1、 - 1 - 辽宁省葫芦岛市第六中学 2019 届高三数学上学期开学考试（ 8 月）试题 文 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 12 小题，每 小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
2、 1 复数 22i1i?等于 （ ） A 4i B 4i? C 2i D 2i? 【答案】 C 【解析】? ?2 2 22 i 4 i 4 2i1 i 2 i1i ? ? ? ? ?， 故选 C 2 已知集合 ? ?|3A x y x? ? ?， ? ?0,1,2,3,4B? ，则 AB? （ ） A ? B ? ?0,1,2 C ? ?0,1,2,3 D ? ? ? ?,3 4? 【答案】 C 【解析】 集合 ? ? ? ?| 3 | 3A x y x x x? ? ? ? ?， ? ?0,1,2,3,4B? ， ? ?0,1,2,3AB? ， 故选 C 3 函数 ln co s22y x
3、x? ? ? ? ? ?的图象是 （ ） - 2 - A B C D 【答案】 B 【解析】 由题得 ? ? ? ? ? ?l n c o s l n c o sf x x x f x? ? ? ? ?，所以函数 ?fx是偶函数， 所以图像关于 y 轴对称，所以排除 A， C 由题得 1ln 032f ?，所以 D 错误， 故答案为 B 4 已知两个单位向量 a 和 b 夹角为 60? ，则向量 ?ab在向量 a 方向上的投影为 （ ） A 1? B 1 C 12?D 12【答案】 D 【解析】 1co s6 02? ? ? ?a b a b， 则向量 ?ab在向量 a 方向上的投影为 ： ?
4、 ? 2 1c o s2? ? ? ? ?a a ba b aab aa 故选 D 5 已知双曲线 22 1( 0)6xy mmm? ? ?的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为 （ ） A 22124xy?B 22148xy?C 22 18yx ?D 22128xy?【答案】 D 【解析】 双曲线 22 1( 0)6xy mmm? ? ?的虚轴长是实轴长的 2 倍， 可得 2 = 6mm? ，解得 2m? ，则双曲线的标准方程是 22128xy? 故选 D - 3 - 6 从甲、乙、丙、丁四人中随机选出 人参加志愿活动，则甲被选中的概率为 （ ） A 14B 13C 12D 23【
5、答案】 C 【解析】 从甲、乙、丙、丁四人中随机选出 人参加志愿活动， 包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁 6 种情况， 甲被选中的概率为 3162?故选 C 7 学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远执行如图所示的程序框图，若输入 64x? ，则输出的结果为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 C 【解析】 输入 64x? ， 1i? ， 64 0x?，21 log 64 32x?， 1 1 2i? ? ? ； 30x? ， 21log 32x? ， 2 1 3i? ? ? ； 21 log 3 02x?，221 log (log
6、3)2x ?， 3 1 4i? ? ? ； 221 lo g (lo g 3 ) 02x ?，结束运算，输出 4i? ， 故选 C 8 在 ABC 中， 1a? ， 3b? ，6A?，则角 B 等于 （ ） A3?或 23?B 23?C3?D4?【答案】 A - 4 - 【解析】 1a? ， 3b? ，6A?， 由正弦定理得：sin sinabAB? 则 13s in 32s in 12bAB a ? ? ?， 又 0 B? ? ， ba? ， 3B?或 23? 故选 A 9 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1AB BC?， 1AC 与 1BB 所成的角为 30? ，
7、则 1AA? （ ） A 3 B 3 C 5 D 6 【答案】 D 【解析】 如图所示，连接 11AC ， 11BB AA ， 11AAC? 是异面直线 1AC 与 1BB 所成的角，即 1130AAC? ? ? ， 在 1 1 1Rt ABC 中， 221 1 1 1 1 1 1 1 2A C A B B C? ? ? ? ?， 在 11Rt AAC 中，有 111 tan30ACAA ? ? ，即 111 2 6ta n 3 0 33ACAA ? ? ?故选 D 10 将函数 ? ? ? ?c o s 2 s i n 2 3 c o s 3 02 2 2x x xfx ? ? ? ? ?
8、? ?的图象向左平移3?个单位，得到函数 ? ?y g x? 的图像，若 ? ?y g x? 在 0,4?上为增函数，则 ? 的最大值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】 B 【解析】 函数 ? ? ? ?c o s 2 s i n 2 3 c o s 3 02 2 2x x xfx ? ? ? ? ? ? ?1 c o ss i n 2 3 3 s i n 3 c o s 2 s i n23xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?fx的图象向左平移 3? 个单位，得 2 s in 33yx? ? ? ?的图象 ， 函数 ? ? 2siny g x x?
9、 ； - 5 - 又 ? ?y g x? 在 0,4?上为增函数， 44T ?，即 244? ?，解得 2? ， 所以 ? 的最大值为 2 故选 B 11 函数 ?fx对任意的实数 x 都有 ? ? ? ? ? ?2 2 1f x f x f? ? ?，若 ? ?1y f x?的图像关于 1x? 对称，且 ? ?02f ? ，则 ? ? ? ?2017 2018ff?（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 【答案】 B 【解析】 因为 ? ?1y f x?的图像关于 1x? 对称， 所以 ? ?y f x? 的图像关于 0x? 对称，即 ?fx为偶函数， 因为 ? ? ? ? ? ?2 2 1
10、f x f x f? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1f f f? ? ? ? ?， 所以 ?10f ? ， ? ? ? ?2f x f x? ， 因此 ? ? ? ?2017 1 0ff?， ? ? ? ?2018 0 2ff?， ? ? ? ?2 0 1 7 2 0 1 8 2ff?， 故 选 B 12 双曲线 22:1xyEab?的半焦距为 c ， 1F ， 2F 分别为 E 的左右焦点，若 E 上存在一点 P ，使得 212 2cPF PF? ?，则 P 离心率的取值范围是 （ ） A ?1, 3? B ?3,? ? C ?1, 2? D ?2,? ? 【答案】
11、 D 【解析】 设 ? ?,Pxy ， 则 ? ? ? ? 22 2 2 2 2 212 2 1xP F P F c x y c x y x c y b x ca? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，2 2 22 2 2 2 2 2222c c cx b c a b caa? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2220ca?， 2cea? 故选 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 曲线 5e2xy ?在点 ? ?0,3 处的切线方程为 _ 【答案】 5 3 0xy? ? ? - 6 - 【解析】 5e2xy? 的导数 55e xy? ， 则在 0
12、x? 处的切线斜率为 05e 5? ? ，切点为 ? ?0,3 ， 则在 0x? 处的切线方程为 53yx? ? ，即为 5 3 0xy? ? ? 故答案为 5 3 0xy? ? ? 14 若变量 x ， y 满足约束条件 2534xyxy?，则 z x y? 的取值范围是 _ 【答案】 ? ?1,7 【解析】 作出不等式组 2534xyxy?对应的平面区域如图所示阴影部分 ABC ； 由 z x y? 得 y x z? ? ，即直线的截距最大， z 也最大； 平移直线 y x z? ? ， 可得直线 y x z? ? 经过点 ? ?3,4C 时，截距最大，此时 z 最大， 即 3 4 7z?
13、 ? ? ；经过点 A 时，截距最小，由 =4 2 =5yxy? ?，得 3 =4xy ? ?， 即 ? ?3,4A? ，此时 z 最小，为 3 4 1z? ? ? ； 即 z 的取值范围是 ? ?1,7 ， 故答 案为 ? ?1,7 15 已知 ? ?0,?， tan 2? ，则 cos2 cos?_ 【答案】 535?- 7 - 【解析】 ? ?0,?， tan 2? ， 0,2? ?， 则 22s in 1 c o s44c o s c o s? ? ?，解得 5cos5? 2 1 5 5 3c o s 2 c o s 2 c o s 1 c o s 2 15 5 5? ? ? ? ?
14、? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为 535? 16 设直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 40? ，1AB AC AA?， 120BAC? ，则此直三棱柱的高是 _ 【答案】 22 【解析】 因为球的表面积是 40? ，所以 240 4 R? ? ， 10R? ， 设 1AB AC xAA? ?，则 2 2 2 2 22 c o s1 2 0 3B C x x x x? ? ? ? ? ?， 3BC x? ， 设 ABC 的外接圆的半径为 r ，则 3 2sin120x r?， rx? 由题得 ? ?2 22 102x x?， 22x? ， 所
15、以此直三棱柱的高是 22故答案为 22 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （ 12 分） 设 nS 为数列 ?na 的前 n 项和，已知 3 7a? ， ? ?122 2 2nna a a n? ? ? ? （ 1）证明： ? ?1na? 为等比数列； （ 2）求 ?na 的通项公式，并判断 n ， na ， nS 是否成等差数列？ 【答案】 （ 1）见解析；（ 2）见解析 【解析】 （ 1）证明： 3 7a? ， 3222aa?， 2 3a? ， 121nnaa?， 1 1a? ， ? ?1111 2 2 2211nnaa n? ?
16、?， ? ?1na? 是首项为 2， 公比为 2 的等比数列 - 8 - （ 2）由（ 1）知， 12nna ? ， 21nna ?， 1 122 2212n nnS n n? ? ? ? ? ?， ? ?12 2 2 2 2 1 0nnnnn S a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 2nnn S a? ，即 n ， na ， nS 成等差数列 18 （ 12 分） 某商品要了解年广告费 x （单位：万元）对年利润 y （单位：万元）的影响，对近 4 年的年广告费 ix 和年利润 ? ?1,2, ,4iyi? ? 数据作了初步整理，得到下面的表格： 广告费 x 2 3 4 5 年 利
17、润 y 26 39 49 54 （ 1）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立 y 关于 x 的回归直线方程； （ 2）根据（ 1）的结果预报广告费用为 6 万元时的年利润 附：对于一组数据 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ， ， ? ?nnxy, ，其回归直线 y bx a?的斜率和截距的最小二乘估计分别为：? ? ? ?121?niiiniix x y ybxx?， ?a y bx? 【答案】 （ 1） 9.4 .1? 9yx?； （ 2） 6x? 时， ? 65.5y? 万元 【解析】 （ 1） 2 3 4 5 742x ? ? ?， 2 6 3 9 4 9 5 4 424y
18、 ? ? ?， 由表中数据与附中公式，得? ? ? ?12147 .5? 94niiiniix x y ybxx? ? ?， 742? 9 .4 9 .12a y bx? ? ? ? ? ?所以回归方程为 9.4 .1? 9yx? （ 2）回归方程为 9.4 .1? 9yx? 6x? 时， 9.4 6 9. .5? 1 65y ? ? ? ?万元 广告费用为 6 万元时的年利润为 65.5 万元 19 （ 12 分） 在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，已知侧棱与底面垂直， 90CAB? ? ? ， 且 1AC? ， 2AB? ， E 为 1BB 的中点， M 为 AC 上一点， 23AM AC? - 9 - （ 1）若三棱锥 11A CME? 的体积为
