 四个量之间的关系，只要知道其中四个量中任意三个量，就可以求出另一个量.,1na q n a,3,3 3,9,9 3,求等比数列 3的第9项.例1 解,911 5,aqn1将33代入式得：88913381 3.aa q2,3,486.1 已知等比数列中,naqa 例252433,nnn-1所以 3 则有-1=5,所以=6.:
16、将已知数代入式 11-5 得123486.n 已知等比数列的第1项与第3项的和是5,第2项与第4项和是10,求这个等比数列的前四项.例3,aq1设此等比数列的首项是公比是,按题意,得方程组:213115101aa qa qa q解这个方程组得 1.1=2,qa 所以这个等比数列的前四项是1,2,4,8.解解?某种机械手表投放市场以来,经过三次大降价,单价由原来的174元降到58元,求这种手表平均每次降价的百分率约为多少 精确到1%例4 144 1,:174,58,4,11 5:581741,nx1-xaaanx 设平均每次降价的百分率是,那么降价后的单价是降价前的倍 这样 将原单价与三次降价后
17、的单价依次排列,就构成一个等比数列,把它记为其中由等比数列的通项公式可得,整理后 得33111,10.693.33xx因此 1-0.69331%.x=答:这种手表平均每次的降价率平均约为31%.解三、等比中项定义如果三个数成等比数列,那么 称为 与 的a,b,cbac等比中项.根据等比数列的定义,得:2,.即 bcbacab则0=11-6bac ac,容易看出 一个等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.求8+4 3与8-4 3的等比中项.例5:由式 11-6 得216.8+4 38-4 3b 所以=4.b 解,1,:,.已知成等比数列 且求证也成等
18、比数列a,b,c,dqab bc cd 例6由已知,有:22,.bac cbd再由等比数列定义,有:,则bdadbcac222222而 abcdacadbcbdbbcbccbbccbc1,由于于是有:q 20.a+bc+db+c所以 是与的等比中项,即,也成等比数列.b+ca+bc+da+b b+c c+d证明四、等比数列前n项和的公式 123,:,设等比数列的前 项和为则nnnnanSSaaaa即211111nnSaa qa qaq:上式两边同乘以 得q231111nnqSa qa qa qa q由此得111-nnq Saa q1,:当时 可得q 1111 71 nnaqSq1.qq=Sna
19、n 这就是公比1的数项.当1时,得：等比列前n和的公式1 求等比数列9,3,1,，的前6项和.3例719,6:3aqn1将代入式 11-7 得66191336413131272713S解332,26,.1 已知等比数列中求 和aSqa例832,26,:aS1将代入式 11-7 得32 1261qq22,1,120,3,4,qqqqq 1根据题意 显然 所以:解得：22332 3182432,那么或aa 因此有两组解34.321833和qq=aa=解 某校办工厂1986年创产值4万元,如果平均年产值增加5%,那么从1986年起,大约在几年内可以使总产值达到22万元?例9,22.aqS1n 由题意
20、可知,这个学校从1986年起,平均每年的产值组成一个等比数列,并且41+5%=1.05,22,4 1-1.05于是得到 1-1.05n,1.275.n整理后 得：1.05lglgn两边取对数得 1.05=1.275,lg1.275所以=利用电子计算器可以求得4.9764.lg1.05nn 答:大约5年内可以使总产值达到22万元.解已知三个正数成等差数列,其和为15,若这三个数分别加上1,3,9,就成为等比数列,求此三数.例10.a d,a,a d设所求三个数为：-+依题意,有:215319-a daadaadad:由此得315,5.即aa5:把代入上式得a 264614,:8200.即dddd
21、22,10,1解得 不合题意 舍去dd 3,5,7.所以所求的三个正数是解111*,3,5,7,48161 求数列1+的前 项和.2n例11 可以看出,每一项的整数部分成等差数列,分数部分成等比数列,因此111352148211+2nnSn 1111 352148212nn 22112111211122111222nnnnnnn 解习 题思考题：课堂练习题：1 1.0,1;01;0;1叙述等比数列定义:并讨论当时 公比时情况.aqqqq2.写出等比中项,通项,前项和公式n11.2,3,486,.naqan等比数列中求项数75752.?22求和的等比中项 191653.,.8324nnnaaaS
22、q已知等比数列中求答 案答 案答 案答 案答 案*第四节 数学归纳法及简单应用举例 在数学中，有不少关于正整数的命题，证明这类命题的常用方法就是下面我们要研究的“数学归纳法”.一、数学归纳法1,ad 在第二节中 我们是这样推导首项为 公差为 的等差数列的通项公式的:11213214310,1,2,3,aadaadaadadaadad ,:由此得到 等差数列的通项公式是11.naand 这种由一系列有限的特殊事例得出一结论的推理方法，通常叫做归纳法.用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是应该注意，仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的，例如一个数列的通项公式是：22
23、55.nann容易验证12341,1,1,1aaaa2250,551,251,1,nn annannnnnkknn=k+n00 如果我们由此得出结论对于任何正整数都成立 那就是错误的 事实上为了避免这种错误我们对某些与正整数 有关的数学命题,常常用下面的方法来证明:先验证当 取第一个值 如命题成立 然后在当时 命题成立的假设下,证明当1时命题也成立(因为证明了这一点,就可以断定这个命题对于 取第一个值后面的所有正整数都成立),这种证明方法,叫做数学归纳法.1,1.naaandnZn+我们用数学归纳法来证明,如果是一个等差数列那么对一切 属于都成立例111(1),0,;n=aada1当1时,左边
24、是右边是等式是成立的(2)n=k 假设以时等式成立,就是:11kaakd,那么111111kkaadakddakd,1,.这就是说 当时 等式也成立nk(1),1,(2),1 12,2(2),2 13,4,5,6,(1)(2),.nnnnnnZ +根据时等式成立 再根据时等式也成立由于时等式成立再根据时 等式也成立 这样递推下去 就知道时等式都成立 因此 根据和可以断定 等式对任何 属于都成立证明,.从上面的例子看到 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤如下(1)1nnn 00 证明当 取第一个值例如或2等 时结论正确;0(2),1.n=k knnnknZZ+0+假设当且时结论正确 证
25、明时结论也正确在完成这两个步骤以后,就可以断定命题对于从开始的所有正整数都正确2.用数学归纳法证明:1+3+5+2-1nn例2n=(1)当1时,左边=1,右边=1等式成立;2.(2)假设当时等式成立,就是:1+3+5+2-1n=kkk,1,:那么当时 有nk2221111111+3+5+2-122 2kkkkkkk,1.(1)(2),.这就是说 当时等式也成立根据和可知等式对任何正整数 都成立nkn例题中证明的等式也可用第二节中等差数列的前 项和的公式验证:n21121+3+5+2-12nnnn证明11 3.这个等式还可以用图表示出来 222,55,(1)(2),(1),2,3,4,5,1:用
26、数学归纳法证明命题的这两个步骤 是缺一不可的 从上面计算数列其中各项的值可以看到 只完成步骤而缺少步骤就可能得出不正确的结论 因为单靠步骤我们无法递推下去 所以 对于 取时命题是否正确,我们无法判定,同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论,例如,假设n=k时,等式2+4+6+2n=n成立就是nannnn224621.成立kkk2113nn图 1+3+5+2-1571322246221121111.那么 kkkkkkk 2,1,(1),(2).nknknn=Z 这就是说 如果时等式成立 那么时等式也成立 但如果仅根据这一步就得出等式对于任何都成立的结论 那就错了,事实上,当
27、1时,上式左边=2,右边=1+1+1=3 左边右边 这也说明 如果缺少步骤这个基础 步骤就没有意义了二、数学归纳法应用举例下面举一些用数学归纳法证明命题的例子.233323.31 用数学归纳法证明等式:1214nnn例3证明221(1)当1时,左边=1,右边=121;4n=233323.31(2)假设当时等式成立,就是1214n=kkkk,那么323332311311214kkkk 222214412.1144kkkkk,1.,.nkn 这就是说 当时等式也成立根据(1)和(2)可知 对于任何正整数等式都成立231,.3331 1+2+3+=所以 原等式还可以写成21+2+3+1+2+3+nn
28、 nnn注意*.用数学归纳法证明:凸 边形3 的内角和等于-2nnn例4证明(1),n=n 当3时,从平面几何知道,三角形的内角和等于,又因-23-2即这个命题是成立的;12111211121111(2),2,1,(),2,kkkkkkkkkkkn=k kkkkA AA AA AkA AAA A AkA AAkA A AkAA A 假设当3 时命题成立 就是 边形的内角和等于我们来计算 边形 图11-5 的内角和 连接 得到 边形 和三角形因为 边形的内角和等于三角形 的内角和等于所以由图11-5知道+1边形 内角和:为212kk23114n33图 1+2+1+2+n的图形表示 ,3,1,.这
29、就是说 如果当时 命题成立 那么当时命题也成立 根据(1)和(2)可知原命题对任何3 都成立nk knkn n86412527115k图 凸 边形1A2A3AkA1kA2.nnxynxyZ2 用数学归纳法证明:能被整除例522(1),n=xyxyxyxy 当1时,能被整除即这个命题是成立的;证明2(2),:kkn=k kxyxyZ2 假设当时能被整除 那么2121222222222222222222.kkkkkkkkkkkxyx xy yx xx yx yy yxxyyxy22222222121222,.因为与都能被整除.所以也能被整除 这就是说能被整除kkkkkkkxyxyx+yxxyyxy
30、xyxyxy,.n=kn=kn nZ 就是说 如果当时,命题成立,那么当+1时,命题也成立,根据(1)和(2)可知原命题对任何都成立 顺次计算数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,前4项的值,由此猜测.例6,1+2+3+-1+-1+3+2+1的结果 并用数学归纳法加以证明.nannn解由图11-6容易看出:图11-6 例6猜想12342222,2,3,.1=1 1+2+1=1+2+3+2+1=1+2+3+4+3+2+1=4:从而猜测2.1+2+3+-1+-1+3+2+1=nannnn:用数学归纳法证明这个结论(1)当1时,左边=1,右边=1,等式成立;n=2212
31、,1,.kk(2)假设当时等式成立.即那么当时1+2+1+3+2+1=+1+2+1+1kn=kaknkakkkakkkkk等式也成立.根据(1)和(2),等式对任何正整数 都成立.n注意 我们以上是采用归纳-猜测-论证的方法,寻找解决问题的途径.根据数列前几项的规律提出某一个命题,通过数学归纳法来证明其正确与否,这是一种新的解决问题的方法.习 题思考题：课堂练习题：1.什么叫归纳法,数学归纳法?2.1n=knk归纳基础是什么?成立与成立有何关系?10,11,2,0.faf nbf nnab已知 (1)3,4,5?;(2)ffff n 求推出 用数学归纳法证明之.答 案答 案答 案答 案 部 分
32、思考题解答：1.,;表示数列表示含的单元素集表示数列中第个数表示数字数列是以正整数为自变量的函数,数列的数允许重复,数列的图象是数轴上一群弧立的点.nnaaaanaa返 回思考题解答：2.已知数列通项写出数列和已知数列写出通项.返 回思考题解答：3.,;不是所有数列都有通项公式,若数列第项与项数 之间不能用解析式表达 就没有通项公式无穷数列不一定有界有界数列不一定是有穷数列.nnnana返 回课堂练习题解答：51501231011013571.1;,.100100246aaaa 返 回课堂练习题解答：231112.:1,1,1,101010数列各项变为11.10nna 返 回思考题解答：1.0
33、,0,.0.ddd定义略等差数列递增.递减常数列返 回思考题解答：111 2.:;:1,21:,22:,中项公式通项公式前 项和公式应理解公式中各字母表示的量常用此形式表示三量成等差数列.nnnacbaandnn aan nSnadad a ad返 回课堂练习题解答：15110.nan1.这两数列都是等差数列,公差分别为10和-5,211521 110215.a返 回课堂练习题解答：12.1,naand 401514.n 代入100.n返 回75757223.:.22A等差中项课堂练习题解答：返 回思考题解答：11.0,1.:01,.0,1.aqqqq 定义略.当首数时 增数列递减 数列摆动.
34、常数列返 回思考题解答：11111 2.,0,1 10,1,11 .等比中项:通项或若时前项和nnnnnnnGababaa qaqaa qSSqqSnaqqn 返 回课堂练习题解答：111.:nnaa q代入1154862 3,33nn6n=.返 回课堂练习题解答：275751,2222.G2.2G 等比中项:返 回课堂练习题解答：19165833.1124nnqaa qSqq由2.3q返 回思考题解答：1.(1)(2),1.12.由一系列有限的特殊事例得出一结论的推理方法叫归纳法.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题.共分两步完成:证明=1 或2成立.这是归纳基础.假设成立证明也成立由和命题对任意都成立nn=knkN返 回思考题解答：2.,12.1nnkn=k第一步是归纳基础 证明或 成立在证明的表达式中没法凑出的式子加以利用,即得到归纳递推的证明.返 回课堂练习题解答：222233333344112212111 (1),2,2;3;4;5,.由已知得:各式分子形-如推出-nnnabbbabbbf nf naffaaabaaaffaaaa b aabababf na babababaabb 111(2)1,10,.11,1.kkkkkkabnfnkf kaabbf kabnkf kaaab时等式成立 假设时当时 111,.nnnabnNf naab 时成立返 回
