1、 1 湖北省荆州市 2018届高三数学上学期第四次双周考（ 11月）试题 理 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . （ 1）若 21z ii ? (i 为虚数单位 )，复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四 象限 （ 2） 设集合 2 2 0A x x x? ? ?， 1 2B x x? ? ? ，则 AB? （ ） A 2 B 0 1xx? C 1 2xx? D 1 2xx? （ 3） 要得到 函数 xy 2sin? 的图象，只需将函数 )32sin( ? xy 的图象 （ ） A 向左平移 6
2、个单位 B 向右平移 3个单位 C 向左平移 3个单位 D 向右平移 6个单位 （ 4） 设 nml , 为三条不同的直线， ? 为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） 若 ?l ，则 l 与 ? 相交； 若 ， nlmlnm ? ? 则 ?l ； 若 l |m ， m |n ， ?l ，则 ?n ； 若 l |m ， ?m ， ?n ，则 l |n . A 1 B 2 C 3 D 4 （ 5） 在 ABC 中， 4A? ， 2BC? ，则 “ 3AC? ” 是 “ 3B? ” 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （ 6） 若实数 ,xy
3、满足条件 01001xyxyx? ? ?， 则 3xy? 的最大值为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 （ 7）设 函数 ()y f x? 可导， ()y f x? 的图象如图 1 所示，则导函数 ()y f x? 的图像可 能为（ ） 2 （ 8） 已知等比数列 ?na ， 且 4 268 0 16a a x dx? ? ?，则 ? ?8 4 6 82a a a a?的值为（ ） A 216? B 28? C 24? D 2? （ 9） 函数 ()y f x? 为 R 上的偶函数，函数 ()y gx? 为 R 上的奇函数， ( ) ( 2)f x g x?，(0) 4f ? ,
4、则 ()gx可以是（ ） A 4tan8xB 4sin2x? C 4sin4xD 4sin4x?（ 10） 已知函数 ? ? ? ?30f x sin w x co sw x w? 在 ? ?0,? 上有且只有 三 个零点，则实数 w 的取值范围为 （ ） A 34,0( B 37,34( C. 310,37( D 313,310( （ 11）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形， 则 xy 最大值为 ( ) A 32 B 64 C 327 D 647 （ 12）已知函数 )12 1()(2 xxkxexfx ? ，若 1?x 是函数 )(xf 唯一一个极值点，则实数k 的取值
5、范围为 （ ） A ,( e? B )1,( e? C 01,( ? e D ,01,( ee ? 二 、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分 。 x y O 图 1 x y O A x y O B x y O C y O D x 3 （ 13）已知 1tan 2? ，且 3,2?，则 cos2?_ （ 14） 已知单位向量 12,ee 的夹角为3?， 122a e e?，则 a 在 1e 上的投影是 （ 15） 设 等差 数列 ?na 满足 3,0,2 11 ? ? mmm SSS ，则 m 的 值为 . （ 16） 如图所示，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm ，
6、该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O .E ， F ， G ， H 为圆 O 上的点 EAB? ， FBC? ， GCD? ， HDA? 分别是以 AB ，BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形 .沿虚线剪开后，分别以AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起 EAB? ， FBC? ， GCD? ，HDA? ，使得 E ， F ， G ， H 重合，得到四棱锥 .当正方形ABCD 的边长变化时，所得四棱锥体积（单位： 3cm ）的最大值为 _. 三 、 解答题：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程。 （ 17） ABC? 中，角 ,ABC 的对 边分别为 ,abc， ? ?
7、2 c o s c o s c o s 0C a C c A b? ? ?. （ ） 求角 C 的大小； （ ） 若 2b? ， 23c? ， 求 ABC? 的面积 . （ 18） 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 1 3 4 51,a S S S? ? ? . （ ）求 数列 ?na 的通项公式； （ ）令 1 1( 1) nn n nb a a? ? ，求 数列 ?nb 的前 2n 项和 2nT （ 19） 如图，四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60ABC?， PA PB? ， 2PC? （ ）求证：平面 PAB? 平面 ABCD ；
8、（ ）若 PA PB? ，求二面角 A PC D?的余弦值 . （ 20） 已知点 C 为圆 22( 1) 8xy? ? ?的圆心， P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，PAD CB4 且有点 A (1,0) 和 AP 上的点 M ，满足 0MQ AP?， 2AP AM? . （ ）当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程； （ ）若斜率为 k 的直线 l 与圆 221xy?相切，与（ 1）中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 ,FH,O 是坐标原点，且 3445OF OH? ? ?时，求 k 的取值范围 . （ 21）已知函数 ? ? ? ?223xf x e x a? ? ?
9、 ?， aR? （ ）若函数 ? ?y f x? 的图象在 0x? 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （ ）若 0x? ， ? ? 0fx? 恒成立，求 a 的取值范围 选考题：共 10分。 请考生在第 22、 23题中任 选一题作答。 （ 22）已知曲线 2 cos:3 sinxCy?（ ? 为参数）和定点 (0, 3)A ， 1F 、 2F 是此曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求直线 2AF 的极坐标方程； （ ）经过点 1F 且与直线 2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于 M 、 N 两点，求 11| | | |MF NF?的值 （ 2
10、3） 已知函数 ( ) | 1 | | 1 |f x m x x? ? ? ? ?. （ ） 当 5m? 时，求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ ） 若函数 2 23y x x? ? ? 与函数 ? ?y f x? 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围 . 理科数学 参考答案 5 一 、选择题： （每小题 5 分，共 60 分） 二填空题：本题共 4小题，每小题 5分。 13 55? 14. 23 15. 5 16. 3516 三解答题 ：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（ 1） ? ?2 c o s c o s c o s 0C a C c A b? ?
11、 ?， 由正弦定理可得 ? ?2 c o s s i n c o s s i n c o s s i n 0C A C C A B? ? ? ?2 分 ? ?2 c o s s i n s i n 0C A C B? ? ? ?，即 2 c o s s in s in 0C B B? ? ? 又 0 180B? ， sin 0B?， 1cos 2C? ? ，即 120C? . ?6 分 （ 2）由余弦定理可得 ? ? 2 2 2 22 3 2 2 2 c o s 1 2 0 2 4a a a a? ? ? ? ? ? ?， ?9 分 又 0a? ， 2a? ， 1 s in 32ABCS ab
12、 C? ? ?， ABC? 的面积为 3 .?12 分 18（ ）设等差数列 ?na 的公差为 d ，由 3 4 5S S S?可得 1 2 3 5a a a a? ? ? ， - 2 分 即 253aa? ，所以 3(1 ) 1 4dd? ? ? ，解得 2d? - 4 分 ? 1 ( 1) 2 2 1na n n? ? ? ? ? ? - 6 分 （ ）由（ ）可得： 1 1 2( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 4 1 )nnnb n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?.- 7 分 ? 2 2 2 2 2 1 22 ( 4 1 1 ) ( 4 2 1 ) (
13、 4 3 1 ) ( 4 4 1 ) ( 1 ) 4 ( 2 ) 1nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 24 1 2 3 4 ( 2 1 ) ( 2 )nn? ? ? ? ? ? ? ?- 9 分 22 ( 2 1 )4 ( 1 2 3 4 2 1 2 ) 4 8 42nnn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 12 分 19.解：（ 1）取 AB 中点 O ，连接 AC 、 CO 、 PO ， 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， 2AB BC? 60ABC?， ABC? 是等边三
14、角形 CO AB? ， 3OC? ?2 分 PA PB? ， 1 12PO AB? 2PC? ， 2 2 2OP OC PC? CO PO? ?4 分 AB PO O? ， CO? 平面 PAB CO? 平面 ABCD ， 平面 PAB? 平面 ABCD ?5 分 （ 2） 2 2 2 2 2 21 1 ( 2 )O P O A P A? ? ? ? ?， PO AO? 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D C B B D A D C B C O yxzBCDAP6 由（ 1）知，平面 PAB? 平面 ABCD ， PO? 平面 ABCD ， 直线 ,O
15、C OBOP 两两垂直以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz? ，如图， 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 3 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ,1 )O A B C D P? ( 0 ,1 ,1 ) , ( 3 , 0 , 1 ) , ( 0 , 2 , 0 )A P P C D C? ? ? ? ?6 分 设平面 APC 的法向量为 ( , , )x y z?m ， 由 00APPC? ?mm，得 030yzxz?，取 1x? ，得 (1, 3, 3)?m ， ?8 分 设平面
16、 PCD 的法向量为 ( , , )x y z?n ，由 00PCDC? ?nn，得 3020xzy? ?， 取 1x? ，得 (1,0, 3)?n ， ?10 分 27c o s ,7? ? ?mnmn mn，由图可知二面角 A PC D?为锐二面角， 二面角A PC D?的的余弦值为 277 ?12 分 20.解：（ 1）由题意知 MQ 中线段 AP 的垂直平分线，所以 2 2 2C P Q C Q P Q C Q A C A? ? ? ? ? ? ? 所以点 Q 的轨迹是以点 C ， A 为焦点，焦距为 2，长轴为 22的椭圆， ?2 分 2a? ， 1c? ， 221b a c? ?
17、? ?3 分 故点 Q 的轨迹方程是 2 2 12x y? ?4 分 （ 2）设直线 :l y kx b?， ? ? ? ?1 1 2 2, , ,F x y H x y 直线 l 与圆 221xy?相切 222 111b bkk? ? ? ? ? ? 5 分 联立 2 2 12x yy kx b? ? ? ?2 2 21 2 4 2 2 0k x k b x b? ? ? ? ? ? ?6 分 ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 21 6 4 1 2 2 1 8 ( 2 1 ) 8 0k b k b k b k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0k? ?7 分 21 2 1 2224 2 2,1 2 1 2k b bx x x xkk ? ? ? ?8 分 ? ?221 2 1 2 1 2 1 21 ( )O F O H x x y y k x x k b x x b? ? ? ? ? ? ? ? ?9 分 22 222(1 ) ( 2 2 ) ( 4 )1 2 1 2k b k bk b bkk? ? ? ? ?2 2 2 2 222(1 ) 2 4 ( 1 ) 11 2 1 2k k k k kkk? ? ? ?7 22112kk? ?10 分 所以 223 1 44 1 2 5
