1、 - 1 - 2017 届高三年级第二学期周考（ 13） 数 学 试 题 注意事项： 1本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 参考公式： 锥体体积公式： 13V Sh? ，其中 S 为底面积， h 为高 . 一、填空 题 （本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1 已知全集 ? ?1,0,2U ? ，集合 ? ?1,0A? ，则 ACU = 2设 复数 z
2、满足 izi ? 3 （ i 为虚数单位 ）， 则 ?|z 3 某高 级中学 高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人 、 700 人 、 700 人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况， 现用分层抽样的方法 抽取了容量为 100的样本，则高三年级应 抽取 的 学生 人数为 4 若命题 “ 2 2 0t R t t a? ? ? ? ?， ” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 5 甲、乙两组各有三名同学， 他 们在一次测试中的成绩 分别为： 甲组： 88、 89、 90；乙组： 87、 88、 92. 如果分别从甲、乙两 组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值 不超过 3
3、的概率是 6 执行如图所示的伪代码，输出 i 的值为 7设 抛物线 2 8yx? 的焦点与双曲线 222 1( 0)yxbb? ? ?的右焦点重合，则 b = 1020232PrintiSWhile SSSiiEnd Whilei?第 6 题图 - 2 - 8设 ,xy满足 0| | | | 1yyxxy?，则 z x y? 的最大值为 9将函数 sin(2 )3yx?的图象向左平移 ( 0)? 个单位后，恰好得到函数的 sin2yx? 的图象，则 ? 的最小值为 10 已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的所有棱 长 都为 2，点 ,PQ分别为棱 1,CC BC 的中点，则四面体 11
4、A BPQ? 的体积为 11设 数列 ?na 的首项 1 1a? ，且满足 2 1 2 12nnaa? 与 2 2 1 1nnaa?，则 20S? 12若 ,ab均为非负实数，且 1ab?，则 1422a b a b?的最小值 为 13 已知 , , ,ABC D 四点共面 ， 2BC? ， 2220AB AC?， CACD 3? ，则 BD 的最大值为 14 若实数 ,xy满足 2 3 l n ( 1 ) l n ( 2 )x x y x y? ? ? ? ? ? ?，则 xy? 二、解答题 （ 本大题共 6小题，计 90分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题
5、纸的指定区域内 ） 15 (本小题满分 14分 ) 如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，平面 11AABB? 底面 ABCD ，且 2ABC ?. （ 1）求证： 11/BC 平面 1BCD ； （ 2）求证：平面 11AABB? 平面 1BCD . 16 (本小题满分 14分 ) CD1A1B1C1DA B第 15 题图 - 3 - 设 ABC? 面积 的大小 为 S ，且 SACAB 23 ? . （ 1）求 sinA 的值； （ 2）若 4C? ， 16?ACAB ，求 AC 17. (本小题满分 14分 ) 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如
6、图中实线所示 . ABCD 是等腰梯形， 20AB? 米， CBF ?（ F 在 AB 的延长线上， ? 为锐角） . 圆 E 与 ,ADBC 都相切，且其半径长为 100 80sin? 米 . EO 是垂直于 AB 的一个立柱，则当 sin? 的值设计为多少时，立柱 EO 最矮？ A B C D E 第 17 题图 ? F O - 4 - 18 (本小题满分 16分 ) 已知 A 、 F 分别是椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左顶点、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一 动点，当 PF x? 轴时， 2AF PF? . （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2） 若 椭
7、圆 C 存在点 Q ，使得四边形 AOPQ 是平行四边形 （点 P 在 第一象限 ） ，求 直线 AP与 OQ 的斜率之积 ； （ 3）记圆 2222: abO x y ab? ?为椭圆 C 的 “ 关联圆 ” . 若 3b? ，过点 P 作椭圆 C 的 “ 关联圆 ” 的两条切线，切点为 M 、 N ，直线 MN 的横、纵截距分别为 m 、 n ，求证：2234mn?为定值 . 19 (本小题满分 16分 ) 设 函数 2( ) = ( )xf x x e a x a R?. （ 1）若函数 ()()xfxgx e?是奇函数，求实数 a 的值； （ 2）若对任意的实数 a ， 函数 ()h
8、x kx b?（ ,kb为实常数） 的图 象 与函数 ()fx的图 象总- 5 - 相切 于一个定点 . 求 k 与 b 的值 ； 对 (0, )? 上的任意实数 12,xx， 都有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x h x f x h x? ? ?，求实数 a 的取值范围 . 20 (本小题满分 16分 ) 已知数列 ?na ， ?nb 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项 视 为一项），则得到一个新数列 ?nc . （ 1） 设 数列 ?na 、 ?nb 分别 为 等差、等比数列，若 111ab?， 23ab? ， 65ab? ，求
9、 20c ； （ 2） 设 ?na 的首项为 1，各项为正整数， 3nnb? ，若新数列 ?nc 是等差数列，求数列 ?nc 的前 n 项和 nS ； （ 3） 设 1nnbq? （ q 是不小于 2 的正整数）， 11cb? ， 是否存在等差数列 ?na ，使得对任意 的 *nN? ，在 nb 与 1nb? 之间数列 ?na 的项数总是 nb ？若存在，请 给 出一个满足题意的等差数列 ?na ；若不存在，请说明理由 . - 6 - 江苏省海头高中 2017届高三年级第二学期周考（ 12） 数学附加题部分 （本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21（在 A、 B、 C、 D 四小题
10、中只能选做 2题 ,每小题 10分 ,计 20分 .请把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修 4 1：几何证明选讲） 已知 ,ABCD 是圆 O 两条 相互 垂直的直径，弦 DE 交 AB 的延长线于点 F ，若 24DE? ，18EF? ，求 OE 的长 . B.（选修 4 2：矩阵与变换） 已知矩阵 A 1002?所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲 线 1C 1 22:142xy?，求曲线 C 的方程 A C D B E F O 第 21(A)图 - 7 - C（选修 4 4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 13?. 以极点 O 为原点，极
11、轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 圆 C 的参数方程为 cossinxryr? ?（ ? 为参数） . 若直线 l 与圆 C 相切，求 r 的值 . D (选修 4 5：不等式选讲） 已知 ,abc为正实数，且 3abc? ? ? ，证明： 2 2 2 3c a ba b c?. （第 22、 23 题 ,每小题 10分 ,计 20分 .请把答案写在答题纸的指定区域内） 22（本小题满分 10分） 如图， 在 四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形，面 PAD? 底面 ABCD ，且 PAD?是边长为 2 的等边三角形， 13PC? ， M 在 PC 上，且 PA 面 BD
12、M . （ 1）求直线 PC 与平面 BDM 所成角的正弦值； （ 2）求平面 BDM 与平面 PAD 所成锐二面角的 大小 . A B C D P M 第 22 题图 - 8 - 23（本小题满分 10分） 一只袋中装有编号为 1,2,3,?, n的 n个小球， 4n? ，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出 4 个小球，记取得的 4 个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为 n? ，如 4 3? ， 5 3? 或 4 ， 6 3? 或 4 或 5 ，记 n? 的数学期望为 ?fn. （ 1）求 ?5f , ?6f ； （ 2）求 ?fn. 盐城市 2017 届高三年级第三
13、次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分 . 1. ?2 2. 2 3. 35 4. ( , 1? 5. 89 6. 7 7. 3 8. 1 - 9 - 9. 56? 10. 32 11. 2056 12. 3 13.10 14. 94? 二、解答题： 本大题共 6小题，计 90分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15证明：（ 1） 在 四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 有 11/BC BC . ?4 分 又 11BC? 平面 1BCD ， BC? 平面 1BCD ，所以 11/
14、BC 平面 1BCD . ?6 分 （ 2）因为平面 11AABB? 底面 ABCD，交线为 AB ， BC? 底面 ABCD，且 BC AB? ，所以 BC? 平面 11AABB . ?12 分 又 BC? 平面 1BCD ，所以平面 11AABB? 平面 1BCD . ?14 分 16解：（ 1）设 ABC? 的三边长分别为 ,abc，由 32AB AC S?， 得 13 c o s 2 s in2b c A b c A? ，得 sin 3cosAA? . ?2 分 即 2 2 2s i n 9 c o s 9 (1 s i n )AA? ? ?，所以 2 9sin 10A? . ?4 分
15、 又 (0, )A ? ，所以 sin 0A? ，故 3 10sin 10A? . ?6 分 （ 2）由 sin 3cosAA? 和 3 10sin 10A? ，得 10cos 10A? ， 又 16AB AC?，所以 cos 16bc A? ，得 16 10bc? . ?8 分 又 4C? ，所以 s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i nB A C A C A C? ? ? ? 3 1 0 2 1 0 2 2 51 0 2 1 0 2 5? ? ? ? ?. ?10 分 在 ABC 中，由正弦定理，得 sin sinbcBC? ，即2 5 252bc?
16、， 得 104cb? . ?12 分 联立 ，解得 8b? ，即 8AC? . ?14 分 17解：方法一：如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 .因为 (10,0)B ， tanBCk ? ，所以直线 BC 的方程为 - 10 - tan ( 10)yx? ? ?， 即 ta n 1 0 ta n 0xy? ? ?. .4分 设圆心 (0, )( 0)E t t ? ，由圆 E 与直线 BC 相切， 得 2| 1 0 ta n | 1 0 ta n1 0 0 8 0 s in 11 ta nc o stt? ? ? ? ? ?，所以
17、 1 0 0 9 0 s inc o sE O t ? . .8分 令 1 0 0 9 0 sin() c o sf ? ? ， (0, )2? ， 则291 0 0 (s in )10() c o sf ? ? ? ， .10分 设0 9sin 10? ?，0 (0, )2? ?. 列表如下： ? 0(0, )? 0? 0( , )2?()f ? 0 ()f? 减 极小值 增 所以当 0? ，即 9sin 10? 时， ()f? 取最小值 . .13分 答： 当 9sin 10? 时，立柱 EO 最矮 . .14分 方法二：如图所示，延长 ,EOCB 交于点 G ，过点 E 作 EH BC? 于 H ， 则 1 0 0 8 0 s inE H R ? ? ?， H E G O B G C B
