1、 人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越得越远，远，从而从而能收能收看到电视节目的区域越广，电视塔高看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位（单位：km）与电视节）与电视节目信号的传播半径目信号的传播半径 r（单位：（单位：km）之）之间存间存在近似关系在近似关系 ，其中地球半径其中地球半径R6 400 km如如果两个电视塔的高分别是果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它，那么它们的们的传播半径之比传播半径之比是是 .2=rRh1222RhRh公式中公式中 中中的的 表示什么意义？表示什么意义？2R
2、h2=rRh式子式子 表示表示1222RhRh什么？什么？导入新知导入新知 1.理解二次根式的理解二次根式的概念概念.2.掌握二次根式掌握二次根式有意义的条件有意义的条件，能运用二次，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围根式的概念求被开方数中字母的取值范围.素养目标素养目标3.会利用二次根式的会利用二次根式的双重非负性双重非负性解决相关问题解决相关问题.（1）面积为面积为3 的正方形的边长为的正方形的边长为_，面积为，面积为S 的正方的正方形形的的边长为边长为_ （2）一个长方形围栏，长是宽的一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为倍，面积为130m2，则它，则它的宽为的宽为_m （3
3、）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：（单位：s）与开始落）与开始落下时离地面的下时离地面的高度高度h（单位：（单位：m）满足关）满足关系系 h=5t2，如如果用含有果用含有h 的式子表示的式子表示 t，则则t 为为_5h65S3探究新知探究新知知识点 1二次根式的定义和有意义的条件二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点特点:（1）这这些式子分别表示什么意义？些式子分别表示什么意义？5h分别表分别表示示3，S，65，的的算术平方根算术平方根 根指数都为根指数都为
4、2;被开方数为被开方数为非负数非负数.（2）这这些式子有什么共同特征？些式子有什么共同特征？探究新知探究新知在在前面前面的的问题中，得到的结果分别是：问题中，得到的结果分别是：，S35h65 根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知道，一我们知道，一个正数个正数有有两个两个平方根；平方根；0的平方根为的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或正数或0.探究新知探究新知 一般地，我们把形如一般地，我们
5、把形如 的式子叫做的式子叫做二二次根式次根式.“”.“”称为二次根号称为二次根号.(0)aa 两个必备特征两个必备特征外貌特征：含有外貌特征：含有“”内在特征：被开方数内在特征：被开方数a 0注意：注意：a可以是可以是数，数，也可以是也可以是式式.探究新知探究新知归纳总结归纳总结 例例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：解：(1)()(4)()(6)均是二次根式均是二次根式，其中，其中x2+4属于属于“非负数非负数+正正数数”的形式一定大于零的形式一定大于零.(3)()(5)(7)均不是二次根式均不是二次根式.是否含二是否含二次根号次根号被开方数
6、是被开方数是不是非负数不是非负数二次二次根式根式不是二次根式不是二次根式是是是是否否否否分析：分析：探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用二次根式的定义识别二次根式利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（；（4）;（5）;（6）；（；（7）.148.0-3(0)x x(mmnnn 0，异号，）24x 315 下列下列各式是二次根式吗各式是二次根式吗?是是是是是是是是是是巩固练习巩固练习（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）3212-不是不是38不是不是24a不是不是)0(-mm12 a不是不是223aa1-2x不是不是2431 例例2 当当x是怎样
7、的实数时是怎样的实数时,在实数范围内有意义在实数范围内有意义?2x 解：解：由由x-20，得，得x2.当当x2时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.2x【思考思考】1.当当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：解：由题意得由题意得x-10，x1.探究新知探究新知素养考点素养考点 2利用二次根式有意义的条件求字母利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围的取值范围（1）;11x 解：解：被开方数需大于或等于零，被开方数需大于或等于零，x+30，x-3.分母不能等于零，分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且且x1.归纳小结归纳小结：
8、要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数被开方数0，列不等式求解即可，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分若二次根式为分式的分母时，应同时考虑母时，应同时考虑分母不为零分母不为零.探究新知探究新知（2）.13xx【思考思考】2.当当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？221;xx223.xx解：解：(1)无论无论x为任何为任何实数，实数，当当x=1时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.(2)无论无论x为任何为任何实数，实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论无论x为为任任何
9、何实数实数，在实数范围内都在实数范围内都无无意义意义.221xx223xx222110 xxx ，探究新知探究新知归纳小结：归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当进行恰当分组凑成分组凑成含含完全平方完全平方的形式，再进行分析讨论的形式，再进行分析讨论.（1）（2）(1)单个二次根式如单个二次根式如 有意义的条件：有意义的条件：A0；A(3)多个二次根式相加多个二次根式相加如如 有意义的条件：有意义的条件：.ABN00.0ABN；(2)二次根式作为分式的分母如二次根式作为分式的分母如 有意义的条件有意义的条件：A0；BA(4)二次根式与
10、分式的和二次根式与分式的和如如 有有意义的条件：意义的条件：A0且且B0.1AB探究新知探究新知 归纳总结归纳总结二次根二次根式有式有意义的条意义的条件应用的不同类型：件应用的不同类型：x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?3x21x巩固练习巩固练习xx31（1）（2）x1x0（3）1x（4）x为全体实数为全体实数x0（5）（6）x0 x0 x-1且且x2(7)0)2(31xxx（9）12xx0 x为全体实数为全体实数(8)xx224x【新新知思知思考考】当当x 是怎样的实数时，是怎样的实数时，在实数范围内有意义？在实数范围内有意义？2x探究新知探究新知知识点 2二次根式的
11、双重非负性二次根式的双重非负性 【回回顾思顾思考考】二二次根次根式式 的被开方数的被开方数a的取值范围是什么？它的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？本身的取值范围又是什么？a因为因为x 0，所以，所以x可以为可以为任意实数任意实数.要使要使x 0，必须，必须x 0.当当a0时，时，表示表示a的算术平方根，的算术平方根，因此因此 ；当当a=0时，时，表示表示0的算术平方根，的算术平方根，因此因此 .这就是说，当这就是说，当a0时时，.0a0a0a 3x呢？呢？二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根方根.对于任意一个二次根式对于任意
12、一个二次根式 ，必须满足以下两条：，必须满足以下两条：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知表示一个数或式的算术平方根，可知 00.aa探究新知探究新知二次根式的二次根式的双重非负性双重非负性二次根式的被开方数二次根式的被开方数非负非负二次根式的值二次根式的值非负非负 归纳总结归纳总结 解：解：由题意可知由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得解得a=-3,b=2,c=1.所以所以2a-b+3c=-32-2+31=-5.探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用二次根式的双重非负性求字母的值利用二次根式的双
13、重非负性求字母的值例例1 若若 ，求求2a-b+3c的值的值.0)1(232cba提示提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.已知已知|3x-y-1|和和 互互为相反数，求为相反数，求x+4y的平的平方根方根xy24解：解：由题意得由题意得3x-y-1=0且且2x+y-4=0解得解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为的平方根为3.巩固练习巩固练习 探究新知探究新知素养考点素养考点 2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
14、二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例例2 已已知实数知实数x、y满足等式满足等式 ，求求x2-2xy+y2的值的值.533xxy解：解：由题意由题意得得 解得：解得：x=3.把把x=3,代入得代入得y=-5.所以所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.-xx 30,30,总结：总结：若若 ，则根据被开方数大于则根据被开方数大于等于等于0，可，可得得a=0.yaab 已已知知y=,求求3x+2y的算术平方根的算术平方根.xx 338解：解：由题意得由题意得 x=3，y=8，3x+2y=3328=25.25的算术平方根为的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为的算术平方根为
15、53 030 xx，巩固练习巩固练习 C1.使使 有意义的有意义的x的取值范围是（）的取值范围是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx33xA2.若式子若式子 在实数范围内有意义在实数范围内有意义，则，则x的取值范围是（）的取值范围是（）Ax1且且x2 Bx1 Cx1且且x2Dx112xx连接中考连接中考 3.若若 在实数范围内有意义，则在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上的取值范围在数轴上表示正确的是（）表示正确的是（）A BC Dx 2D连接中考连接中考 AD-13.当当x=_时，二次根式时，二次根式 取取最小值，其最小值最小值，其最小值 为为_1x 0课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基
16、 础 巩 固 题1.下面的式子是二次根式的是下面的式子是二次根式的是()A.B.C.D.a12a3331-212.二二次根次根式式 中的中的x的取值范围是（）的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2 42 x 4.(1)若式子若式子 在在实数范围内有意义，则实数范围内有意义，则x的取值的取值 范围范围是是_;12x(2)若式子若式子 在在实数范围内有意义，则实数范围内有意义，则x的取的取值范围是值范围是_.12xxx 1 x 0且且x2 课堂检测课堂检测 5.(1)若二次根式若二次根式 有意义，求有意义，求m的取值范围的取值范围222mmm解：解：由题意得由题意得m-20且且m2-m-20，解
17、得解得 m2且且m-1，m2，(2)无论无论x取任何实数，代数式取任何实数，代数式 都有意义，都有意义，求求m的取值范围的取值范围26xxm解：解：由题意得由题意得x2+6x+m0，即，即(x+3)2+m-90.课堂检测课堂检测m2(x+3)20，m-90，即，即m9.已知已知a，b为等腰三角形两条边长为等腰三角形两条边长，且，且a，b满足满足 ，求此三角形的周长求此三角形的周长3264baa解：解：由题意得由题意得a=3，b=4.当当a为腰长时，三角形的周长为为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当当b为腰长时，三角形的周长为为腰长时，三角形的周长为4+4+3=1130260aa，能 力
18、 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测 先先阅读，后回答问题：阅读，后回答问题：当当x为何值时，为何值时，有意义？有意义？解：由题意得解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得由乘法法则得解得解得x1 或或x0即当即当x1 或或x0时，时，有意义有意义.1x x 001 01 0 xxxx，或，1x x 课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 体会解题思想后，试着解答：当体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，为何值时，有意义？有意义？221xx解：解：由题意得由题意得则则 解得解得x2或或x ，即当即当x2或或x 时时，有意义有意义2021xx，202021 021 0 xxxx，或，1212221xx课堂检测课堂检测 二次二次根式根式有意义的有意义的条件和非条件和非负性负性二次根式二次根式的 定 义的 定 义在有在有意义意义条件条件下求下求字母的取字母的取值范围值范围抓住被开方数必须为非抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式负数，从而建立不等式或不等式组求出其或不等式组求出其解解集集二次根式二次根式的的双重非双重非负性负性二次根二次根式式 中中,a0且且 0aa课堂小结课堂小结形形如如 的的式子叫做式子叫做二次二次根式根式(0)aa 课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习
