1、 数学(理科)试题答案 第 1 页（共 3 页） 合肥市2020 届高三调研性检测 数学试题(理科)参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.8 14. 2 2 15.0a 或 1 2 a 16.1 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 解：() 31 cos2sin2cos2 22 f xxxx 31 sin2cos2sin 2 226 xxx . 函数
2、 f x的最小正周期T. 5分 ()由222 262 kxk (kZ)，解得 36 kxk ， 函数 f x的单调递增区间为 36 kk ，(kZ). 0 x， 所求单调递增区间为0 6 ，和 2 3 ，. 10分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：()设等差数列 n a的公差为d，则 52 12 3124aadd， 2 244 n aandn， 1 44 nn bbn ， 121321nnn bbbbbbbb (1)n 44 144 24414n 44 12141nn 2 22nn(1)n ， 1 4.b 也适合 44 n an， 2 22 n bnn * ()nN
3、. 5分 () 2 1111 11 212122 n bn nnnnn ， 123 111111111111 11 222312121 n n bbbbnnnn ， 即 8 2117 n n ，解得16n ， 满足条件的最小正整数n的值为17. 12分 19.(本小题满分12分) 19.(本小题满分12分) 解：()0.02 450.16 550.22 650.30 750.20 850.10 9573.00 x . 5分 ()由题意知，成绩在 70 80， ， 80 90， ， 90 100， 的学生分别选取了3人，2人，1人. 6人平均分成3组分配到3个社区，共有 22 64 90C C
4、种方法. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D B C D D B B C A 数学(理科)试题答案 第 2 页（共 3 页） 同一分数段的学生分配到不同社区的方法有 32 33 36A A 种， “同一分数段的学生分配到不同社区”的概率 362 905 P .12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解:()连接 1 AC交 1 AC于M，连结OM. 棱柱 111 ABCA BC知，四边形 11 ACC A为平行四边形，M为 1 AC的中点. 又O为AB的中点， 1/ BCOM. 1 ,OMACO平面 11 BCACO平面，
5、1/ BC平面 1 ACO. 5分 ()ABC是等边三角形，且 1 ABAA， 1 60A AB ， 1 AOABCOAB，. 又平面 11 AA B B 平面ABC， 1 AO 平面ABC， 1 AOCO. 以O为坐标原点，直线 1 OCOAOA，所在方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设 1 2ACABBCAA，则C(3，0，0)，A(0，1，0)，B(0，-1，0)， 1 A(0，0，3). 设平面 1 A AC的法向量为 1111 nxyz ， ，则 111 nACnAA ， 1 11 0 0 nAC nAA . AC (3， -1， 0)， 1 AA (0， -1，3)， 11 11
6、 30 30 xy yz . 令 1 3y ，得 11 1 1xz，即 1 1 3 1n ，. 设平面 1 ABC的法向量为 2222 nxyz ， ， 则 221 nBCnBA ， 2 21 0 0 nBC nBA ， BC (3， 1， 0)， 1 BA (0， 1，3)， 22 22 30 30 xy yz . 令 2 3y ，得 22 11xz，即 2 13 1n ，. 12 12 12 1 cos 5 n n n n nn ，. 由题意可知，二面角 1 AACB为锐角，其余弦值为1 5 . 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：()由离心率为 3 2 得
7、， 3 2 c a .由 12 A A B的面积为2得，2ab . 222 abc，联立解得，21ab， 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 5分 ()记点MN，的坐标分别为 1122 M xyN xy，. 注意到 1 2 0A ，直线 1 PA的方程为2 6 m yx，与椭圆 2 2 1 4 x y方程联立并整理得 2222 944360mxm xm，由 2 1 2 4 2 9 m x m 得 2 1 2 182 9 m x m ， 数学(理科)试题答案 第 3 页（共 3 页） 代入直线 1 PA的方程得 1 2 6 9 m y m ，即 2 22 1826 99 mm M mm ，
8、. 同理可得 2 22 222 11 mm N mm ，. 因为Q(1，0)，所以 2 22 936 99 mm QM mm ， 2 22 32 11 mm QN mm ， 由 22 2222 93236 9119 mmmm mmmm 知，MQN， ，三点共线. 12分 22.(本小题满分12分) 22.(本小题满分12分) 解：()曲线lnyx在点 2,2 e处的切线方程为 2 2 1 2yxe e ，即2 1 1yx e . 令该切线与曲线 x f xemx相切于点 0 00 , x x emx，则切线方程为 00 0 1 xx yem xex， 0 00 2 0 , 1. x xx em
9、e ex e 22 1 ln1meme . 令 2 met ，则1 ln1tt. 记 1 lng ttt， 11lnlng ttt . 于是， g t在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， max 11g tg，于是 2 1tme， 2 1me . 5分 () x fxem. (1)当0m时， 0fx恒成立， f x在R上单调递增， 且 010fm ， 1 1 10 m fe m ， 函数 f x在R上有且仅有一个零点； (2)当0m时， x f xe在R上没有零点； (3)当0m时，令 0fx，则lnxm，即函数 f x的增区间是ln,m . 同理，减区间是,lnm， min ln1 lnf xfmmm. 若0me，则 min 1 ln0f xmm， f x在R上没有零点； 若me，则( ) x f xeex有且仅有一个零点； 若me，则 min 1 ln0f xmm. )ln2(ln2)ln2( 2 mmmmmmmf. ()2lnh mmm令， 2 1h m m 则 ， 当me时，( )h m单调递增， ()0h mg e. 2 2ln2ln2ln20fmmmmm mmm e，又 010f ， f x在R上恰有两个零点. 综上所述，当0me时，函数 f x没有零点；当0m或me时，函数 f x恰有一个零点；当 me时， f x恰有两个零点. 12分
