1、 1 上海市十二校 2017 届高三数学 12 月联考试题 一 . 填空题 1. 已知集合 1,2,4A? ， ,4Ba? ，若 1,2,3,4AB? ，则 AB? 2. 已知函数 ( ) sin( )5f x kx ?的最小正周期是 3? ，则正数 k? 3. 复数 12aiz i? ? ( 0)a? ，其中 i 为虚数单位， | | 5z ? ，则 实数 a? 4. 已知向量 (1,2)a? ， ( , 2)bx?，且 ab? ，则实数 x? 5. 已知等差数列 na 中 ， 4610aa?，若前 5 项的和 5 5S? ，则其公差为 6. 已知 (1,1)A 、 (1,3)B 、 (3,
2、5)C ，则 AB 在 AC 方向上的投影是 7. 已知函数 212, 0(),0xxfxxx? ? ?的反函数为 1()fx? ，则 1(18)f? ? 8. 已知点 (1,0)A 、 (1,1)B ，若直线 1y kx?与线段 AB 有公共点，则实数 k 的取值范围 是 9. 函数 2 2y x x a? ? ?的定义域为 R ，值域为 0, )? ，则实数 a 的取值集合为 10. 已知函数 23( ) lo g lo g 2f x a x b x? ? ?，若 1( ) 42016f ? ，则 (2016)f ? 11. 命题 :| 1| 3Ax?，命题 : ( 2)( ) 0B x
3、x a? ? ?，若 A 是 B 的充分而不必要条件，则实 数 a 的取值范围是 12. 如图，直线 OA 、 AB 与 x 轴正方向的夹角分别为 ? 和 30? ， | | | | 2OA AB?， (0, )2? ，则 AB 的坐标是 13. 如果函数 ( ) sin( )4f x x ?( 0)? ，在区间 (1,0)? 上有且只有一条平行于 y 轴的 对称轴，则 ? 的取值范围是 14. 如图，在此表格中，每格填上一个数，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 并且所有公比相等，则 abc? ? ? 2 二 . 选择题 15. 若复数 z 满足方程 2 20z ? ，则 3z? （
4、 ） A. 22? B. 22? C. 22i? D. 22i? 16. “ 2 60xx? ? ? ”是“ 3x? ”的 （ ） 条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非 必要 17. 已知数列 na 是无穷等差数列， nS 是它的前 n 项和，且 limnn S? 存在，这样的等差数列 （ ） A. 不存在 B. 有且仅有一个 C. 存在且不唯一 D. 有无穷多个 18. 若点 00( , )Px y 00( 0)xy? 在函数 ()y f x? 的图像上， 1()y f x? 为函数 ()y f x? 的反 函数，设 1 0 0( , )P y x 、 2
5、 0 0( , )P y x? 、 3 0 0( , )P y x? 、 4 0 0( , )P y x?，则有 （ ） A. 点 1P 、 2P 、 3P 、 4P 有可能都在函数 1()y f x? 的图像上 B. 只有点 2P 不可能在函数 1()y f x? 的图像上 C. 只有点 3P 不可能在函数 1()y f x? 的图像上 D. 点 2P 、 3P 都不可能在函 数 1()y f x? 的图像上 三 . 解答题 19. 设 1z 是虚数，2111zzz?是实数，且 211z? ? ? ； （ 1） 求 1|z 的值以及 1z 的实部的取值范围； （ 2）若 1111 zz? ?
6、 ? ，求证： ? 为纯虚数； 3 20. 已知向量 13( , )22a?， (2 cos ,2 sin )b ? ， 0 ? ； （ 1） 若 a b ，求角 ? 的大小 ； （ 2） 若 | | | |a b b? ，求 sin? 的值； 21. 如图，某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园，已知角 A 为 120? ， AB 、 AC 的长度均大于 200 米，现在边界 AP 、 AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆； （ 1） 若围墙 AP 、 AQ 总长度为 200 米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大？ （ 2） 已知 AP 段围墙高 1米， AQ
7、 段围墙高 1.5 米，造价均为每平方米 100元，若造围墙用 了 20000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 22. 已知椭圆 2 2 19x y?； （ 1） 若该椭 圆的焦点为 1F 、 2F ，点 P 是该椭圆上一点，且 12FPF? 为直角，求点 P 坐标 ； （ 2） 若椭圆方程 2 2 19x y?同时满足条件 0xy? ，则由此能否确定 y 关于 x 的函数关系 式？若能，请写出 ()y f x? 的解 析式，并写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，只需写出结论；若不能，请写出理由； 4 23. 已知 na 、 nb 、 nc 都是各项不为零的数列，且满足 1 1 2 2
8、 n n n na b a b a b c S? ? ? ?， *nN? ，其中 nS 是数列 na 的前 n 项和， nc 是公差为 d ( 0)d? 的等差数列； （ 1）若数列 na 是常数列 ， 2d? ， 2 3c? ，求数列 nb 的通项公式； （ 2）若 nan? （ ? 是不为零的常数），求证：数列 nb 是等差数列； （ 3）若 11a c d k? ? ? （ k 为常数， *kN? ）， n n kbc? （ 2n? ， *nN? ），求证：对任 意的 2n? ， *nN? ，数列 nnba 单调递减； 5 参考答案 一 . 填空题 1. 4 2. 6 3. 5? 4.
9、4 5. 2 6. 4557. 4 8. 1,0? 9. 1 10. 0 11. 4a? 12. ( 3,1) 13. 1544? 14. 272 二 . 选择 题 15. C 16. A 17. B 18. D 三 . 解答题 19.（ 1） 1| | 1z ? ， 1122a? ? ? ；（ 2）略； 20.（ 1） 23? ；（ 2） 15 38?； 21.（ 1） 100AP AQ?， 2500 3S? ；（ 2） 2007AP? ， 8007AQ? ； 22.（ 1） 3 14 2( , )44， 3 14 2( , )44?， 3 14 2( , )44?， 3 14 2( , )44?； （ 2）229 , 3 039 , 0 33x xyx x? ? ? ? ? ? ?，定义域 ( 3,0) (0,3)? ，值域 ( 1,0) (0,1)? ， 为奇函数，在 (3,0)? 和 (0,3) 上单 调递增； 23.（ 1） 43nbn?；（ 2）公差为 32d ；（ 3）略；
