1、 1 昌平区 2017 年高三第二次统一练习数 学 试 卷（文 科） （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 2017.5 第 卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .） 1. 设全集 ,集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， ， 故选 B. 2. 已知 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为 ， ， ， ， 故选D. 3. 若 实数 满足 则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 画出 表示的可行域， 得在直线
2、与直线 的交点 ， 由图知，目标函数 在处的最小值为 ， 故选 A. 2 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题 .求目标函数最值的一般步骤是 “ 一画、二移、三求 ” ：（ 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数 求出最值 . 4. 已知直线 和平面 ，满足 .则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 若 ，
3、， 由线面平行的判定定理可得 ，若 ， ，与 ， 可以是异面直线， “ ” 是 “ ” 的充分而不必要条件 ， 故选A. 5. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 执行程序框图， ； ； ，退出循环 ，输出 ， 故选 C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 ,（
4、 6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 . 3 6. 给定函数 ， ， ， ，其中既是奇函数又在区间 上是增函数的是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 对于 ，即不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于 ， 在 递减，不合题意； 对于 ， 是偶函数，不合题意；对于 ， ，即是奇函数，又在 上递增，合题意，故选 D. 7. 已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 恰有两个零点，等价于 与 有两个交点，同一坐标系，画出 与 的图象，直线过 时， ，直线与，相切时
5、 ，由图知， 时，两图象有两交 点，即 的取值范围是 ， 故选 C. 【方法点睛】根据 零点个数求参数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数； 转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性 ) 可确定函数的零点个数； 数形结合法： 一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法 . 4 8. 已知圆 的圆心为 ，过原点 的直线与圆交于 两点 .若 的面积为 ,则满足条件的直线有 A. 2 条 B
6、. 4 条 C. 8 条 D. 无数条 【答案】 B 【解析】 设 ， 的面积为 ， 可得或 ， 时，有 条 ， 时，有 条，共 条，故选 B. 第二卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .） 9. 设 ，若 ，则 _ . 【答案】 【解析】 , ,故答案为 . 10. 某校从高三年级中随机选取 200 名学生，将他们的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如图） . 由图中数据可知 _ .若要从成绩在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从成绩在 内的学生中选取的人数应为 _ . 【答案】 (1). (2). 【解
7、析】 直方图中各个矩形的面积之和为 ，解得 ，由直方图可知，身高在 范围内抽取的学生人数占三个区域内总人数的 ， ，故答案为 . 11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 _ . 5 【答案】 【解析】 由三视图可知，三棱锥直观图如图 ， 图中 为棱的中点，正四 棱柱底面边长为 ，高为 ，由直观图知，最长棱长为 ， 故答案为 . 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题 .三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图并将其 “ 翻译 ” 成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “ 高平齐，长对
8、正，宽相等 ” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 . 12. 双曲线 的渐近线方程为 _；若双曲线 的右焦点恰是抛物线的焦点，则抛物线 的准线方程为 _. 【答案】 (1). (2). 【解析】 ， 渐近线方程为 ， ， 双曲线右焦点为 ， 即 ， 抛物线准线方程为 ， 故答案为 ， . 13. 某校高三年级 5 个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场 .到现在为止， 1 班已经比了 4 场， 2 班已经比了 3 场， 3 班已经比了 2 场， 4 班已经比了 1 场，则 5 班已经比了 _场 . 【答案】 【解析】 设 、 、 、 分别代表 、 、 、 、
9、班， 赛了 场，则 是和 、 、6 、 每人赛了 场；由于 只赛了 场，则一定是找 赛的； 赛了 场 ， 是和 、 、 赛的 ； 赛了 场，是和 、 赛的 ； 所以此时 赛了 场，即是和 、 赛的，每班的比赛情况可以用如图表示 ： 答 ： 号已经比了 场 ， 即 班已经比了 场，故答案为 . 14. 设函数 （ 是常数， ） .若 在区间 上具有单调性，且 ，则 _. 【答案】 【解析】 一个对称中心横坐标为 ， 一条对称轴方程为 ， ， 故答案为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 15. 已知公差不为 的等差数列 的前三项和为
10、，且 成等比数列 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 (1) ;(2) 【解析】 试题分析： () 根据题意列出关于首项与公差的方程组，求出首项及公差，从而可得数列 的通项公式；（ ）由 () 可得 ，利用等比数列求和公式可得结果 . 试题解析： () 设等差数列 的首项为 ，公差为 .依题意有 即 由 ，解得 7 所以 . （ ）所以 .因为 ， 所以数列 是以 4 为首项， 4 为公比的等比数列 . 所以 . 16. 学校组织 学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力 .学校对 10 位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织
11、能力的测试，测试成绩分为 三个等级，其统计结果如下表： 语言表达能力 文字组织能力 2 2 0 1 1 0 1 由于部分数据丢失，只知道从这 10 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为 的学生的概率为 . （ ）求 ， 的值； （ ）从测试成绩均为 或 的学生中任意抽取 2 位，求其中至少 有一位语言表达能力或文字组织能力为 的学生的概率 【答案】 (1) ；（ 2） . 【解析】 试题分析： () 根据抽到语言表达能力或文字组织能力为 的学生的概率为 ，可得 ，从而可得 进而可得 ；（ ）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式及对立事件概率公式可求
12、出至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 的学生的概率 . 试题解析： () 依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为 的学生共有 人 . 所以 .所以 . （ ）测 试成绩均为 或 的学生共有 7 人，其中语言表达能力和文字组织能力均为 的有 2人，设为 ，其余 5 人设为 则基本事件空间 8 . 所以基本事件空间总数 . 选出的 2 人语言表达能力和文字组织能力均为 B 的有 . 所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 的学生的概率为 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式及对立事件概率公式，属于中档题，利用古典概型概率公式 ,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数
13、时，一定要按顺序逐个写出：先 ， ?. ，再 ， ?. 依次?. ? 这样才能避免多写、漏写现象的发生 . 17. 在 中， 的角平分线 与边 相交于点 ，且 . () 求 的长及 的值； （ ）求 的长 【答案】 (1) ；（ 2） . 【解析】 试题分析： () 先根据余弦定理可得 ，再由正弦定理可得；（ ）先根据两角和的正弦公式可得 ，再根据正弦定理可得 的长 . 试题解析： () 因为， 所以 . 因为 ， 所以 9 （ ）因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 18. 在四棱锥 中， 为正三角形，平面 平面 ， ， . （ ）求证：平面 平面 ； （ ）求三棱锥 的体积； （ ）在棱 上
14、是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，请确定点 的位置并证明；若不存在，说明理由 【答案】 (1)证明见解析；（ 2） ；（ 3）存在，证明见解析 . 【解析】 试题分析： () 先证明 ，再根据面面垂直的性质定理可得 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（ ）先根据面面垂直的性质定理可得 平面，再根据棱锥的体积公式可得结果；（ ） 为 的中点时， 平面 ，根先证明平面 平面 ，从而可得结果 . 试题解析：（ ）因为 ， ， 10 所以 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 , 所以平面 平面 . （ ）取 的中点 ,连结 . 因为 为正三角形， 所以 . 因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以 为三棱锥 的高 . 因为 为正三角形， ， 所以 . 所以 .
