1、 - 1 - 2017 2018学年度第一学期第一次月考 高三数学理科试题 注：卷面分值 150分； 时间： 120分钟 一、 选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1已知集合 ? ?2 , 0xM y y x? ? ?， ? ?)2lg( 2xxyxN ? ，则 MN为（ ） A. ? ?2,1 B.? ?,1 C. ? ?,2 D. ? ?,1 2若复数 z满足 iz= 2-4i，则 z在复平面内对应的点的坐标是（ ） A (2， 4) B（ 2， -4） C（ -4， -2） D（ -4， 2） 3已
2、知命题 p： ? x R， cosx 1，则 p是（ ） A ? x R， cosx 1 B ? x R， cosx 1 C ? x R， cosx 1 D ? x R， cosx 1 4.已知 ,ab R? ，则“ 11ab? ? ? ”是“ log 1ab? ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5. 已知向量 31()22? ，a， ( 3 1)?，b ，则 ，ab的夹角为（ ） A 4B.3C.2D.23 6 已知数列 nb 是等比数列， 9b 是 1和 3的等差中项，则 216bb =（ ） A 16 B 8 C 2 D 4 7.下列
3、函数中，同时具有性质： (1)图象过点 (0,1)； (2)在区间 (0， )上是减函数； (3)是偶函数 .这样的函数是 ( ) A. y x3 1 B. y log2(|x| 2) C. y (12)|x| D. y 2|x| 8曲线 y= 11xx? 在点（ 0，一 1）处的切线 与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A 41 B 12 C 43 D 18 - 2 - 9 函数 y=cos（ 2x+）（）的图象向右平移 个单位后，与函数的图象重合，则的值为（ ） A B C D 10.已知 数列 an，若点 n， an（ n N*）在直线 y 2=k（ x 5）上，则数列 an的前 9
4、项和S9等于（ ） A 16 B 18 C 20 D 22 11在 ABC中， D为三角形所在平面内一点，且 ，则 =（ ） A B C D 12函数 ( ) | |f x x x? 若存在 1, )x? ? ，使得 ( 2 ) 0f x k k? ? ?，则 k的取值范围是 A.(2, )? B.(1, )? C. 1( , )2? D. 1( , )4?二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 10 1( 2 )1 x dxx ?_. 14已知 ,ab均为单位向量，且它们的夹角为 60 ，当 | | ( )a b R?取最小值时， ? _. 15 点 A 从 (10
5、), 出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点 B ，若点 B 的坐标是 34()55,?,记AOB ?,则 sin2? = 16已知 函数 2( ) sin21xf x x? ，则 ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) (1 ) ( 2 )f f f f f? ? ? ? ? ? ? 三 解答题 (解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.（本小题满分 12 分） - 3 - 已知等差数列 na的公差0d?，它的前 n项和为nS，若5 70?，且2 7 22,a a a成等比数列， （ ）求数列 的通项公式； （ ）若数列 1nS的前 n项和为nT，求证：1368nT? 18.（本小
6、题满分 12分） 已知 （ I） 求 f（ x）的最大值及取到最大值时相应的 x的集合； （ II）若函数 ( ) 0 , 2y f x m ? ? ? 在 区 间上恰好有两个零点，求实数 m 的取值范围 19.（本小题满分 12分） 已知 ABC? 的内角 CBA , 的对边分别为 cba, ， ( , 2 )sin ( )am c bAB?， (sin2 ,1)nC? ，且满足 0mn? . （ I） 求 A? 的大小； （ II） 若 1a? ，求 ABC? 周长的取值范围 . 20. （本小题满分 12 分） 设等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 2 2( )nna
7、S n N ? ? ? ?. （） 求数列 ?na 的通项公式； （） 在 na 与 1na? 之间插入 n 个数，使这 2n? 个数组成公差为 nd 的等差数列，设 数列 1nd? ? ?的前 n 项和 nT ，证明： 1516nT?. 21. （本小题满分 12 分） - 4 - 已知函数? ? ? ?0? acxbaxxf的图象在点? ?11 f,处的切线方程为1?xy. （）用a表示出b，c； （）若? ? xlnxf ?在? ?,1上恒成立，求a的取值范围 请考生在第 22、 23、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22【选修 4-4:坐标系与参数方程】（本小题满分
8、10 分） 在直角坐标系 xOy中，圆 C1的参数方程为 （ 是参数），圆 C2的参数 方程为 （ 是参数），以 O为极点，戈轴正半轴为极轴建立极坐标系 (I)求圆 C1，圆 C2的极坐标方程； ( )射线 ? =? ( 0 ? 2a+1恒成立，求实数 a的取值范围 - 5 - 2017 2018学年度第一学期理科数学 第一次月考试题答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A B D C A A B B D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13 ln21? 14
9、 21? 15 2425?16 5 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.已知等差数列 na的公差0d?，它的前 n 项和为nS，若5 70?，且2 7 22,a a a成等比数列， （ ）求数列 n的通项公式； （ ）若数列 1S的前 n项和为nT，求证：68nT? 解： ( )由已知，5 3 35 , 14S a a? ? ?， ? 2分 又2 7 22,a a a成等比数列， 由21 1 1( 6 ) ( )( 21 )d a d a d? ? ? ?且0d?可 解 得1 32ad?， ? 4分 16, 4? ? ?，故数列 na的通项
10、公式为4 2, *na n n N? ? ?； ? 6分 ( )证明：由 ( )，21() 2 4 ,2 nn n aS n n? ? ? 7分 21 1 1 1 1()2 4 4 2nS n n n n? ? ?， ? 9分 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1(1 ) ( )4 3 2 4 2 8 4 1 2nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?显然，T? ? 12分 - 6 - 18.（本小题满分 12分） 已知 （ I）求 f（ x）的最大值及取到最大值时相应的 x的集合； - （ II）若函数 ( ) 0 , 2y f x m ? ? ? 在 区 间上恰
11、好有两个零点，求实数 m 的取值范围 （ I） 3)62s in (2)( ? ?xxf ?3 分 最大值为 32? ， x 集合为? ? Zkkxx ,3 ?6 分 （ II） ? 65,662 ?x，若有两个零点，则 - ? ?32,31 ?m ? 10 分 12分 19. 已知 ABC? 的内角 CBA, 的对边分别为 cba, ， ( , 2 )sin ( )am c bAB?，(sin2 ,1)nC? ，且满足 0mn? . （ I） 求 A? 的大小； （ II） 若 1a? ，求 ABC? 周长的取值范围 . 解： （ I） 0mn? ， s in 2 2 0s in ( )a
12、C c bAB ? ? ? ?， ? 2分 2 s in c o s 2 0s ina C C c bC ? ? ? ?，即 2 cos 2 0a C c b? ? ?， ? 3分 由余弦定理得：2 2 22 2 02a b ca c bab? ? ? ?， ? 4分 整理得 2 2 2+b c a bc?， 1cos 2A? ， 0 A ?， =3A? . ? 6分 （ II） 1cos 2A? ， 3sin 2A? ， ? 7分 - 7 - 由正弦定理得：1 2 3sin sin sin 332b c aB C A? ? ? ?， ? 8分 ABC? 的周长 2 3 2 31 ( si n
13、 si n ) 1 si n si n ( ) 3 3 32 si n ( ) 16l a b c B C B BB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 20 3B ? ， 56 6 6B? ? ? ? ? , 1 sin( ) 126B ? ? ?, ? 11分 因此 23l? ，故 ABC? 周长的取值范围为 (2,3 . ? 12 分 20. 设等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 2 2( )nna S n N ? ? ? ?. （ ） 求数列 ?na 的通项公式； （ ） 在 na 与 1na? 之间插入 n 个数 ，使这 2n? 个数组成公差为 n
14、d 的等差数列，设数列 1nd? ? ?的前 n 项和 nT ，证明： 1516nT?. 解 （ ） 由 1 2 2(nna S n? ? ? ?N*） 得 12 2(nna S n? ? ?N*， 2n? ）， 两式相减得： 1 2n n na a a? ? ， 即 1 3(nna a n? ?N*， 2n? ）， ? 3分 na 是等比数列，所以 213aa? ， ? 4分 又 212 2,aa? 则 112 2 3aa? ， 1 2a? ， ? 5分 123nna ? . ? 6分 （ ） 由（ 1）知 1 23nna? ? ， 123nna ? 1 ( 1)n n na a n d?
15、? ? ? ? 7分 1431nnd n? ? ， ? 8分 令1 2 31 1 1nT d d d? ? ? ? 1nd?，则0 1 22 3 44 3 4 3 4 3nT ? ? ? ? ?+?1143nn ? - 8 - ? 21 34 334 231 nT ? 1 14 3 4 3nn? ? ? 9分 -得0 1 22 2 1 13 4 3 4 3 4 3nT ? ? ? ?1114 3 4 3nnn? ? 10分 111(1 )1 1 1 5 2 53312 4 4 3 8 8 313nnnnn? ? ? ? ? ? ?11 5 2 5 1 51 6 1 6 3 1 6n nnT ?
16、 ? ? ?. ? 12 分 21.已知函数? ? ? ?0? acxbaxxf的图象在点? ?11 f,处的切线方程为1?xy. （ ） 用a表示出b，c； （ ） 若? ? xlnxf ?在? ?,上恒成立，求a的取值范围 解 ： ( )2( ) bf x a x?， ? 1分 由题设，则有(1) 0(1) 1f a b cf a b? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 3分 解得? ? ? 121ac ab. ? ? 4分 ( )由 ( )知，1( ) 1 2af x ax ax? ? ?， 令1( ) ( ) ln 1 2 lnag x f x x ax a xx? ? ? ? ? ? ?，? ?1,x? ?则 (1) 0g ?， ? ? 5分 22 2 21( 1 ) ( )1 1 ( 1 )( )aa x xa ax x a ag x a x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 7分 当 12oa?，1 1aa? ?- 9 - 若 11 ax a?，则( ) 0gx?，()是减函数， 所以，当? ? aa,x 11时，有? ? ? ? 01g ?xg， 即( ) lnf x?， 故( ) lnf x x?在? ?1,?上不能恒成立 ? ? ? 9分 当12a?时，有1 1aa? ?若1?x，则? ? 0?xg，?x在?
