1、第二章第二章 有理数及其运算有理数及其运算 初中数学北师大版初中数学北师大版七年级七年级 上册上册第二章有理数及其运算知识点一知识点一用正、负数表示具有相反意义的量用正、负数表示具有相反意义的量1.正、负数的概念我们小学时学习了像1,2,的数,现在我们把像上面这样的数叫做正数,即大于0的数叫做正数,而在正数前面加上“-”号的数叫做负数.温馨提示(1)0既不是正数也不是负数.这里“0”是一个比较特殊的数,它是正数和负数的分界线,但不属于它们当中的任何一个.(2)正数前面的“+”号可以省略,负数前面的“-”号不能省略.12 意义示例具有相反意义的量为了表示某一问题中具有相反意义的量,我们把其中的一
2、种意义的量,如零上温度、高于海平面等规定为正的,而把与它意义相反的量,如零下温度、低于海平面等规定为负的如若向北走3 m,记作“+3 m”,则向南走5 m记作“-5 m”;若顺时针旋转2圈,记作“+2圈”,则逆时针旋转5圈记作“-5圈”重要提示(1)具有相反意义的量是成对出现的,单独的一个量不能称为具有相反意义的量.(2)具有相反意义的量,只要求意义相反,而不要求数量一定相等,所以与一个量具有相反意义的量不止一个,如盈利5 000元,与它具有相反意义的量有很多,如亏损2 000元、亏损600元等.(3)用正、负数表示具有相反意义的量,并不是固定的,如进口300箱可以记作“-300箱”,也可以记
3、作“+300箱”,相应地,出口200箱则记作“+200箱”或“-200箱”.(4)具有相反意义的两个量所表示的属性相同,是同一类对象例例1(1)如果节约如果节约10吨水记作吨水记作+10吨吨,那么浪费那么浪费2吨水记作什么吨水记作什么?(2)如果如果-2015元表示赔本元表示赔本2015元元,那么那么+1009元表示什么元表示什么?(3)如果如果+20%表示增加表示增加20%,那么那么-8%表示什么表示什么?解析解析(1)浪费2吨水记作-2吨.(2)+1 009元表示盈利1 009元.(3)-8%表示减少8%.知识点二知识点二有理数的概念及分类有理数的概念及分类温馨提示(1)在对有理数进展分类
4、时,分类标准不同,分类的形式也不同,对于每一个分类标准,要做到不重、不漏、不混淆.(2)有限小数与无限循环小数可以化成分数,所以是有理数;无限不循环小数,如,0.252 252 225(相邻的两个5之间依次多一个2)不能化成分数,所以不是有理数.例1以下说法正确的选项是()B.非负整数就是指0、正整数和所有分数解析解析 A项中,有理数应该包括正有理数、0和负有理数;B项中,非负整数是指0和正整数,不包括分数;C项中,整数中还漏掉了数字0,D正确.答案答案 D题型一 用正数、负数表示误差范围例例1某苹果箱上标明苹果的总质量为15 k,则这箱苹果的最大质量为 kg.如果某箱苹果的总质量为14.95
5、 kg,那么这箱苹果 (填“符合”或“不符合”)标准.0.02kg0.03kgg解析解析 苹果的总质量为15 k,说明一箱苹果的最大质量比15 kg多0.02 kg,最小质量比15 kg少0.03 kg,即符合标准的某箱苹果的最小质量为14.97 kg,最大质量为15.02 kg.因为14.9514.97,所以这箱苹果不符合标准.0.02kg0.03kgg答案答案15.02;不符合不符合点拨解决此类问题的关键是正确理解题中点拨解决此类问题的关键是正确理解题中“+、-号的含义号的含义:“+号表示比标准量多号表示比标准量多,“-号表示比标准量少号表示比标准量少.题型二 有理数的分类例例2把下列这些
6、数填入相应的集合中:5,-,0,0.56,-3,-25.8,-0.000 1,+2,-600,0.333 33.正整数集合:;负整数集合:;正分数集合:;负分数集合:;正数集合:;负数集合:.分析分析有理数的分类:按照定义有理数分为整数和分数两部分,其中整数包括正整数、0、负整数;按照符号有理数分为正有理数、0、负有理数三部分.57125解析解析 正整数集合:5,+2,;负整数集合:-3,-600,;正分数集合:;负分数集合:;正数集合:;负数集合:.120.56,0.333 33,5 5,25.8,0.000 1,7125,0.56,2,0.333 33,5 5,3,25.8,0.000 1
7、,600,7易错点 不能正确理解有理数的分类例例下列各数哪些是正数?哪些是负数?哪些是分数?哪些是整数?+2 016,-3.2,10.58,0,-9,+1,-.错解错解正数:+2 016,+1,;负数:;分数:;整数:+2 016,0,+1,.正解正解 正数:;负数:;12110013.2,9,10011,210012 016,10.58,1,2 13.2,9,100分数:;整数:+2 016,0,-9,+1,.错因分析错因分析没有真正掌握有理数的分类,误认为含有“+”号的数才是正数,导致正数中漏了,10.58,受小学时对数的认识的影响,分数中漏掉了-3.2,10.58,整数中漏掉了-9.11
8、3.2,10.58,210012知识点一知识点一用正、负数表示具有相反意义的量用正、负数表示具有相反意义的量1.(2021江苏南通中考江苏南通中考)如果水位升高如果水位升高6m时水位变化记作时水位变化记作+6m,那么水那么水位下降位下降6m时水位变化记作时水位变化记作()A.-3mB.3mC.6mD.-6m答案答案D水位升高用正数表示水位升高用正数表示,那么水位下降用负数表示那么水位下降用负数表示,故下降故下降6m应应记作记作-6m.选选D.2.以下各组量中,具有相反意义的量有()“身高增加2 cm和“体重减少1 kg;水库水位“上升1.6米与“下降1.8米;“盈利50万元与“亏损160万元.
9、答案答案B具有相反意义的量的序号为具有相反意义的量的序号为.应选应选B.3.向东走3 m,接着又向东走-3 m,结果是()A.向东走6 mB.向西走3 m答案答案 D向东走-3 m,即向西走3 m,故回到原地.知识点二知识点二有理数的概念及分类有理数的概念及分类4.下列说法错误的是()A.-2是负有理数 B.0不是整数C.是正有理数 D.-0.25是负分数25答案答案 B0是整数,故B选项说法错误.5.下列各数:-2,+3.5,0,-,-0.7,11,其中负分数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个23答案答案 B负分数有-和-0.7,共2个.236.把下列各数按要求分别填入相应的集合中
10、:0.05,1,-,-126,72.1,0,-12%,+729,-628,-3,3.,-1 000.01.(1)正整数集合:;(2)负分数集合:;(3)整数集合:;(4)非负数集合:.5353243814解析解析(1)正整数集合:1,+729,.(2)负分数集合:.(3)整数集合:1,-126,0,+729,-628,.(4)非负数集合:.53,12%,3,1 000.01,3850.05,1,72.1,0,729,3.14,3241.(2021北京师大附中河南分校期中)假设支出20元记为+20元,那么-50元表示 .答案答案收入50元解析支出与收入是一对具有相反意义的量解析支出与收入是一对具
11、有相反意义的量,支出为正支出为正,那么收入为负那么收入为负.2.(2017贵州遵义四中月考)在-1,0.618,0,-5%,2 017,0.5中,整数有 个,分数有 个.23答案答案3;4解析解析整数有-1,0,2 017,共3个.分数有,0.618,-5%,0.5,共4个.233.用正数和负数表示以下具有相反意义的量.(1)温度上升3 和下降5(上升为正);(2)盈利5万元和亏损10万元(盈利为正);(3)向东走10米和向西走7米(向东为正);(4)运进50箱苹果和运出30箱苹果(运进为正).解析解析(1)+3,-5.(2)+5万元,-10万元.(3)+10米,-7米.(4)+50箱,-30
12、箱.1.以下语句:不带“-号的数都是正数;如果a是正数,那么-a一定是正确的有()答案答案 B只有正确.2.一艘潜水艇所在的海拔高度为-50 m,假设一条鲨鱼在潜水艇下方10 m处,那么鲨鱼所在的海拔高度为()A.-60 mB.-50 mC.10 mD.-10 m答案答案A潜水艇在海平面下潜水艇在海平面下50m处处,鲨鱼在潜水艇下方鲨鱼在潜水艇下方10m处处,故鲨鱼故鲨鱼在海平面下在海平面下60m处处,所以鲨鱼所在的海拔高度为所以鲨鱼所在的海拔高度为-60m,应选应选A.3.(2021山西大同一中期中)以下说法正确的有()(1)整数就是正整数和负整数;(2)零是整数,但不是自然数;(3)分数包
13、括正分数、负分数;(4)正数和负数统称为有理数;(5)一个有理数,它不是整数就是分数.答案答案B整数包括正整数、整数包括正整数、0和负整数和负整数,故故(1)错误错误;零是整数零是整数,也是自然也是自然数数,故故(2)错误错误;正数、负数和正数、负数和0统称为有理数统称为有理数,故故(4)错误错误.正确的选项是正确的选项是(3)(5),共共2个个.1.以下说法中,错误的选项是()答案答案 A负整数是整数,但负整数不是自然数,故A错误.2.图中重合部分A处可以填入的数是 .(只需填入一个满足条件的数即可)答案答案-2(答案不唯一)解析因为整数包含正整数、零、负整数解析因为整数包含正整数、零、负整
14、数,负数包含负整数和负分数负数包含负整数和负分数,故重合局部表示负整数故重合局部表示负整数,所以所以A处只需填上一个负整数即可处只需填上一个负整数即可.3.在生产图纸上通常用30来表示轴的加工要求,这里300表示直径是300 mm,+0.2和-0.5是指直径在(300-0.5)mm到(300+0.2)mm之间的产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是4,请检验直径为44.97 mm和45.04 mm的两根轴是不是合格产品.0.20.500.030.045解析解析 这批轴的尺寸要求是在(45-0.04)mm到(45+0.03)mm之间,即尺寸在44.96 mm到45.03 mm之间都为合格,
15、所以直径为44.97 mm的轴合格,直径为45.04 mm的轴不合格.一、选择题一、选择题1.(2021重庆巴南月考重庆巴南月考,7,)小明身高小明身高165cm,以小明的身高为标准以小明的身高为标准,小明爸爸身高小明爸爸身高175cm,记作记作+10cm,小明妈妈身高小明妈妈身高163cm,应记作应记作()A.-2cmB.12cmC.2cmD.-12cm答案答案A165-163=2(cm),由可知由可知,高出小明身高记为高出小明身高记为“+,那么小那么小明妈妈比小明低明妈妈比小明低2cm应记为应记为-2cm.2.(2021辽宁本溪南芬中学第二次月考,3,)既不是正数也不是整数的有理数是()答
16、案答案B0是整数是整数,应选项应选项A不正确不正确;负分数既不是正数也不是整数负分数既不是正数也不是整数,故故选项选项B正确正确;负整数是整数负整数是整数,应选项应选项C不正确不正确;正整数是整数正整数是整数,应选项应选项D不正不正确确.二、填空题二、填空题3.(2018安徽合肥四十二中第一次月考,12,)在数、-2、0、15、130%、0.25中,正数有 个.13答案答案4解析解析正数中的正号可以省略不写,负数中的负号不能省略,0既不是正数,也不是负数,故正数有、15、130%、0.25,共4个.131.(2021山西阶段第二次质量评估,1,)如果向北走3步记作+3步,那么向南走8步记作()
17、答案答案B向北走记为向北走记为“+,那么向南走记为那么向南走记为“-,应选应选B.2.(2021山东潍坊寿光世纪学校月考,8,)以下说法正确的选项是()答案答案 D如,既不是整数也不是负数,选项A错误;整数和分数统称有理数,选项B错误;最小的非负整数是0,选项C错误,故选D.233.(2018河南济源期中,18,)把下面的有理数填在相应的大括号里:15,-,0,-30,0.15,-128,+20,-2.6.(8分)正数集合:;负数集合:;整数集合:;分数集合:.38225解析解析正数集合:;负数集合:;整数集合:15,0,-30,-128,+20,;分数集合:.2215,0.15,20,53,
18、30,128,2.6,8322,0.15,2.6,.85选择题选择题1.(2021四川成都中考四川成都中考,1,)?九章算术九章算术?中注有中注有“今两算得失相今两算得失相反反,要令正负以名之要令正负以名之,意思是意思是:今有两数假设其意义相反今有两数假设其意义相反,那么分别叫做正那么分别叫做正数数与负数与负数.假设气温为零上假设气温为零上10记作记作+10,那么那么-3表示气温为表示气温为()A.零上零上3B.零下零下3C.零上零上7D.零下零下7答案答案B由题意知由题意知,“-代表气温为零下代表气温为零下,所以所以-3表示气温为零下表示气温为零下3,应选应选B.2.(2021甘肃天水中考,
19、1,)四个数-3,0,1,中的负数是()答案答案A-3是负数是负数;0既不是正数既不是正数,也不是负数也不是负数;1和和都是正数都是正数,应选应选A.3.(2021贵州六盘水中考,1,)大米包装袋上(100.1)kg的标识表示此袋大米重()A.(9.910.1)kgB.10.1 kgC.9.9 kgD.10 kg答案答案0.1千克千克,所以此袋大米重所以此袋大米重(9.910.1)kg,应选应选A.1.(2021广东广州中考,1,)中国人很早开场使用负数,中国古代数学著作?九章算术?的“方程一章,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元,那么-80元表示()答案答案C如果
20、收入如果收入100元记作元记作+100元元,那么那么-80元表示支出元表示支出80元元,应选应选C.2.(2021 广东广州中考,1,)四个数-3.14,0,1,2中,为负数的是()答案答案A比比0小的数是负数小的数是负数,四个数中为负数的是四个数中为负数的是-3.14.应选应选A.1.观察下面依次排列的数,请直接写出后面的3个数,并写出第15个数、第101个数、第2 018个数.(1)-1,-2,+3,-4,-5,+6,-7,-8,;(2)-1,-3,-5,-7,.12141618解析解析 (1)+9;-10;-11.第15个数为+15,第101个数为-101,第2 018个数为-2 018
21、.(2)-9;-11.第15个数为-15,第101个数为-101,第2 018个数为.11012 0182.图2-1-1中有A,B,C三个数集,每个数集中所包含的数都写在下面的括号内,请把这些数填入对应的三个圈内.A=3,2,0,4,B=5,6,-5,0,2,C=-5,0,4,-2.图2-1-1解析解析如图.1.在小学我们学习了偶数0,2,4,6,8,以及奇数1,3,5,7,9,现在我们学习了负数,也知道了负偶数与负奇数,负偶数为-2,-4,-6,-8,负奇数为-1,-3,-5,-7,下面我们将这些负偶数与负奇数排列,如图:在上述的这些数中,观察它们的规律,并求-101在哪一列.解析以解析以8
22、个数作为一个循环段个数作为一个循环段,那么第那么第96个数在第一列个数在第一列,第第100个数在第个数在第五列五列,所以第所以第101个数在第四列个数在第四列,即即-101在第四列在第四列.2.一种商品的标准单价是200元,但随着季节的变化,商品的单价可浮动10%.(1)10%的含义是什么?(2)请计算出该商品的最高单价和最低单价;(3)如果以标准单价为基准,超过标准单价记为“+,低于标准单价记为“-,那么该商品单价的浮动范围又可以怎样表示?解析解析(1)+10%表示比标准单价高10%,-10%表示比标准单价低10%.(2)最高单价为200(1+10%)=220(元),最低单价为200(1-10%)=180(元).(3)该商品单价的浮动范围可以表示为-20+20元.
