1、 - 1 - 河南省洛阳市 2018 届高三上学期第一次统一考试（ 12 月）数学试卷(理 ) 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设全集 UR? ，集合 ? ?2log 1A x x?， ? ?2 20B x x x? ? ? ?， 则 UA C B? （ ） A (0,1 B ( 2,2? C (0,1) D 2,2? 2.若 ? ?12m i i ni? ? ? ?（ ,mn Ri? 是虚数单位），则 nm? 等于（ ） A 3 B 2 C 0 D -1 3.若函
2、数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数” ： （ 1）对 xR? ，都有 ? ? ? ? 0f x f x? ? ?； （ 2）对 12,x x R?，且 12xx? ，都有 1212( ) ( ) 0f x f xxx? ? ? ? sinf x x? ； ? ? 32f x x? ； ? ? 1f x x? ； ? ? 2ln( 1 )f x x x? ? ?以上四个函数中，“优美函数”的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4.已知向量 ? ?,2am? ， ? ?3, 6b?，若 | | | |a b a b? ? ? ，则实数 m 的值是（ ） A -4 B -1 C
3、. 1 D 4 5.已知某算法的程序框图如图所示，则该算 法的功能是 （ ） A求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2017 项和 - 2 - B求首项为 1，公差为 2 的等差数列前 2018 项和 C. 求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1009 项和 D求首项为 1，公差为 4 的等差数列前 1010 项和 6.设 ,xy满足约束条件 30103xyxyx? ? ? ? ?，则 2z x y?的最小值与最大值的和为（ ） A 7 B 8 C. 13 D 14 7.已知函数 ? ? ? ?s in 3 c o sf x x x x R? ? ?，先将 ? ?y f x? 的图象上
4、所有点的横坐标缩短到原来的 13 （纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移 ? ?0? 个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则 ? 的最小值为（ ） A 9? B 3? C. 518? D 23? 8.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为 （ ） A 28 3? B 4 3? C. 8 3? D 24 3? 9.若0 sina xdx?，则二项式 61()axx? 的展开式中的常数项为（ ） A -15 B 15 C. -240 D 240 10.在 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，若 ,abc成等比数列，且 22a c a
5、c bc? ? ? ，则 sincbB? （ ） A 32 B 233 C. 33 D 3 11.已知 F 是抛物线 ? ?21 : 2 0C y px p?的焦点，曲线 2C 是以 F 为圆心，以 2p 为半径的圆，- 3 - 直线 4 3 2 0x y p? ? ?与曲线 12,CC从上到下依次相交于点 , , ,ABCD ，则 |ABCD? （ ） A 16 B 4 C. 83 D 53 12.已知函数 ?fx满足 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1f x f x f x x R? ? ? ? ? ?，且当 01x?时，? ? 21xfx?，则方程 | cos( ) | ( ) 0
6、x f x? ?在 ? ?1,3? 上的所有根之和为（ ） A 8 B 9 C. 10 D 11 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 5sin cos 2?，则 cos4? 14.某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个社 团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答） 15.在半径为 4 的球面上有不同的四点 , , ,ABCD ，若 4AB AC AD? ? ?，则平面 BCD 被球所截得图形的面积为 16.已知 12,FF为双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a ba
7、b? ? ? ?的左、右焦点， 00( , )Px y 是双曲线 C 右支上的一点，连接 1PF 并过 1F 作垂直于 1PF 的直线交双曲线左支于 ,RQ，其中 00( , )R x y? ，1QFP 为等腰三角形 则双曲线 C 的离心率为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知各项均不为零的数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且对任意 nN? ，满足11 ( 1)3nnS a a? （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设数列 nb 满足 2logn n na b a? ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求
8、证： 89nT? 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪 80 元，每单抽成 4 元；乙公司无底薪， 40 单以内（含 40 单）的部分每单抽成 6 元，超出 40 单的部分每单抽成 7 元 ，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表 - 4 - 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 （ 1）现从甲公司记录的 50 天中随机抽
9、取 3 天，求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率； （ 2）若将频率视为概率，回答下列两个问题： 记乙公司送餐员日工资为 X （单位：元），求 X 的分布列和数学期望； 小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由 19.如图，在四棱锥 P ABCD? 中， ,EF分别是 ,PCPD 的中点，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 2PA PD?，且平面 PAD? 平面 ABCD （ 1）求证：平面 AEF? 平面 PCD ； （ 2）求平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值 20.已知短轴长为 2
10、的椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?，直线 n 的横、纵截距分别为 ,1a? ，且原点到直线 n 的距离为 32 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）直线 l 经过椭圆的右焦点 2F 且与椭圆 E 交于 ,AB两点，若椭圆 E 上存在一点 C 满足3 2 0O A O B O C? ? ?，求直线 l 的方程 21.已知函数 ? ? lnmxf x nx?， 2 1( ) ( ( ) )2ag x x f x x? ? ?（ ,mna R? ），且 曲线 ? ?y f x?在点 (1, (1)f 处的切线方程为 1yx? - 5 - （ 1）求实数 ,mn的值及函数
11、?fx的最大值； （ 2）当 1( , )aee? 时，记函数 ?gx的最小值为 b ，求 b 的取值范围 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 xty m t? ?（ t 为参数， mR? ）， 以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为? ?2 23 03 2 c o s? ? ? ? ? （ 1）写出曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （ 2）已知点 P 是 曲线 2C 上一点，若点 P 到曲线 1
12、C 的最小距离为 22，求 m 的值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? ? ?1 |3f x x a a R? ? ?. （ 1）当 2a? 时，解不等式 ? ?1| | 13x f x? ? ?； （ 2）设不等式 ? ?1|3x f x x? ? ?的解集为 M ，若 11 , 32 M? ，求实数 a 的取值范围 - 6 - 试卷答案 一、选择题 1-5: CABDC 6-10: DCADB 11、 12： AD 二、填空题 13. 78 14. 36 15. 12? 16. 102 三、解答题 17.（ 1）当 1n? 时 ， 21 1 1 1 1 11 1 1( 1
13、)3 3 3a S a a a a? ? ? ? ?， 1 0a? ， 1 4a? . 4( 1)3nnSa?， 当 2n? 时，114 (a 1)3nnS ?， 两式相减得 1a 4ann? ， 数列 ?an 是首项为 4，公比为 4 的等比数列， a4nn? . （ 2） 2a log a 2n n nbn?， 24n nnb?， 1 2 32 4 6 24 4 4 4n nnT ? ? ? ? ?， 2 3 4 11 2 4 6 2+ + +4 4 4 4 4n nnT ?， 两式相减得 2 3 4 13 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4n nn nT ? ? ? ? ?
14、 ? ?2 3 4 11 1 1 1 1 22 ( )4 4 4 4 4 4nn n? ? ? ? ? ? ?111(1 )224421 4314nnn? ? ? ? 112 2 2 6 83 4 4 3 3 4n n nnn? ? ?. 8 6 8 89 9 4 9n nnT ? ? ?. 18.（ 1）记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M ， 则 325350 23() 196CPM C?. （ 2）设乙公司送餐员送餐单数为 a ， 则当 38a? 时 ， 38 6 228X ? ? ? ， 当 39a? 时 ， 39 6 234X ? ? ? ， 当 40a? 时 ， 40
15、 6 240X ? ? ? ， 当 41a? 时 ， 40 6 1 7 247X ? ? ? ? ?， 当 42a? 时， 40 6 2 7 254X ? ? ? ? ?. - 7 - 所以 X 的所有可能取值为 228， 234， 240， 247， 254.故 X 的分布列为 ： X 228 234 240 247 254 P 110 15 15 25 110 11( ) 2 2 8 2 3 41 0 5EX ? ? ? ? ?1 2 12 4 0 2 4 7 2 5 4 2 4 1 .85 5 1 0? ? ? ? ? ?. 依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 3 8 0 .2 3 9
16、 0 .3 4 0 0 .2 4 1 0 .2 4 2 0 .1 3 9 .7? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以甲公司送餐员日平均工资为 80 4 39.7 238.8? ? ? 元 . 由得乙公司送餐员日平均工资为 241.8 元 . 因为 238.8 241.8? ， 故推荐小王去乙公司应聘 . 19.（ 1）由题 PA PD AD?， F 为 PD 的中点 ， 可得 AF PD? ， 平面 PAD? 平面 ABCD ， CD AD? ， CD? 平面 PAD . 又 AF? 平面 PAD ， CD AF? .CD PD D? AF? 平面 PCD . 平面 AEF? 平面 P
17、CD . （ 2）取 AD 的中点 O ， BC 的中点 F ， 连接 ,OPOF ， PA PD AD?， OP AD? . 平面 PAD? 平面 ,ABCD OP? 平面 PAD ， OP? 平面 ABCD . 分别以 ,OAOF OP 为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系 ， 则 (1,0,0)A ， ( 1,2,0)C? ， 13( ,1, )22E ? ， 13( ,0, )22F ? ， - 8 - 33( ,0, )22AF ? ， (0,1,0)FE? 设平面 AEF 的法向量为 ( , , )m x y z? ， 则 00m AFmFE? ?. 即 33 0220xzy? ? ?.可取 = 1,0, 3)m （ . 同理，可得平面 ACE 的法向量 ( 3, 3,1)n? . co s , | | | |mnmn mn? ? ?1 3 3 1 21727? ? . 所以平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角余弦值为 217 . 20.（ 1）因为椭圆 E 的短轴长为 2，故 1b? . 依题意设直线 n 的方程为 ： 1x ya?， 由21321 1a?.解得 3a? ， 故椭圆的方程为 2 2 13x y?. （ 2）设 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y
