1、 - 1 - 2018 年德阳五中高三第一次月考数学理科试题 一选择题： （本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1.已知集合 ? ? ? ?22| 1 , | 3 2 0M x x N x x x? ? ? ? ? ?,则 MN? A. ? ?1,2 B. ?1 C. ? ?1,2? D. ? ?1,1,2? 2.实数 2aii? (a 为实数 )的共轭复数为 A. 1 B. 5? C. 1? D. i? 3.以下四个命题中其中真命题 个数是 为了了解 800 名学生的成绩 ,打算从中抽取一个容量为 40 的样本 ,考虑用系统抽样 ,则分段
2、的间隔 k 为 40 ; 线性回归直线 ? ?y bx a?恒过样本点的中心 ? ?,xy ; 随机变量 ? 服从正态 分布 ? ? ?22, 0N ?,若在 ? ?,1? 内取值的概率为 0.1 ,则在 ? ?2,3内的概率为 0.4 ; 若事件 M 和 N 满足关系 ( ) ( ) ( )P M N P M P N? ? ?,则事件 M 和 N 互斥 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,点 ? ?1008 1010,aa 在直线 20xy? ? ? 上 ,则 2017S ? A. 4034 B. 2017 C. 1008 D. 10
3、10 5.抛物线 2:4C y x? 的焦点为 F ,准线为 l ,P 为抛物线 C 上一点 ,且 P 在第一象限 , PM l? 点 M ,线段 MF 与抛物线 C 交于点 N ,若 PF 的斜率为 34 ,则 MNNF? A. 10 B. 5 C. 52 D. 102 6.知 ,xy满足不等式组 22yxxyx?,则目标函数 2Z x y?的最大值为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7.已知 a ,b 为平面向量 ,若 ab? 与 a 的夹角为 3? ,ab? 与 b 的夹角为 4? ,则 aab?A. 21? B. 62? C. 31? D. 63 - 2 - 8.某程序框图如
4、图所示 ,若输出的 120S? ,则判断框内应为 A. 4?k? B. 5?k? C. 6?k? D. 7?k? 9.一个三棱锥的三视图如图所示 ,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 A. 3 B. 5 C. 4 D. 14 10. 已知函数 ( ) 2 s in ( 2 ) c o s ( 2 )44f x x x? ? ? ?,把函数 ? fx的图象向右平移 8? 个单位 ,得到函数 ?gx的图象 ,若 12,xx是 ? ? 0g x m?在 0,2?内的两根 ,则 ? ?12tan xx? 的值为 A. 255 B. 12 C. 2 D. 255? 11. 已 知 函 数 1( ) 2
5、ln ( )( )f x x a x a Rx? ? ? ?, 当 12, (0, )xx? ? 时 , 不 等 式12 1221( ) ( ) ( ) 0f x f x xxxx? ? ?恒成立 ,则 a A.有最大值 1? ,无最小值 B.有最小值 1? ,无最大值 C.有最大值 e? ,无最小值 D.有最小值 e? ,最大值 1? 12.定义在 ? ?1,? ? 上的单调函数 ?fx,对于任意的 ? ?1,x? ? ? , ? ? 0xf f x xe?恒成立 ,则方程 ? ? ? ?f x f x x? ? ?的解所在的区间是 A. 11,2?B. 10,2?C. 1,02?D. 1,
6、12?二填空题： （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 5(2 )xx? 的展开式中 , 3x 的系数是 _.(用数字填写答案 ) - 3 - 14.设 1F 、 2F 分别是双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的左右焦点 ,点 ? ?,Mab ,若12 30MFF?,则双曲线的离心率为 _. 15.已知数列 121, , ,9aa 是等差数列 ,数列 1 2 31, , , ,9b b b 是等比数列 ,则 212baa? 的值为 _ 16.已知函数 ? ? ? ? ?2322 2 , 03 3 , 0x a x xfx x a x a
7、x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?,i i iP x f x ( 1i? ,2 ,3 ,其中 1x , 2x ,3x 互不相等 )处的切线互相平行 ,则 a 的取值范围是 三解答题： （共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1731 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共 60 分。 17.在 ABC? 中 ,角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc,已知 ? ? 2sin 2 sin24CAB ? ? ?. (1)求 sin cosAB的值 ; (2)若
8、 233ab? ,求 B . 18.4 月 23 日是世界读书日 ,为提高学生对读书的重视 ,让更多的人畅游于书海中 ,从而收获更多的知识 ,某高中的校学生会开展了主题为 “ 让阅读成为习惯 ,让思考伴随人生 ” 的实践活动 ,校学生会实践部的同学随即抽查了学校的 40 名高一学生 ,通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书 ,来了解在校高一学生的读书习惯 ,得到如表列联表 : 喜欢读纸质书 不喜欢读纸质书 合计 男 16 4 20 女 8 12 20 合计 24 16 40 (1)根据如表 ,能否有 99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系 ? (2)从被抽查的 16 名不喜欢读纸质
9、书籍的学生中随机抽取 2 名学生 ,求抽到男生人数 ? 的分布列及其数学期望 ?E? . 参考公式 : ? ? ? ? ? ? ? ?22 ()n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?,其中 n a b d? ? ? ? . 下列的临界值表供参考 : - 4 - ? ?2P K k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010? 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.8415.024 6.635 7.879 10.828 19.在如图所示的几何体中 ,四边形 ABCD 是菱形 , ADNM 是矩形 ,平面 ADNM? 平面ABCD , 6
10、0DAB?, 2AD? , 1AM? ,E 是 AB 中点 . (1)求证 : /AN 平面 MEC ; (2)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P EC D?的大小为 6? ?若存在 ,求出 AP 的长 h ;若不存在 ,请说明理由 . 20.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 22 ,若圆 2 2 2x y a?被直线20xy? ? ? 截得的弦长为 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程 ; (2)已知点 A 、 B 为动直线 ? ?1y k x?, 0k? 与椭圆 C 的两个交点 ,问 :在 x 轴上是否存在定点 M ,使得 MAMB? 为
11、定值 ?若存在 ,试求出点 M 的坐标和定值 ;若不存在 ,请说明理由 . - 5 - 21.已知函数 4( ) 1 4mx x? ? , 2() xn x e? . (1)求曲线 ()mx在点 ? ?2, 1? 处的切线方程 ; (2)若函数 ( ) ( ) ( )f x m x n x?,求 f()x 的单调区间 ;并证明 :当 2x? 时 , ( ) 4 0xn x x? ? ?; (3)证明 :当 0,1)a? 时 ,函数2( ) ( 3 )( ) ( 2 )( 2 )n x a xg x xx? ? ?有最小值 ,设 ?gx最小值为? ha ,求函数 ? ha 的值域 . （二）选考
12、题：共 10 分，请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中 ,以 O 为极点 , x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 ,取相同的长度单位 ,已知曲线 C 的极坐标方程为 2 5sin? ,直线 l 的参数方程为232252xtyt? ? ?(t 为参数 ). (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程 . (2)若 ? ?3, 5P 直线 l 与曲线 C 相交于 M ,N 两点 ,求 PM PN? 的值 . 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知函数
13、? ? 3f x x x? ? ?. (1)解不等式 ? ?20f x x? ? ?; (2)若关于 x 的不等式 ? ? 2 2f x a a?在 R 上的解集为 R ,求实数 a 的取值范围 . 参考答案 一选择题： 1 5： DCDBA 6 10： BCBDC 11 12： AA - 6 - 二填空题： 13： 10 14： 2 15： 310 16： ? ?1,2? 三解答题： 17.解： (1). ? ? ? ?s i n 1 c o s 1 s i n 1 s i n 2 s i n c o s 12A B C C A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1sin
14、cos 2AB? (2). sin 2 3sin 3AaBb? , 由 (1)知 2 3 3 1s in c o s s in c o s s in 23 3 2A B B B B? ? ?, 3sin2 2B? ? ?2 0,B ? 2 3B ?或 23? , 6B ?或 3? . 18.解： (1).根据表中数据 ,计算随机变量 : ? ? ? ? ? ? ? ?22 ()n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? ?24 0 1 6 1 2 8 4 6 .6 6 7 6 .6 3 52 4 1 6 2 0 2 0? ? ? ? ? ? ? ?, 所以能有 99
15、%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系 . (2). ? 的可能取值为 0、 1、 2,则： ? ? 212216 110 20CP C? ? ? ?, ? ? 1112 4216 21 5CCP C? ? ? ?, ? ? 24216 12 20CP C? ? ? ?, 所以 ? 的分布列为 ? 1 2 3 P 1120 25 120 所以 ? 的数学期望为1 1 2 1 10 1 22 0 5 2 0 2E ? ? ? ? ? ? ? ?. 19.解： (1).证明 : 设 CM 与 BN 交于 F ,连接 EF . F 是由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形 ,所以BN 的中点
16、. 因为 E 是 AB 的中点 ,所以 /AN EF .又 EF? 平面 MEC ,AN? 平面 MEC , 所以 /AN 平面 MEC . (2).由于四边形 ABCD 是菱形 , E 是 AB 中点 ,可得 DE AB? . 又四边形 ADNM 是矩形 ,面 ADNM? 面 ABCD , DN? 面 ABCD , - 7 - 如图建立空间直角坐标系 D xyz? ,则? ?0,0,0D , ? ?3,0,0E , ? ?0,2,0C , ? ?3, 1,Ph? , ? ?3, 2,0CE ?, ? ?0, 1,EP h? , 设平面 PEC 的法向量为 1 ( , , )n x y z?
17、,则 1100CE nEP n?, 3 2 00xyy hz? ? ?, 令 3yh? ? ?1 2 , 3 , 3n h h?, 又平面 ADE 的法向量? ?2 0,0,1n ? , 121221233c o s , 273nnnnnn h? ? ? ? ?,解得 7 17h?, 在线段 AM 上是否存在点 P ,当 77h? 时使二面角 P EC D?的大小为 6? . 20.解： (1).圆 2 2 2x y a?的圆心 ? ?0,0 到直线 20xy? ? ? 的距离 0212d?, 222 2 1a?,解得 2 2a? ,又 22ca? , 2 2 2a b c?,联立解得 : 2
18、 2a? , 1cb? . 椭圆 C 的标准方程为 : 2 2 12x y?. (2).假设在 x 轴上存在定点 ? ?,0Mm ,使得 MAMB? 为定值 . 设 ? ?11,Ax y , ? ?22,B x y ,联立 ? ?22112y k xx y?,化为 ? ?2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ?, 则 212 2412kxx k?, 212 22212kxx k?, MAMB? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2,x m y x m y x m x m y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21
19、 2 1 211x m x m k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 2 1 21 k x x m k x x m k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222 2 2 2222 2 41 1 2 1 2kkk m k m kkk? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 222 4 +1 + m -212k m mk? , 令 ? ?222 4 1 2 2m m m? ? ? ?,解得 54? . 因此在 x 轴上存在定点 5,04M?使得 MAMB? 为定值 716? . - 8 - 21.解： (1).因为 /24() ( 4)mx x? ?,所以所求切线的斜率为 1,所求切线方程为 10xy? ? ? (2).证明 :因为 4( )
