1、 1 2017-2018 学年上学期高三（ 18届）数学学科 第一次月考试卷 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1、 设集合 6,5,4,3,2,1?U ， 3,2,1?A ， 6,5,2?B ，则 )( BCA U? 等于（ ） （ A） 2 （ B） 3,2 （ C） 3 （ D） 3,1 2、 已知集合 ? ?2log , 1A y y x x? ? ?，集合1( ) , 12 xB y y x? ? ?，则 AB? （ ） A12yy?B10 2yy?C ? ?1yy? D1 12yy?3、 已知 p 、 q 为命题，命题 “ ()pq?” 为假命题，则（ ） A
2、p 真且 q 真 B p 假且 q 假 C p ， q 中至少有一真 D p ， q 中至少有一假 4、 半径为 2，圆心角为 3? 的扇形的面积为 （ ） A 34? B 32? C ? D 3? 5、 在 ABC 中，若 30A? ， 8a? ， 83b? ，则 ABCS? 等于 （ ） A 323 B 163 C 323 或 163 D 123 6、已知 函数? ? )0(log )0(3)(2 xxxxf x ，那么 )41(ff 的值为 ( ) A 9 B 91 C 9? D 91? 7、 三个数 6.05 , 56.0 , 5log6.0 的大小顺序是 ( ) A. 6.06.05
3、 55log6.0 ? B. 5log56.0 6.06.05 ? C. 6.056.0 56.05log ? D. 56.06.0 6.055log ? 8、 函数9() 3x x afx ?的图像关于原点 对称，( ) lg( 10 1)xx bx? ? ?是偶函数，则?ba（ ） A.1 B. 1? C. 2D. 2 9、 函数 ? ?3 2xy x x? 的图象大致是（ ） A B C D 10. 11、 设函数 ? ? sinf x x x? ，若12,22xx ?，且 ? ? ? ?12f x f x? ，则（ ） A 12xx? B 120xx? C 12xx? D 2212xx
4、? 12、 已知函数2 3 4 2015( ) 1 2 3 4 2015x x x xf x x? ? ? ? ? ? ?则下列结论正确的是（ ） A()fx在(,1)上恰有一个零点 B.()fx在(0,1)上恰有两个零点 C. 在,0)?上恰有一个零点 D. 在,0)?上恰有两 个零点 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13、 定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 ( 3) ( )f x f x? ， 当 01x?时， ( ) 2xfx? ， 则 (2)f ? 14、 函数 的增区间是 ._ 15、 若实数 t 满足 ()f t t? ，则称 t 是函数 ()ft的一个次不
5、动点 .设函数 ( ) lnf x x? 与函数()xgx e? 的所有次不动点之和为 m ，则 m? _. 3 16、 若函数 f(x) 2 , 0ln , 0x axxx? ? ?有两个不同的零点，则实数 a的取值范围是 _ 三、解答题（每题 12 分，共 70分） 17、 如图所示 ,某市政府决定在以政府大楼 O 为中心 ,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆 .为了充 分利用这块土地 ,并考虑与周边环境协调 ,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上 ,图书馆的正面要朝市政府大楼 .设扇形的半径OM R? , 45MOP?,OB 与 OM 之间的夹角为 ? .
6、 (1)将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 ? 的函数 . (2)求当 ? 为何值时 ,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 ?其最大值是多少 ? (用含 R的式子表示 ) 18、 如图 ,三棱锥 P ABC? 中 ,侧面 PAC? 底面 ABC , 90APC?,且 4AB? , 2, 2 2AP PC BC? ? ?. (1)求证 :PA? 平面 PBC ; (2)若 E 为侧棱 PB的中点 ,求直线 AE与底 面 ABC 所成角的正弦值 . 19、 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的 5次预赛成绩记录如下： 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75
7、 80 90 85 （ 1）用茎叶图表示这两组数据； （ 2）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率； （ 3）求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据A B C D M O P Q F 4 你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？ 20、 设函数 ? ? ? ?23xx axf x a Re? （ 1）若 ?fx在 0x? 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?1, 1f 处的切线方程； （ 2）若 ?fx在 ? ?3,? 上为减函数，求 a 的取值范围。 21、 已知函数 ( ) lnf x x? ，
8、2( ) 1g x x?， （ 1）求函数 1( ) ( ) ( )2h x f x g x?的最值； （ 2）对于一切正数 x ，恒有 2( ) ( 1)f x k x?成立，求实数 k 的 取值组成的集合。 选做题： 请考生在第 22、 23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分 22、选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1：cos ()sinxy ? ? ? 为 参 数，曲线 C2：2 22 ()22xttyt? ? ?为 参 数. （ 1）指出 C1， C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数； （ 2）若把 C1， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得
9、到曲线 1C ， 2C .写出 1C ，2C 的参数方程 . 1C 与 2C 公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由 . 23、选修 4 5：不等式选讲 已知函数 |4|8|)( ? xxxf . （ 1）作出函数 )(xfy? 的图像； （ 2）解不等式 2|4|8| ? xx . 5 参考答案 1、【答案】 D2、【答案】 A 3、【答案】 A4、【答案】 B 5、【答案】 C 6、【答案】 B 7、【答案】 C8、【答案】 D 9、【答案】 B10、【答案】 A11、【答案】 D12、【答案】 C 13、【答案】 -2 14、【答案】 15、【答案】 0 16、【
10、答案】 (0,1 17. 【答案】解 ( )由题意可知 ,点 M为 PQ 的中点 ,所以 OM AD? . 设 OM于 BC的交点为 F,则 2 sinBC R ? , cosOF R ? . 1 c o s s in2A B O F A D R R? ? ? ?. 所以 2 s in ( c o s s in )S A B B C R R R? ? ? ? ? ?22(2 sin c o s 2 sin )R ? ? ? 2 (sin 2 1 co s 2 )R ? ? ? 222 sin (2 )4RR? ? ?, (0, )4? () 因为 (0, )4? ,则 32 ( , )4 4
11、4? ? . 所以当 2 42?,即 8? 时 ,S 有最大值 . 2max ( 2 1)SR?. 故当 8? 时 ,矩形 ABCD 的面积 S有最大值 2( 2 1)R? 18. 【答案】 (1) 证明 :由 P ABC? 知 ,PAC? ,又 ABC ,所以 90APC?, 又 4AB? , 2, 2 2AP PC BC? ? ?,所以 PA ? 所以 PBC ,即 E , 又平面 ABC 平面 ABC ,平面 ACP 平面 ABC =AC ,BC? 平面 ABC , BC? 平面 ACP ,所以 AP BC? , 又 PC BC C? ,所以 PA? 平面 PBC (2)如图 ,取 AC
12、中点 O,连接 PO、 OB,并取 OB中点 H,连接 AH、 EH, 因为 PA=PC,所以 PO AC,同 (1)易证 PO? 平面 ABC , 又 EH PO ,所以 EH? 平面 ABC , 6 则 EAH? 为 直线 AE与底 面 ABC 所成角 ,且 sin EHEAH AE? 又 1 22PO AC?,也所以有 1222EH PO?, 由 (1)已证 AP? 平面 PBC ,所以 AP PB? ,即 22 2 3 , 3P B A B A P P E? ? ? ?, 故 22 7AE PA PE? ? ?, 于是 2 1 1 4s in2 1 47EHEAH AE? ? ? ?
13、?所以 直线 AE与底 面 ABC 所成角的正弦值 为 1414 . 19. 【答案】 （ 1）作出茎叶图如下； （ 2）记甲被抽到的成绩为 x ，乙被抽到成绩为 y ，用数对 ? ?,xy 表示基本事件： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 2 , 9 5 , 8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 , 8 2 , 9 0 , 8 2 , 8 5 ,8 2 , 9 5 , 8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 , 8 2 , 9 0
14、, 8 2 , 8 5 ,7 9 , 9 5 , 7 9 , 7 5 , 7 9 , 8 0 , 7 9 , 9 0 , 7 9 , 8 5 ,9 5 , 9 5 , 9 5 , 7 5 , 9 5 , 8 0 , 9 5 , 9 0 , 9 5 , 8 5 ,8 7 , 9 5 , 8 7 , 7 5 , 8 7 , 8 0 , 8 7 , 9 0 , 8 7 , 8 5 ,基本事件总数 25n? 记 “ 甲的成绩比乙高 ” 为事件 A,事件 A包含的基本事件： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 2 , 7 5 , 8 2 , 8
15、0 , 8 2 , 7 5 , 8 2 , 8 0 , 7 9 , 7 5 , 9 5 , 7 5 ,9 5 , 8 0 , 9 5 , 9 0 , 9 5 , 8 5 , 8 7 , 7 5 , 8 7 , 8 0 , 8 7 , 8 5 , 事件 A包含的基本事件数 12m? ， 所以 ? ? 1225mPA n? 所以 甲的成绩比乙高的概率 为 1225 （ 3） 1 7 0 1 8 0 3 9 0 1 9 2 2 7 5 8 55x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲 （ ）， 1 (7 0 1 8 0 2 9 0 2 5 0 5 0 5 ) 8 55x? ? ? ?
16、? ? ? ? ? ? ? ? ?乙 7 2 2 2 2 2 21 (7 9 8 5 ) ( 8 2 8 5 ) ( 8 2 8 5 ) ( 8 7 8 5 ) ( 9 5 8 5 ) 3 1 . 65S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲 2 2 2 2 2 21 (7 5 8 5 ) ( 8 0 8 5 ) ( 8 0 8 5 ) ( 9 0 8 5 ) ( 9 5 8 5 ) 5 05S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙 22,x x s s?乙甲 乙甲 ， ?甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 . 20. 【答案】（ 1） 0a? ，切线方程为 30x ey-=；（
17、 2） 9 , )2? ? . 试题分析：试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得( )fx? 23 (6 )xx a x ae? ? ? ?，由已知得 (0) 0f ? ，可得 0a? ，于是有23( )= ,xxfx e236()xxxfx e? ?， 3(1)f e? ， 3(1)f e? ，由点斜式可得切线方程；（ 2）由题意 ( ) 0fx? 在 3, )? 上恒成立，即 2( ) 3 (6 )g x x a x a? ? ? ? ?0? 在 3,? 上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由 6 36(3) 0ag? ? ?得 92a? 试题解析：（
18、1）对 ()fx求导得 ? ? ? ? ? ? ?2 2263 36() xxxxx a e x a x e x a x afxee? ? ? ? ? ? ? ? 因为 ()fx在 0x= 处取得极值，所以 (0) 0f? ? ，即 0a= . 当 0a= 时， 23( )= ,xxfx e236()xxxfx e? ?,故 33(1)= , (1)ffee? ?,从而 ()fx在点1 (1)f（ ， ） 处的切线方程为 33( 1)yxee- = - ,化简得 30x ey-= （ 2）由（ 1）得， ? ?236()xx a x afx e? ? ? ? ?, 令 ( )2g ( ) 3 6x x a x a= - + - + 由 g( ) 0x = ，解得 22126 3 6 6 3 6=,66a a a axx- - + - + +=. 当 1xx ,故 ()fx为增函数； 8 当 2xx 时， g( ) 0x 1时 不满足题意。当 时，当 时 恒成立，函数递增； 当 时 恒成立，函数 递减。 所以 ;即 的最大值 令 ,则 令函数 , 所以当 时，函数 递减；当 时，函数 递增；所以函数
