1、 1 2016-2017 学年第二学期高三第 2 次月考数学试卷 一、选择题 1. 已知 表示大于 的最小整数，例如 ， ，下列命题中正确的是（ ） 函数 的值域是 ； 若 是等差数列，则 也是等差数列； 若 是等比数列，则 也是等比数列； 若 ，则方程 有 2013个根 . A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意可设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ，所以 ，因此函数 的值域是 ；方程 在区间 内只有一个根，因此在区间内有 2013个根，故答案 都是 正确的；由于 成等差数列，但 不成等差数列，故答案 是错误的；又因为 成等比数列，但 不成等比数列，故答案 也是错误的。应填
2、答案 。 点睛：解答本题的关键是运用好题设中新定义的新信息，以此进行分析推证。求解时充分利用新的定义信息，对每个命题逐一做出分析判断，从而获得答案。 2. 已知函数 ，若对任意的 ,总有 恒成立，记 的最小值为 ，则 最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由对任意的 总有 恒成立可知 ，原题意等价于恒成立，令 ，则，当 时 ， ，函数 单调递减；当， ，函数 单调递增，故 ，原题意等价于 成立， ，故 的最小值为 ，即，对其求导 ，则当 时，导数小于 0，函数递减；当 时，导数大于 0，函数递增；故当 时， 最大，最大值为 ，故选 C. 2 3. 已知 为直角坐标系的
3、坐标原点，双曲线 上有一点（ ），点 在 轴上的射影恰好是双曲线 的右焦点，过点 作双曲线 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 ， ，若平行四边形 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【 答案】 A 【解析】 设平行线方程为 ，由 ，解得 ，则，又点 到直线 的距离 ，化简得： ，又 ，又 ，解得 ，所以方程是 ，故选 A. 【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题 .求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本
4、量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 . 4. 在 中， ， ， ， 是斜边 上的两个动点，且 ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 以 ， 为 轴建立直角坐标系，则： , ，设，假设 ，因为 ，所以 ， = ，又 ， = = 所以 的取值范围为5. 已知函数 ，曲线 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为曲线 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，所3 以 又两个不同的解，即 有两个不同的解，设， ， 所以 ，函数取得最小值 当
5、，从而 的取值范围是 点睛：函数的应用，导数切线方程的综合运用，由题可知可将问题转化为导函数有两个零点的问题，借助于分离参数法方法得到一个新的函数，然后根据新函数的单调性借助数形结合研究 6. 已知抛物线的焦点 到准线的距离为 ，点 与 在的两侧， 且 ， 是抛物线上的一点， 垂直于点 且 ， 分别交， 于点 ，则 与 的外接圆半径之比为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】 由题得如图 ， ，由正弦定理得，,所以 的外接圆半径之比为 ,故选 B 点睛：考察正弦定理和三角想外接圆半径的关系，正弦定理的值是三角形外接圆的直径，做此类型得题多化草图分析理解题意 7. 已知 ，则
6、 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 4 【解析】 当 ， ，所以后不能推前，又 ，所以前推后成立，所以是充分不必要条件，故选 A. 8. 已知函数 与 的图象有三个不同的公共点 ,其中 为自然对数的底数 ,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 或 【答案】 B 【解析】 ：由 ，得 令 且 ，则 ，即 （ *）由 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，在 单调递减，且 时， ，图象如图所示由题意知方程（ *）的根有一根 必在 内，另一根 或 或 当 时，方程（ *）无意义；当 时，
7、 ， 不满足题意，所以 时，则由二次函数的图象，有，解得 ，故选 B 点睛：函数图象的应用常与函数零点、方程有关，一般为讨论函数 零点（方程 的根）的个数或由零点 (根 )的个数求参数取值（范围），此时题中涉 及的函数 的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与 有一定关系的函数 和 的图象问题，且 与的图象易得 9. 已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 , 两点 ,且 ,抛物线的准线与 轴交于点 , 于点 ,若四边形 的面积为 ,则准线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意，知 ，直线的方程为 设 ，则 ，5 由 ，得 ，即 设直线 的方程为，代入抛物线方
8、程消去 ，得 ，所以 联立 ，得 或 （舍去），所以 因为 ，将的值代入解得 ，所以直线的方程为 ，故选 A 点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解 10. 已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则（ ） A. B. C. 为减函数 D. 为增函数 【答案】 A 【解析】 令 ，则 ， 由 得 恒成立，即 在 上单调递增，当 时，得 ；当 时， 得 ， 在 中，令 ，得 ， 综上 ，故选 A. 点睛：本题主要考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调
9、性，利用函数的单调性比较函数值的大小，构造一个恰当的函数是解决本题的关键；令 ，对于求导，根据已知条件可判断出函数 在 上单调递增，先分为 和 两种情形结合单调性得符号，最后在验证 时的情形，可得结果 . 11. 函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 去特殊值法：当 时，函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则 ，当 = ，得有解即可，令： ，显然 为递增函数，当，所以必然有解，所以 成立 . 当 且 时， ，而 显然为增函数，6 所以有最大值在 0处取得为 0，而 ，所以不存在有解，所以不成立，综合的只能选择 C
10、 点睛：特殊值法，当遇到比较麻烦难解的题型时，我们可以根据备选答案信息进行对答案验证，从而得出选项 .此做法比较适用于选择题 12. 设函数 是 上的奇函数， ，当 时， ，则时， 的图象与 轴所围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由 得 ，即函数的周期为 ， 若 ，则 ，即 ， 因为函数为 上的奇函数，所以 ， 即 ， 又因为函数的周期为 ，所以当 时， ， 即 ， 当 时， ， 即 ， 当 时， ， 即 ， 综上可得 则由定积分的公式和性质，可知当 时， 的图象与 轴所围成图形的面积 ，故选 A. 点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，以
11、及利用定积分求解围成图形7 的面积，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的周期性分别求出对应的函数的解析式是解答本题的关键，试题运算量大，有一定的难度，同时正确理解和熟记函数的性质的灵活应用 是本题的一个难点 . 二、填空题 13. 已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点（ 为自然对数的底），则线段 的长度的最小值为 _ 【答案】 【解析】 圆心 ，先求 的最小值，设 ，所以以点 为切点的切线方程为 ，当 垂直切线时， ，此时点，函数图象上任意点到点 的距离大于点 到切线的距离即 ，所以 的最小值是 ，故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查圆的方程、导数的几何意义、点到直线的距离公
12、式及数学的转化与划归思想 .属于难题 . 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、 分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度 .运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点 .以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中 .本题将两点间的距离转化为圆心到切线的距离是解题的关键 . 14. 在三棱锥 中， 是边长为 3的等边三角形， ，二面角的大小为
13、120 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 _ 【答案】 【解析】 由题可得：球心 O在过底面 的中心 G的垂直底面的直线上，又二面角的大小为 120 ，取 AB的中点为 M， SB的中点为 N，故 ,又,过 M做 MH=GO，且 MH 垂直底面，所以， ,故球的半径为 ,所以球的表面积为 15. 已知函数 （ k是常数， e是自然对数的底数， e 2.71828? ）在8 区间 内存在两个极值点，则实数 k的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 由 ，得 ， 若 在区间 内存在两个极值点，则 在 内有两个解， 令 ，解得或 ，而 的值域是 ，故 ，故答案为 . 16. 某运动队对 四位运动员进行选
14、拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说： “ 是 或 参加比赛 ” ； 乙说： “ 是参加比赛 ” ； 丙说： “ 是 都未参加比赛 ” ； 丁说： “ 是 参加比赛 ”. 若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是 _ 【答案】 【解析】 根据甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测，可画出下表格： A B C D 甲 乙 丙 丁 若 A参赛，甲、乙、丙、丁四人话都错，不符；若 C参赛，甲、丙、丁三人话对，不符；若D参赛，乙、丙、丁三人话错，不符合；若 B参赛，乙、丙话对，甲、丁话错，符合；综上，参赛运动员为 B. 【点睛】 对于逻辑推理题，由于情况比较复杂，我们常用列表格
