1、 1 2017 2018学年第一学期高三年级十月份考试 理科数学试卷 本试卷分必考部分和选考两部分 必考部分 一、 选择题 (本题共 12 小题，每小题 5分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.设集合 2 | 2 3 0A x Z x x? ? ? ? ?， ? ?0,1B? ，则 ACB? （ ） A. ? ?3, 2, 1? ? ? B. ? ?1,2,3? C. ? ?1,0,1,2,3? D. ? ?0,1 2.已知 izi 32)33( ? （ i 是虚数单位），那么复数 z对应的点位于复平面内的 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第
2、四象限 3.执行如图的程序框图 ,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的 条件是（ ） A. 12s? B. 710s? C. 35s? D. 45s? 4.已知等比数列 na ，且 ? ? 40 286 16 dxxaa ，则 )2( 8648 aaaa ?的值为（ ） A. 2? B. 24? C. 28? D. 216? 5.一个几何体的三视图如图所示 ,其中正视图是一个正三角形 ,则这个几何体的外接球的表面积为 ( ) A.163 B.83 C 4 3 D. 3 6.已知函数 ? ? ?f x x R? 满足 ?11f ? ，且 ?fx的导函数? ? 13fx? ? ，则 ? ?
3、233xfx?的解集为（ ） A. | 1 1xx? ? ? B. 11| ? xxx 或 C. | 1xx? D. 1| ?xx 7.已知函数 f(x) Asin(x )(A 0， 0,0 ) 的部分图象如图所示，且 f(? ) 1， ? ? 30?，则 ? ? 652cos ? ( ) 2 A 2 23 B 2 23 C 2 23 D.13 8.已知向量 a， b 满足 a b， |a b| t|a|，若 a b 与 a b 的夹角为 23 ，则 t 的值为( ) A 1 B. 3 C 2 D 3 9.如图所示，已知二面角 ? ?l 的平面角为 ? ， PA ? ， PB ? ， A、 B
4、为垂足， 且 PA=4，PB=5，设 A、 B 到棱 l 的距离分别为 x、 y，当 ? 变化时，点（ x， y）的轨迹是下列图形中的（ ） 10.若变量 ,xy满足约束条件?022002yxyxyx ，且 ? ?7,3m? ，则 yz xm? ? 仅在点11,2A?处取得最大值的概率为（ ） A. 27 B. 19 C. 110 D. 31011.已知点 A( 2， 3)在抛物线 C： y2 2px的准线上，过点 A的直线与 C在第一象限相切于点 B，记 C的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ( ) A.12 B.23 C.34 D.43 12.已知定义在 R 上的函数 ?fx满足 ? ?
5、 ? ?20f x f x? ? ?, ? ? ? ?2f x f x? ? ?, 在-1,1上表达式为?1,0(),2co s (0,1,1)( 2xxxxxf? ,则函数 ?fx与函数 ? ? ? 0,1 0,2)(g xxxx x 的图象在区间 -3,3上的交点个数为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13.等比数列 na 的公比 0?q ，已知 12?a ， nnn aaa 612 ? ? ，则 na 的前 4 项和3 ?4S _ _ _ _ _ 14.设 0, 1ab?，若 312 1ab ab? ? ? ?， 则 的最小
6、值为 15. 若 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 ? ?2,N ? ， ( ) 0 .6 8 2 6P ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ( 2 2 ) 0 .9 5 4 4P ? ? ? ? ? ? ? ? ?，设 ? ?21,N? ，且 ? ?3 0.1587P ? ? 则 ? 16.已知数列 ?na 的首项 1am? ，其前 n 项和为 nS ，且满足 21 32nnS S n n? ? ?，若对nN? ， 1nnaa? 恒成立，则 m 的取值范围是 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该 游乐区为五边形区域
7、ABCDE，其中三角形区域 ABE为主题游乐区，四边形区域为 BCDE为休闲游乐区， AB、 BC， CD， DE， EA， BE为游乐园的主要道路（不考虑宽 度） 1 2 0 , 6 0 ,B C D C D E B A E D E? ? ? ? ? ? ?3 3 3BC CD km? （ 1） 求道路 BE的长度； （ 2） 求道路 AB， AE长度之和的最大值 18.一个不透明的袋子中装有 4个形状相同的小球，分别标有不同的数字 2， 3， 4， x ，现从袋中随机摸出 2个球，并计算摸出的这 2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。记 A事件为 “ 数字之和为 7”
8、. 试验数据如下表 ： （ ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现 “ 数字之和为 7” 的频率将稳定在它的概率附近。试估计 “ 出现数字之和为 7” 的概率，并求 x 的值； （ ）在（ ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸 2球，若数字和为 7，则可获得奖金7元，否则需交 5元。某人摸球 3次，设其获利金额为随机变量 ? 元，求 ? 的数学期望和方差 . 19.如图，在四棱锥 P ABCD? 中， 9 0 , 6 0A B C A C D B A C C A D? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， PA? 平面 ABCD ， 2, 1PA AB?. 4 (1)设点 E 为 PD 的中点
9、，求证： /CE 平面 PAB ； (2)线段 PD 上是否存在一点 N ，使得直线 CN 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 155 ？若存在，试确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由 . 20.如图，设椭圆 2222 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为 12,FF，点 D 在椭圆上，1 1 2DF FF? ， 121|22|FFDF ? ， 12DFF? 的面积为 22 . （ 1）求该椭圆的标准方程； （ 2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆 有 两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存
10、 在，请说明理由 . 21 若存在实常数 k 和 b ，使得函数 ()fx和 ()gx对其定义域上的任意实数 x 分别满足：()f x kx b?和 ()g x kx b?，则称直线 :l y kx b?为 ()fx 和 ()gx 的 “ 隔离直线 ” 已知 2()hx x? ， ( ) 2 ln (x e x e? ? 为自然对数的底数） （ 1）求 ( ) ( ) ( )F x h x x?的极值； 5 （ 2）函数 ()hx 和 ()x? 是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方 程；若不存在，请说明理由 选考部分 请考生在 22、 23题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题
11、计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知圆C：2cos2sinxy ? ?(?为参数 )，点 P在直线l：40xy? ? ?上，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （ 1） 求圆C和直线l的极坐标方程； （ 2） 射线OP交 圆 于 R，点Q在射线OP上，且满足2OP OR OQ?，求Q点轨迹的极坐标方程 23.选修 4-5 不等式选讲 若函数 ( ) 1 2 ( 0 )f x x x a a? ? ? ? ?的最小值为 2 （ 1） 求实数 a 的值； （ 2） 若 ,uv w R? ，且 u v w a? ? ? ，证明： 2 2 2 2u v
12、 w a? ? ? 6 2017 2018学年第 一 学期高三年级 十 月 份 考试 理科数学 试卷 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D A D C C D C D D 13.21514.4 2 3? 15.2 16.15( , )43? 17.（ ）如图 ，连接 BD ,在 BCD? 中，由余弦定理得： 32111211c o s2222 ? ? B C DCDBCCDBCBD , 3?BD , CDBC? , 000 302 120180 ? C B DC D B , 又 0120?CDE , 090? BDE , 所以在 BDERt?
13、中， 329322 ? DEBEBE ; （ ）设 ?ABE , 060?BAE? , ? 0120AEB , 在 ABE? 中，由正弦定理，得 BAEBEABEAEAEBAB ? s ins ins in , 460s in 32s in 0 ? BAEBE? , ? ? 0120sin4AB ， ?sin4?AE ， ? ? ?0030s i n34s i n6c o s32s i n4s i n21c o s2 34s i n4120s i n4? ?AEAB 00 1200 ? ， 000 1503030 ? ? ， ?当 00 9030 ? ，即 060? 时， AEAB? 取得最大
14、值 km34 ， 即道路 AEAB, 长度之和的最大值为 km34 . 18.（ 1）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在 0.33 附近，所以可以 估计“出现数字之和为 7”的概率为 31 2分 ? ? ?24231 CAP ?， ?A事件包含两种结果，则有 7243 ? x ， 5?x 5分 （ 2）设 ? 表示 3次摸球中 A事件发生的次数，则 ? 31,3 B?, 1313 ?E 7 3232313 ?D 8分 则 ? ? 1512357 ? ? ? ? 315121512 ? ? EEE 10 分 ? ? 961441512 ? ? DDD 12 分 (注：（ 2）问也可以利用
15、分布列去计算 数学期望和方差 ） 19. （注：（ 1）问也可建系来证明） (2)过 A 作 AF AD? ，交 BC 于 F ，又 PA? 平面 ABCD 知以 A 为原点， AF AD AP、 、分别为 x y z、 、 轴建系如图： 则 ? ? ? ? ? ? ? ?310 , 0 , 0 , , , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 , 2 ,22A B C D P?设平面 PAC的法向量 ? ?,n x y z? ， 8 由 00n APn AC?有 2030zxy?取 ? ?3, 3,0n ? 设 ? ?01PN PD? ? ?，则 ? ? ? ?
16、0 , 4 , 2 0 , 4 , 2PN ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ?3 , 1 , 2 0 , 4 , 2 3 , 4 1 , 2 2C N C P P N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2212 15s in c o s ,5, 3 4 1 2 2 1 2C N nC N nC N n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 8 0? ? ? , 12? 线段 PD 上存在一点 N ， N 为 PD 中点 20. （ 2）如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 2 2 12x y?相交， ? ? ? ?1 1 1 2 2
17、2, , ,P x y P x y是两个交点， 120, 0yy?， 11FP, 22FP是圆 C 的切线，且 11FP ? 22FP由圆和椭圆的对称性，易知 2 1 1 2,x x y y? ? 1 2 12| |.PP x? ， 由（ 1 ）知 ? ? ? ?121,0 , 1,0FF? ，所以? ? ? ?1 1 1 1 2 2 1 11 , , 1 ,F P x y F P x y? ? ? ? ?，再由 11FP ? 22FP得 ? ?2 21110xy? ? ? ?，由椭圆方程得 ? ?2 211112x x? ? ?，即 2113 4 0xx?，解得1 43x?或 1 0x? .当 1 0x? 时， 12,PP重合，此时题设要求的圆不存在 . 当1 43x?时，过 12,PP分别与 11FP, 22FP垂直的直线的交点即为圆心 C ，设 ? ?00,Cy 由 1 1 1,CP FP? 得 10 111 1,1yy yxx? ? ? ? 而 11 11,3yx? ? ? 故 0 53y? 9 圆 C 的半径 221 4
