1、1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4 全称量词与存在量词 通过通过哥德巴赫猜想的知识链接和运动会排练的情景引入新课哥德巴赫猜想的知识链接和运动会排练的情景引入新课， 激发学生学习新知的欲望激发学生学习新知的欲望，本课系统地学习了本课系统地学习了全称量词与存在量全称量词与存在量 词词、全称命题与特称命题全称命题与特称命题. .以学生自主探究为主以学生自主探究为主，学习学习全称量词全称量词 与存在量词与存在量词、全称命题与特称命题全称命题与特称命题. .探究探究怎样判断怎样判断全称命题与特全称命题与特 称命题的真假称命题的真假. .例例1 1探讨全称命题的真假判断问题探讨全称命题的真
2、假判断问题. .通过通过例例2 2探讨探讨使使 用不同的表达方法写出特称命题用不同的表达方法写出特称命题，例例3 3是辨别是辨别全称命题与特称命全称命题与特称命 题题。 对于一些像对于一些像“至少有一个至少有一个”“”“至多有至多有2 2个个”之类的存在量词之类的存在量词， 在讲解的过程中老师因注意其意义的理解在讲解的过程中老师因注意其意义的理解。还有些命题把这些量还有些命题把这些量 词省略了词省略了，讲解过程中也应注意讲解过程中也应注意。 德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数， 可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯 定了哥德巴赫猜想
3、的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和， 虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明这就是被誉 为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想200多年后我国著名数学 家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数， 都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一 个质数从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个 迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题要想正面证明 就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻 它只需“存在一个”反例 我们学校为了迎接我们学校为了迎接10月月28号的秋季田径运动会号的秋季田径运动会,正在排练由
4、正在排练由1000名学生名学生 参加的开幕式团体操表演参加的开幕式团体操表演.这这1000名学生符合下列条件：名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高二年级；）所有学生都来自高二年级； （2）至少有）至少有30名学生来自高二名学生来自高二.一班；一班； （3）每一个学生都有固定表演路线）每一个学生都有固定表演路线. 结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短 语，在逻辑上称为量词语，在逻辑上称为量词. . 预习教材，回答下列问题预习教材，回答下列问题: : 问题1：新课导入的影片中出现了“所有”、“每一个”等 词
5、语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样 的词叫做 量词，用符号“ ”表示，含有 量 词的命题，叫做 命题. 全称 全称 全称 问题2：影片中用到了“至少有30名”这样的词语， 这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 量词。并 用符号“ ”表示.含有 量词的命题叫做 命 题（或存在命题）. 存在 特称 存在 目目 标标 全称量词与全全称量词与全称命题称命题 1 存在量词与特称命题存在量词与特称命题 2 怎样判断怎样判断全称命题的真假全称命题的真假 3 怎样判断怎样判断特称命题的真假特称命题的真假 4 4 问题：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4) 之间有什么关系？ (1)
6、3x ； (2)21x 是整数； (3)3xx对所有的，； (4)21xx对任意一个，是整数 不是命题 不是命题 是命题 是命题 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，用符号“”表示含有全称量词的命题叫 做全称命题 全称量词全称量词与与全称命题全称命题 例如，命题：对任意的nZ ,2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。 都是全称命题都是全称命题 全称命题的一般形式：全称命题的一般形式： 用符号可以简记为： 成立有中任意一个对)(,xpxM )(,xpMx 全称命题的真假全称命题的真假 问题问题 1试判断以下命题试判断以下命题的真假的真假： (1)xR，x220；(2)x
7、N，x41. 解 (1)由于xR，都有 x20，因而有 x2220， 即 x220，所以命题“xR，x220”是真命题 (2)由于 0N，当 x0 时，x 41 不成立，所以命题 “xN，x41”是假命题 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定 集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定 全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一 个x0，使得p(x0)不成立即可 问题2 怎样判定一个全称命题的真假？ 判断下列全称命题的真假： (2) ； (3) (1)所有的素数是奇数 ； 反例：是素数，但不是奇数 xx ， xx 对每一个无理数 ， 也是无理数 反例： 是无理数，但 是有理数 2 ()2
8、真命题真命题 假命题假命题 假命题假命题 典例展示典例展示 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假： (2)任何实数都有算术平方根；任何实数都有算术平方根； (3) (1)每个指数函数都是单调函数；每个指数函数都是单调函数； 反例：-2是实数，但-2没有算术平方根 |xx xx 是无理数 ， 是无理数 反例： 是无理数，但 是有理数 2 ()2 真命题真命题 假命题假命题 假命题假命题 存在量词 (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”“存在一个”对变量x的取值 进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; 不是 不是 是 是 (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进
9、行 限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 关系关系: : (3)(4) 特称命题 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个xR,使2x+1=3; (4)至少有一个xZ,x能被2和3整除. 存在存在量词量词与特与特称命题称命题 定义： 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做 存在量词。 表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符 号简记为xM,p(x). 一.特称命题 1.1.存在量词及表示存在量词及表示: : 表示：用符号“”表示
10、定义：含有存在量词的命题,叫做特称命题. 2.2.特称命题及表示：特称命题及表示： 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 例如:命题（1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数. 都是特称命题. 例2.设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题 “ xR,q(x)” 解: 存在实数x,使x2=x成立. 至少有一个xR,使x2=x成立. 对有些实数x,使x2=x成立. 有一个xR,使x2=x成立. 对某个xR,使x2=x成立. 典例展示典例展示 例3 下列语句是不是全称或特称命题: (1) 有一个实数a,a不能取对数 (2) 所有不等式的解集A,都是AR (3) 三角
11、函数都是周期函数吗? (4) 有的向量方向不定 特称命题 全称命题 不是命题 特称命题 要判断特称命题“xM,p(x)”是真命题， 只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可. 二. 如何判断特称命题的真假 方法: 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么 这个特称命题是假命题. 例4 判断下列命题的真假: (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y),都对应一点P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示; (4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立. (1) 真真 (2) 真真 (3) 假假 (4) 假假 判断下列
12、命题的真假 (1) , R,使sin( + )=sin +sin (2)x,yZ,使3x-2y=10 (3)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数 (4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立 如: = =0时,成立 真真 如:x=y=10时,成立 真真 如:函数y=0,x-1,1既是偶函数又是奇函数 真真 假假 1.1.全称命题“对全称命题“对M M中任意一个中任意一个x,x,有有p(x)p(x)成立”成立”, , 符号简记为： xM,p(x), 读作：对任意x属于M，有p(x)成立, 含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题. . 2.2.特称命题“存在特称命题“存在
13、M M中的一个中的一个x x0 0, ,使使p(xp(x0 0) )成立”，成立”， 符号简记为： x0M,p(x0), 读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)成立” 含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题。 命 题 全称命题 特称命题 所有的xM，p(x)成立 对一切xM，p(x)成立 对每一个xM，p(x)成立 任选一个xM，p(x)成立 凡xM，都有p(x)成立 存在x0M，使p(x0)成立 至少有一个x0M，使p(x0) 成立 对有些x0M，使p(x0)成立 对某个x0M，使p(x0)成立 有一个x0M，使p(x0)成立 0 ,() 0 xMpx 表 述 方 法 3.3.同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同， 可能有不同的表述方法：可能有不同的表述方法： 课后练习 课后习题
