1、数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第2课时 等差数列前n项和习题课 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决 一些问题 2能应用等差数列解决一些实际问题 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 教材是怎样
2、推导等差数列an的前n项和的？试写出推导 过程 提示 等差数列an的前n项和Sn可以采用倒序相加法推 导， 具体过程如下： Sna1a2a3an， 又Snanan1an2a1， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在等差数列中有：a1ana2an1ana1. 2Sn(a1an)n， Snna 1an 2 . 由于ana1(n1)d代入，得 Snna1nn1 2 d. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列前n项和的主要性质 (1)Sn，S2n
3、Sn，S3nS2n，成等差数列； (2)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， 当项数为偶数2n时，S偶S奇nd，S 奇 S偶 an an1； 当项数为奇数2n1时，S奇S偶an， S奇 S偶 n n1 .S2n1 (2n1)an. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 对等差数列前n项和性质的理解 (1)等差数列的前n项和是所有奇数项与所有偶数项的和， 我们可以根据等差数列的性质，得出结论 (2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分 析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的 数数 学
4、学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1在等差数列an中，S1590，则a8等于( ) A3 B4 C6 D12 答案： C 解析： S1515a 1a15 2 15a890，a86. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2数列an的前n项和Sn2n2n(nN*)，则数列an为 ( ) A首项为1，公差为2的等差数列 B首项为3，公差为2的等差数列 C首项为3，公差为4的等差数列 D首项为5，公差为3的等差数列 解析： 当n1时，a1S121213，当n2时
5、，an SnSn14n1.又a14113.公差da2a142 134.an是首项为3，公差为4的等差数列，故选C. 答案： C 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5 _. 解析： S2S6，S6S2a3a4a5a60. 又a3a6a4a5， 2(a4a5)0，a5a41. 答案： 1 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4在等差数列an中，前m项的和为30，前2m项的和为 100，试求它的前3
6、m项的和 解析： 方法一：利用公式Snna1nn1 2 d. 由已知有 Smma1mm1 2 d30， S2m2ma12m2m1 2 d100， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解得 a110m20 m2 ， d40 m2， 所以S3m3ma13m3m1 2 d210. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：利用公式 Snna 1an 2 ，以及等差数列的性质 p qmnapaqaman. 由已知有 ma1am60， ma1a2m100，
7、 3ma1a3m2S3m， 2a2mama3m， 由可得 S3m210. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法三：数列 Sm，S2mSm，S3mS2m是等差数列， 2(S2mSm)Sm(S3mS2m)， 2(10030)30S3m100，S3m210. 方法四：利用 Snan2bn. 由已知有 Smam2bm30， S2m4am22bm100， 解得 a20 m2， b10 m . 所以 S3m9am23bm210. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评
8、知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列前n项和的性质应用 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶 数项的和与奇数项的和的比为3227，求该数列的公差d. 思路点拨 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等 差数列前n项和的性质求解 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d， 由题意可得 12a11211 2 d354， 6a1d65 2 2d 6a165 2
9、2d 32 27， 解得d5. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：利用等差数列前n项和的性质求解 由已知条件，得 S奇S偶354， S偶S奇3227， 解得 S偶192， S奇162. 又S偶S奇6d，所以d192162 6 5. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在列出方程组后，也可以不求出S奇和S偶的 值，而是用比例性质求解由S 偶 S奇 32 27，得 S偶S奇 S偶S奇 3227 3227 59 5 又S偶S奇6d，所以354
10、6d 59 5 ，解得d5. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和 分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首 项、公差、项数 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：设此数列的首项为a1，公差为d，项数 为2k(kN*) 根据题意得 S奇24， S偶30， a2ka121 2 ， 即 1 2ka1a2k124， 1 2ka2a2k30， 2k1d21 2 ， 数数 学
11、学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 即 ka1k1d24， ka1kd30， 2k1d21 2 ， 解得a13 2，d 3 2，k4， 所以首项为3 2，公差为 3 2，项数为8. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k N*) 由题目知 S奇24， S偶30， a2ka121 2 ， 所以 S偶S奇6， a2ka121 2 ， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探
12、究 课堂互动 高效测评 知能提升 所以 kd6， 2k1d21 2 ， 解得 k4， d3 2， 代入S奇k 2(a1a2k1)24，可得a1 3 2. 所以首项为3 2，公差为 3 2，项数为8. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列的性质在前n项和中的应用 已知两个等差数列an，bn的前n项和分别为 Sn，Tn，且Sn Tn 7n1 4n27(nN *)，求a11 b11. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 思路点拨 方法一： 设Sn
13、an2bn Tnpn2qn 结合 已知 列方程组 用q，n表示 Sn，Tn 根据公式 anSnSn1 an bn的值 方法二： an bn a1a2n1 2 b1b2n1 2 分子、分母 同乘以n an bn S2n1 T2n1 已知an bn的值 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 方法一：设Snkn(7n1)，Tnkn(4n27)4 分 则a11S11S1011k(7111)10k(7101) 858k710k148k， 7分 b11T11T1011k(41127)10k(41027) 781k670k11
14、1k， 10分 a11 b11 4 3. 12分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：a11 b11 2a11 2b11 a1a21 b1b21 4分 21a 1a21 21b1b21 21a1a21 2 21b1b21 2 8分 S21 T21 7211 42127 148 111 4 3. 12分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)等差数列前n项和Sn na1an 2 与等差数 列性质“若mnpq，则amanapaq”经常结合起
15、来使 用，使这类问题的解决更具灵活性 (2)数列an，bn为等差数列，Sn，Tn分别是其前n项和， 则有结论am bm S2m1 T2m1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和 Tn，若Sn Tn 2n 3n1，求 a2a5a17a22 b8b10b12b16. 解析： 由等差数列的性质得 a2a5a17a22 b8b10b12b16 2a122a11 2b122b11 a11a12 b11b12 a1a22 b1b22 22a 1a22 2 22b 1b22 2 S2
16、2 T22 222 3221 44 67. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知Sn求an的问题 已知数列an的前n项和为Sn，求数列an的通项 公式an. (1)Sn3n26n； (2)Sn3n26n1. 思路点拨 求a1 n2时求an n1时验证an 得通项公式an 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)当 n1 时，a1S13， 当 n2 时，anSnSn1(3n26n)3(n1)26(n 1)96n，a13 符合此式 an9
17、6n(nN*) (2)当 n1 时，a1S14. 当 n2 时，anSnSn1 (3n26n1)3(n1)26(n1)1 96n，a14 不符合此式 故 an 4 n1， 96n n2. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)数列an的前n项和Sna1a2an与 an之间具有如下关系： an S1 n1， SnSn1 n2. (2)已知数列的前n项和Sn求an，要分三步进行： 第一步：令n1求a1； 第二步：令n2，求anSnSn1； 第三步：验证a1与an的关系，来确定an. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章
18、数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知数列an的前n项和Sn2n2n1求数列的通项公 式an. 解析： 当 n2 时，anSnSn14n3， 当 n1 时，a1S12413. 则 an 2 n1， 4n3 n2. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知一个数列的前n项和为Snn2n1，求它的通项公 式，问它是等差数列吗？ 【错解】 anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1) 12n，又anan12n2(n1)2，即数列每一项与前一项 的差是同一个常数， an是等差数列 【错因】
19、 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需 分类讨论，即分n2与n1两种情况 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【正解】 当 n2 时，anSnSn1 (n2n1)(n1)2(n1)12n； 当 n1 时，a1S11. an 1， n1， 2n， n2. a2a14132， 数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数， an不是等差数列 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
