1、第一章第一章 丰富的图形世界丰富的图形世界 初中数学北师大版初中数学北师大版七年级七年级 上册上册知识点一知识点一正方体的展开与折叠正方体的展开与折叠正方体的表面展开图形式:正方体沿着棱展开,把各种展开图分类,可以总结为如下几种情况:温馨提示温馨提示在正方体的表面展开图中不会有如图1-2-1所示的“田”“凹”“L”型形状.图1-2-1解析解析充分发挥想象力和动手实践能力是解决此类问题的有效途径.答案答案C例例1(2016四川成都树德实验中学期中)在下面的图形中,是正方体的展开图的是()知识点二知识点二柱体、锥体的展开与折叠柱体、锥体的展开与折叠1.直棱柱的表面展开图是由两个形状相同的多边形和一
2、些长方形组成的.沿棱柱表面不同的棱剪开,可得到不同组合方式的表面展开图.2.圆柱的表面展开图是两个圆和一个长方形.3.圆锥的表面展开图是一个圆和一个扇形.4.棱锥的表面展开图有一个多边形,其余都是三角形.例例2把图1-2-2所示的几何体与它的表面展开图连起来.图1-2-2分析分析圆柱的外表展开图是一个长方形圆柱的外表展开图是一个长方形(侧面侧面)和两个半径相等的圆和两个半径相等的圆(底底面面);圆锥的外表展开图是一个扇形圆锥的外表展开图是一个扇形(侧面侧面)和一个圆和一个圆(底面底面);直棱柱的外表直棱柱的外表展开图是一个长方形展开图是一个长方形(侧面侧面)和两个一样的多边形和两个一样的多边形
3、(底面底面);棱锥的外表展棱锥的外表展开图是一个多边形开图是一个多边形(底面底面)和与多边形边数相等个数的三角形和与多边形边数相等个数的三角形(侧面侧面).解析解析如图1-2-3所示.图1-2-3题型一观察猜想题例例1在下列四个正方体中,只有一个是用图1-2-4所示的纸片折叠而成的,那么这个正方体是()解析解析选项选项A、B的正方体展开后的正方体展开后,黑点所在的面分别在小三角形所在黑点所在的面分别在小三角形所在面的上面和右边面的上面和右边,与所给纸片不符与所给纸片不符,所以可排除所以可排除A和和B;对于对于C,小圆圈的上小圆圈的上面和右边是空白的面和右边是空白的,同样与所给纸片不符同样与所给
4、纸片不符,也可排除也可排除.应选应选D.答案答案D点拨点拨根据展开后的平面图形确定立体图形,需分清有标记的面与其他面之间的位置关系.题型二由正方体展开图确定相对面例例2(2015湖北恩施中考)图1-2-5是一个正方体纸盒的展开图,其中六个正方形内分别标有数字“0”“1”“2”“5”和汉字“数”“学”,将其围成一个正方体后,则与“5”相对的是()图1-2-5A.0B.2C.数D.学解析解析根据展开图我们可以看出根据展开图我们可以看出“数的对面是数的对面是“1,易知易知“学和学和“2相对相对.故故“5的对面应为的对面应为“0.应选应选A.答案答案A知识点一知识点一正方体的展开与折叠正方体的展开与折
5、叠1.图1-2-1是一个正方体,它的表面展开图可以是()图1-2-1答案答案BB选项是选项是“一四一型一四一型,应选应选B.2.(2015山东济宁中考)一个正方体的每个面都有一个汉字,其平面展开图如图1-2-2所示,那么在该正方体中和“值”字相对的字是()图1-2-2A.记B.观C.心D.间答案答案A可以自己动手折一下.知识点二知识点二柱体、锥体的展开与折叠柱体、锥体的展开与折叠3.如图1-2-3所示的图形分别是由圆柱;长方体;三棱柱;正方体表面展开得到的,按图形顺序排列正确的是()图1-2-3A.B.C.D.答案答案D圆柱的底面是圆,三棱柱的底面是三角形,长方体的侧面是长方形,正方体各面都是
6、正方形.4.下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是()答案答案B圆锥的侧面展开图为扇形.5.下列展开图中,不能围成几何体的是()答案答案B动手折一下,长方体的展开图中两个底面不可能在四个长方形的同一侧.6.图1-2-4是一个食品包装盒的表面展开图.(1)请写出这个包装盒的形状的名称;(2)根据图中所标的尺寸,计算此包装盒的表面积和体积.图1-2-4解析解析(1)包装盒的形状是四棱柱包装盒的形状是四棱柱.(2)外表积为外表积为4ab+2b2,体积为体积为ab2.1.(2017山西农大附中月考)下列展开图不能叠合成无盖正方体的是()答案答案C正方体的外表展开图不可能出现正方体的外表展开图不可能出现“
7、凹字形凹字形,应选应选C.2.如图,四个三角形均为等边三角形,将图形折叠,得到的立体图形是()A.三棱锥B.圆锥C.圆柱D.六面体答案答案A只有三棱锥的各面均为三角形只有三棱锥的各面均为三角形,应选应选A.3.如图所示的图形都是几何体的展开图,你能说出这些几何体的名称吗?答案答案正方体;长方体;圆锥;圆柱;三棱柱解析解析由展开图各面的形状及展开图中各面的数量确定.1.图1-2-5是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的()图1-2-5答案答案A由题图中几何体的特征知含有数字由题图中几何体的特征知含有数字4、6、8的三个面两两相的三个面两两相邻邻,故折叠后三个面一定相交于一点故折叠后三个
8、面一定相交于一点.只有只有A选项符合选项符合.应选应选A.2.图1-2-6是正方体的表面展开图,若将其围成正方体,则与点P重合的两点应该是()图1-2-6A.S和ZB.T和YC.U和YD.T和V答案答案D结合图形知结合图形知,围成立体图形后围成立体图形后Q与与S重合重合,P与与T重合重合,很显然很显然P又与又与V重合重合,应选应选D.(也可以动手操作一下也可以动手操作一下)1.(2013浙江宁波中考)下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装盒的是()答案答案CA剪去阴影局部后剪去阴影局部后,可围成无盖的正方体可围成无盖的正方体,故此选项不合题意故此选项
9、不合题意;B剪去阴影局部后剪去阴影局部后,无法围成长方体无法围成长方体,故此选项不合题意故此选项不合题意;C剪去阴影局部剪去阴影局部后后,能围成长方体能围成长方体,故此选项正确故此选项正确;D剪去阴影局部后剪去阴影局部后,显然不能围成长方显然不能围成长方体体,故此选项不合题意故此选项不合题意.应选应选C.2.下图是一个骰子的平面展开图,请根据要求回答问题:(1)如果1点在上面,3点在左面,几点在前面?(2)如果5点在下面,几点在上面?解析解析(1)5点在前面.(2)2点在上面.一、选择题一、选择题1.(2018山东枣庄二十七中月考,4,)下列图形经过折叠不能围成棱柱的是()答案答案BB选项中侧
10、面为四个长方形,上、下两个底面是三角形,不能围成棱柱.2.(2017河南郑州轻工学院附中月考,5,)小丽制作了一个如图1-2-7所示的正方体礼品盒,其对面图案都相同,那么这个正方体的表面展开图可能是()答案答案A对于对于“一四一型外表展开图一四一型外表展开图,中间中间4个小正方形中个小正方形中,第第1,3个个同同,应选应选A.二、填空题二、填空题3.(2021山西实验中学第一阶段测试山西实验中学第一阶段测试,19,)如果圆柱的侧面展开图如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为是相邻两边长分别为6、16的长方形的长方形,那么这个圆柱的体积等于那么这个圆柱的体积等于.答案答案144或384解析解析分
11、两种情况:6为圆柱底面圆展开的长,2r底面圆=6,r底面圆=,又h=16,V圆柱=S底面圆h=h=16=144.16为圆柱底面圆展开的长,2r底面圆=16,r底面圆=8,h=6,V圆柱=S底面圆h=(r底面圆)2h=826=384.故填144或384.2332()r底面圆1.(2018河南郑州实验学校月考,3,)下面每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的,其中不能折成正方体的是()答案答案C正方体的展开图共有正方体的展开图共有11种种,C选项不符合任何一种选项不符合任何一种(也可以动也可以动手折一下手折一下).应选应选C.2.(2016广东深圳锦华实验学校期中,4,)如图,将43的网格图剪去
12、5个小正方形后,图中还剩下7个小正方形,为了使余下的部分(小正方形之间至少要有一条边相连)恰好能折成一个正方体,需要再剪去1个小正方形,则应剪去的小正方形的编号是()A.7B.6C.5D.4答案答案C动手操作一下可知,只能是去掉编号是5的小正方形.3.(2017山西农大附中月考,10,)一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数,且相对面上的两个数之和相等,如图所示,能看到的数为7、10、11,则六个整数的和为()A.51B.52C.57D.58答案答案C假设这六个连续整数为假设这六个连续整数为6、7、8、9、10、11,那么那么7与与10应为相应为相对面上的数对面上的数,不符合图形不符合图形
13、,故这六个连续整数为故这六个连续整数为7、8、9、10、11、12,其和为其和为57.应选应选C.4.(2018山东滕西中学月考,18,)若要使图中平面展开图折叠成正方体后,相对面上的两个数之和为6,则x=,y=.答案答案5;3解析解析由正方体的展开图知,2所在的面与空白的正方形为相对面,1与x为相对面上的数,3与y为相对面上的数,故x=5,y=3.选择题选择题1.(2017内蒙古包头中考,4,)将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开,展开后不能得到的平面图形是()答案答案C根据正方体外表展开图的特点知根据正方体外表展开图的特点知C不可能不可能,应选应选C.2.(2016河北中考,8,)图
14、1-2-8(1)和图1-2-8(2)中所有的正方形都全等,将图1-2-8(1)的正方形放在图1-2-8(2)中的某一位置,所组成的图形不能围成正方体的位置是()图1-2-8A.B.C.D.答案答案A根据正方体展开图的特点可知根据正方体展开图的特点可知,假设有四个正方体相连假设有四个正方体相连,另两个另两个必须在相连四个的两侧必须在相连四个的两侧.3.(2016四川达州中考,3,)图1-2-9是一个正方体的表面展开图,则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是()图1-2-9A.遇B.见C.未D.来答案答案D根据正方体的外表展开图的特点根据正方体的外表展开图的特点,易得易得“你字所在面相对你
15、字所在面相对的面上标的字是的面上标的字是“来来,应选应选D.4.(2015山东聊城中考,9,)图1-2-10是一个小正方体的表面展开图,小正方体从图1-2-10所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格,这时小正方体朝上一面的字是()图1-2-10A.梦B.水C.城D.美答案答案A由题图可得由题图可得,“中和中和“美相对美相对,“国和国和“水相对水相对,“梦和梦和“城相对城相对.由题图可得由题图可得,小正方体从题图所示的位置翻小正方体从题图所示的位置翻到第到第1格时格时,“城在上面城在上面,翻到第翻到第2格时格时,“美在上面美在上面,翻到第翻到第3格时格时,“水在上面水在上面,翻到第翻到
16、第4格时格时,“梦在上面梦在上面,应选应选A.1.(2013山西中考,3,)下图是一个长方体包装盒,则它的表面展开图是()答案答案A根据长方体及其外表展开图的特点可知根据长方体及其外表展开图的特点可知,两个大的长方形和两个大的长方形和两个小的长方形交织排列两个小的长方形交织排列,上下两个盒盖与大长方形相连上下两个盒盖与大长方形相连,且不在同一且不在同一侧侧.应选应选A.2.(2016山东枣庄中考,6,)有3块积木,每一块的各面都涂上不同的颜色,3块的涂法完全相同.现把它们摆放成不同的位置(如图),请你根据图形判断涂成绿色一面的相对面的颜色是()A.白B.红C.黄D.黑答案答案C根据题图可知根据
17、题图可知,与涂绿色的面相邻的四个面上的颜色分与涂绿色的面相邻的四个面上的颜色分别为白、黑、蓝、红别为白、黑、蓝、红,从题图可知涂黄色的面为第六个面从题图可知涂黄色的面为第六个面,即为涂绿即为涂绿色的面的相对面色的面的相对面,应选应选C.3.(2014山东菏泽中考,5,)过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面,形成如图所示的几何体,其正确展开图为()答案答案B选项A、C、D折叠后都不符合题意.1.有一个正六面体骰子,放在桌面上,将骰子沿1-2-11中箭头所示方向滚动,每滚动90算一次,则滚动第2016次后,骰子朝下一面的点数是.图1-2-11答案答案4解析解析观察图形知道点数3和点数4相
18、对,点数2和点数5相对,且四次一循环,20164=504,滚动第2016次后朝上一面的点数为3,朝下一面的点数为4.2.(2018福建福安环城期中)(1)如图1-2-12所示的长方体,长、宽、高分别为4、3、6,若将它的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,则下列图形中,可能是该长方体表面展开图的有(填序号);图1-2-12图1-2-13(3)第(1)题中长方体的表面展开图还有不少,聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗?请画出这个表面展开图,并求它的外围周长.(2)图1-2-13A、B分别是题(1)中长方体的两种表面展开图,求得图1-2-13A的外围周长为52,请你求出图1-2-13B
19、的外围周长;解析解析(1).(2)外围周长为64+44+36=58.(3)能,如图:外围周长为68+44+32=48+16+6=70.(提示:外围周长最大,则棱长为6的棱都剪开)1.回答下列问题:(1)如图所示的甲、乙两个平面图形能折成什么几何体?(2)由多个平面围成的几何体叫做多面体.若一个多面体的面数为f,顶点个数为v,棱数为e,分别计算第(1)题中两个多面体的f+v-e的值.你发现了什么规律?解析解析(1)题图甲折叠后底面和侧面都是长方形,所以是长方体;题图乙折叠后底面是五边形,侧面是三角形,所以是五棱锥.(2)甲:f=6,e=12,v=8,f+v-e=2;乙:f=6,e=10,v=6,
20、f+v-e=2.规律:顶点数+面数-棱数=2.2.如图,给出的正多边形的边长都是20cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案,把剪拼线段用粗黑实线表示,在图中标注出必要的符号和数据,并作简要说明).(1)将图中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型,使它的表面积与原正方形面积相等;(2)将图中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型,使它的表面积与原正三角形的面积相等;(3)将图中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型,使它的表面积与原正五边形的面积相等.解析解析(1)将图中四个角上的4个小正方形剪下,拼成一个正方形,作为直四棱柱的一个底面.(2)将图中三个角上的3个四边形剪下,拼成一个正三角形,作为直三棱柱的一个底面.(3)将图中五个角上的5个四边形剪下,拼成一个正五边形,作为直五棱柱的一个底面.
