1、 - 1 - 高四第一学期第 2 次考试数学试题 一、选择题 1 已知函数 ? ? ? ? ? ?22 1 3 0xf x x e a x a x? ? ? ? ?为增 函数，则 a 的取值范围是（ ） .A ?2,e? ? .B 3 ,2e? ? .C ? ,2e? ? .D 3, 2e? ? 2 定义12 nnp p p? ? ? 为 n 个正数 12, , , np p p 的“均倒数”，若已知数列 ?na 的前 n 项的“均倒数”为 121n? ，又 14nn ab ?，则1 2 2 3 2 0 1 5 2 0 1 61 1 1b b b b b b? ? ? ?（ ） A. 2013
2、2014 B. 20142015 C. 20152016 D. 12015 3 若关于 x 方程 ? ?221 2 0x m x m? ? ? ? ?的一个实根小于 -1，另一个实根大于 1，则实数 m的取值范围是（ ） A. ? ?2, 2? B. ? ?2,0? C. ? ?2,1? D. ? ?0,1 4 直角梯形 ABCD ，满足 , , 2 2 2A B A D C D A D A B A D C D? ? ? ? ?,现将其沿 AC 折叠成三棱锥 D ABC? ，当三棱锥 D ABC? 体积取最大值时其表面积为 A. ? ?1 2 3 22 ? B. ? ?1 422 ? C. ?
3、 ?1 522 ? D. ? ?1 3 3 22 ? 5 已知定义域为 R的函数 f （ x）的 导函数为 f（ x），且满足 f（ x） 2f （ x） 4，若 f （ 0） = 1，则不等式 f（ x） +2 e2x的解集为（ ） A. （ 0， +） B. （ 1， +） C. （， 0） D. （， 1） 6 设函数 ?fx在 R 上存在导数 ?fx? ， xR? ，有 ? ? ? ? 2f x f x x? ? ?，在 ? ?0,? 上? ?f x x? ? ，若 ? ? ? ? 22 2 2 0f m f m m m? ? ? ? ? ? ?，则实数 m 的取值范围为（ ） - 2
4、 - A. ? ?1,1? B. ? ?1,? C. ? ?2,? D. ? ? ?, 2 2,? ? ? ? 7 已知三棱锥 A BCD? 的四个顶点 , , ,ABCD 都在球 O 的表面上， ,BC CD AC?平面BCD ，且 2 2 , 2A C B C C D? ? ?，则球 O 的表面积为 （ ） A. 4? B. 8? C. 16? D. 22? 8 已知 ,AB是球 O 的球面上两点， 60AOB? ? ? ， C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC? 体积的最大值为 183 ，则球 O 的体积为（ ） A. 81? B. 128? C. 144? D. 288? 9 已知
5、函数 ? ? 2f x x bx c? ? ?的两个零点 12,xx满足 123xx?，集合 ? ? ?0A m f m?，则（ ） A. ? m A，都有 f(m 3)0 B. ? m A，都有 f(m 3)0 C. ? m0 A，使得 f(m0 3) 0 D. ? m0 A，使得 f(m0 3)0 10 已知 ,ab是实数，关于 x 的方程 2 1x ax b x? ? ?有 4 个不同的实数根，则 ab? 的取值范围为（ ） A. ? ?2,? B. ? ?2,2? C. ? ?2,6 D. ? ?,2? 11 已知 ? ? 22lo g , 0 2 ,8 1 4 , 2 ,xxfxx
6、x x? ? ?若存在互不相同的四个实数 0 a b c d满足 f（ a） f（ b） f（ c） f（ d），则 ab c 2d的取值范围是（） A. （ 13 2? ， 13 2? ） B. （ 13 2? ， 15） C. 13 2? ， 15 D. （ 13 2? ， 15） 12 如图，在 OMN 中， A， B 分别是 OM， ON 的中点，若 OP xOA yOB?（ ,xy R? ），且点 P落在四边形 ABNM内（含边界），则 12yxy?的取值范围是（ ） - 3 - A. 13 ， 23 B. 13 ， 34 C. 14 ， 34 D. 14 ， 23 二、填空题 13
7、 P 为圆 ? ?2 2: 1 5C x y? ? ?上任意一点，异于点 ? ?2,3A 的定点 B 满足 PBPA 为常数，则点B 的坐标为 _ 14 已知函数 ? ?23 , 1 2 , 1xln x e xfx x ax x? ? ? ? ? ?有且仅有 2个零点，则 a 的范围是 _ 15 在三棱锥 P ABC? 中， AB BC? ， 6AB? ， 23BC? ， O 为 AC 的中点，过 C作 BO 的垂线，交 BO 、 AB 分别于 R 、 D ，若 DPR CPR? ? ，则三棱锥 P ABC? 体积的 最大值为 _ 16 已知 12,FF为双曲线 ? ?22: 1 0 , 0
8、xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点，过 1F 的直线 l 与双曲线 C的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交 ,QP两点，且 2PQ PF a?， 双曲线 C 的渐近线方程为 _ 三、解答题 - 4 - 17 已知函数 ? ? ? ? ? ? 22 4 2xf x x e a x? ? ? ?（ aR? , e 是自然对数的底数） . （ 1）当 1a? 时，求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?0, 0Pf 处的切线方程； （ 2）当 0x? 时，不等式 ? ? 44f x a?恒成立，求实数 a 的取值范围 . 18 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心为坐标
9、原点，左焦点为 F1（ 1， 0），离心率e= 22 （ 1）求 椭圆 G 的标准方程； （ 2）已知直线 l1： y=kx+m1与椭圆 G 交于 A， B 两点，直线 l2： y=kx+m2（ m1 m2）与椭圆 G 交于 C， D 两点，且 |AB|=|CD|， 如图所示 证明： m1+m2=0； 求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值 19 已知函数 ? ? ? ?323 1 3 12f x x a x a x a R? ? ? ? ? ?， （ I） 讨论函数 ?fx的单调区间； （ II）当 3a? 时，若函数 ?fx在区间 ? ?,2m 上的最大值为 3，求 m 的取值范围 20
10、 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，满足 ? ?112 , 2 2 , 1nna a S n? ? ? ?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若数列 ?nb 满足： ? ? 31 lo gnn n nb a a? ? ? ，求数列 ?nb 的前 2n 项和 2nS . - 5 - 参考答案 ACDDA BCDAA 11 D 12 C 13 33,22?14 22a? 或 3a? 15 33 16 512yx? 17 （ 1） 2yx? （ 2） 12a? （）当 1a? 时，有 ? ? ? ?22 4 ) 2xf x x e x? ? ? ?（ ， 则 ? ? ? ?
11、2 2 ) 2 4 0 2 4 2xf x x e x f? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 又因为 ? ?0 4 4 0f ? ? ? ?， 曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?0, 0Pf 处的切线方程为 ? ?0 2 0yx? ? ? ，即 2yx? （）因为 ? ? ? ? 2 2 ) 2 2xf x x e a x? ? ? ?（ ，令 ? ? ? ? ? ? 2 2 ) 2 2xg x f x x e a x? ? ? ? ?（ 有 ? ? 2 2xg x x e a? ? ?（ 0x? ）且函数 ? ?y g x? 在 ? ?0,x? ? 上单调递增 当 20a? 时 ，
12、 有 ? ?0gx? ， 此 时 函 数 ? ?y f x? 在 ? ?0,x? ? 上 单 调 递 增 ， 则? ? ? ? 0 4 2f x f a? ? ? （）若 4 2 0a? 即 12a? 时，有函数 ? ?y f x? 在 ? ?0,x? ? 上单调递增， 则 ? ? ? ?m in 0 4 4f x f a? ? ?恒成立； （ ）若 4 2 0a? 即 10 2a? 时，则在 ? ?0,x? ? 存在 ? ?00fx? ， 此时函数 ? ?y f x? 在 ? ?00,xx? 上单调递减， ? ?0,xx? ? 上单调递增且 ? ?0 4 4fa?， 所以不等式不可能恒成立，
13、故不符 合题意； - 6 - 当 20a? 时，有 ? ? 0 2 0ga?，则在 ? ?0,x? ? 存在 ? ?10gx? ，此时 ? ?10,xx? 上单调递减， ? ?1,xx? ? 上单调递增所以函数 ? ?y f x? 在 ? ?0,x? ? 上先减后增 又 ? ? 0 2 4 0fa? ? ? ?，则函数 ? ?y f x? 在 ? ?0,x? ? 上先减后增且 ? ?0 4 4fa? 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意； 综上所述，实数 a 的取值范围为 12a? 18 （ 1） 2 2 12x y? （ 2）见解析 22 （ 1）设椭圆 G的方程为 （ a b 0） 左焦点
14、为 F1（ 1， 0），离心率 e= c=1， a= ， b2=a2 c2=1 椭圆 G 的标准方程为： （ 2）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（ x3， y3）， D（ x4， y4） 证明：由 消去 y得（ 1+2k2） x2+4km1x+2m12 2=0 ， x1+x2= ， x1x2= ； |AB|= =2 ； 同理 |CD|=2 ， 由 |AB|=|CD|得 2 =2 ， m1 m2， m1+m2=0 - 7 - 四边形 ABCD 是平行 四边形，设 AB， CD 间的距离 d= m1+m2=0， s=|AB| d=2 = . 所以当 2k2+1=2m12时，
15、四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 19（ ）当 1a? 时， ()fx在 ? ? ? ?,1 ,a? ? ?和 内单调递增， ()fx在 ? ?1,a? 内单调递减；当 1a? 时， ()fx在 ? ?,? 单调递增；当 1a? 时， ()fx在 ? ? ? ?, 1,a? ? ?和内单调递增， ()fx在 ? ?,1a? 内单调递减；（ ）即 m 的取 值范围是 3?（ ， （ I） ? ? ? ? ? ?2( ) = 3 + 3 1 3 3 1f x x a x a x x a? ? ? ? ? 1分 令 ? ? 0fx? ? 得 121,x x a? ? 2分 （ i）当 1
16、a?，即 1a? 时， ? ?2( )= 3 1 0f x x? ?， ()fx在 ? ?,? 单调递增 3分 （ ii）当 1a?，即 1a? 时， 当 21x x x x或 时 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ? ? ? ?21,xx? ?和 内单调递增； 当 21x x x? 时 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ? ?21,xx 内单调递减 4分 （ iii）当 1a?，即 1a? 时， 当 12x x x x或 时 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ? ? ? ?12,xx? ?和 内单调递增； 当 12x x x? 时 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ? ?12
17、,xx 内单调递减 5分 综上，当 1a? 时， ()fx在 ? ? ? ?12,xx? ?和 内单调递增， ()fx在 ? ?12,xx 内单调递减； 当 1a? 时， ()fx在 ? ?,? 单调递增； - 8 - 当 1a? 时， ()fx在 ? ? ? ?21,xx? ?和 内单调递增， ()fx在 ? ?21,xx 内单调递减（其中 121,x x a? ? ） 6分 （ II ）当 3a? 时， ? ? ? ?323 9 1 , , 2f x x x x x m? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?23 6 9 3 3 1f x x x x x? ? ? ? ? ? 令 ?
18、? 0fx? ? ，得 121, 3xx? ? 7分 将 x ， ?fx? ， ?fx变化情况列表如 下： x 1 ?fx? ? 0 ? 0 ? ?fx 极大 极小 8 分 由此表可得 ? ? ? ?3 2 8f x f? ? ?极 大， ? ? ? ?14f x f? ? ?极 小 9分 又 ? ?2 3 28f ? ， 10 分 故区间 ? ?,2m 内必须含有 ，即 m 的取值范围是 3?（ ， 12 分 20 （ 1） 123nna ? ；（ 2） 22 31nnSn? ? ?. （ 1） 1 22nnaS? ? ?当 2n? 时， 122nnaS? -得： 1 2n n na a a? ? 1 3nnaa?，又 1 2a? ，由得 212 2 6aa? ? ? 213aa? ， - 9 - ? ?na? 是以 2为首项 3为公比的等比数列 123nna ? ? ? 。 （ 2） ? ? ? ?11331 l o g 2 3 1 l o g 2 3nn nnn n nb a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 332 3 1 l o g 2 1 l o g 3nn n? ? ? ? ? ? ?
