1、 1 北京市人大附中 2018 届高三数学 2 月特供卷（一）理 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1如图，网格纸上小
2、正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（ ） A 4 B 2 C 23 D 43 2已知复数 1 3 2iz ? ， 2 2iz ?， 12zz? 的虚部为（ ） A 1? B i? C 1 D i 3 函数 ( ) 3 sin (2 )3f x x?的图象为 C ，命题 :p 图象 C 关于直线 1112x? 对称；命题 :q 由xy 2sin3? 的图象向右平移 3 个单位长度可以得到图象 C ；则下列命题为真命题的是（ ） A qp? B ()pq? C ()pq? D ()pq? 4 在 ? ?3, 3? 内 随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y k
3、x k?与圆 ? ?2 211xy? ? ? 有公共点”发生的概率为 （ ） A 13 B 14 C 12 D 32 5已知集合 ? ?2 7 0A x x? ? ? ?N ， ? ?2 3 4 0B x x x? ? ? ，则 AB? （ ） A ? ?1,2,3 B ? ?0,1,2,3 C 72xx?D 702xx?6设点 ( , )Pxy 是平面区域 0 102 2 0xxyxy?内的任意一点，则 224x y x?的最小值为（ ） A 12 B 1 C 92 D 5 7执行如图所示的程序框图，输出 S ，则 ? ?2log 1S?（ ） A 9 B 10 C 11 D 12 8 函数
4、 ? ? sinlnsinxxfx ? ?的 图象 大致是 （ ） 9已知 1?ba ，若 10log log 3abba?， 3baab? ， ?b （ ） A 23 B 2 C 3 D 27 10正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为 4，则该三棱柱的侧面面积的最大值为（ ） A 483 B 643 C 172831 D 5767 11设双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两条渐近线于 A ， B 点 ， 且 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P ，设 O 为 坐 标 原 点 ， 若
5、( , )O P O A O B? ? ? ? ? ? R， 320? ， 该双曲线的离心率为（ ） 2 A 233 B 355 C 153 D 3155 12 已知函数 1( ) ( )e 22 xf kx xx ? ? ?，若 ( ) 0f x ? 的解集中 有且 只有一个正整数，则实数 k 的取值范围为 （ ） A22 1 2 1,e 4 e 2?B22 1 2 1,e 4 e 2? ?C322 1 2 1,e 6 e 4?D32 1 2 1,e 6 e 2?第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 平面向量 a ， b 满足 ? ? 7a b b? ? ? ， 3a
6、? ， 2b? ，则向量 a 与 b 夹角为 _ 14 命题“ 0x?R ， 0 0e1x x?”的否定是 _ 15 已知 P 是椭圆 22116 7xy?上的一点， Q ， R 分别是圆 221( 3) 4xy? ? ? 和 221( 3) 4xy? ? ? 上的点，则 PQ PR? 的最小值是 _ 16 如图，在 平面 四边形 ABCD 中， 1AB? ， 3BC? ， AC CD? ， 3CD AC? ，当 ABC?变化时，对角线 BD 的最大值为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足
7、 73?a ， 999?S （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 ()2nn nabn?N，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 2 3s in c o s 3 c o s 2f x x x x? ? ? ? ? （ 1） 求函数 ?fx的单调递增区间； （ 2） 若 ? ?0 35fx?，0 0,2x ?， 求 0cos2x 的值 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， 底面 ABCD 是菱形， PD AC? AC 交 BD 于点 O （ 1） 证明： 平面 PBD 平面 PAC ； （ 2） 若 3
8、3D P D A D B P B? ? ?， 求二面角 A PB C?的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 ( 0)x py p?上点 P 处的切线方程为 10xy? ? ? （ 1） 求抛物线的方程； （ 2） 设 11( , )Ax y 和 22( , )Bx y 为抛物线上的两个动点，其中 12yy? 且 122yy?，线段 AB 的垂直平分线 l 与 y 轴交于点 T ，求 ABT 面积的最大值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1( ) ln ( ) 1 ( 1 )2mf x m x mx? ? ? ?有两个零点 1x ， 2 1 2()x x x? （
9、1） 求实数 m 的取值范围； （ 2） 证明：121 1 1x x m? A B C D P A B C D O 3 请考生在 22、 23 两 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（选修 4-4：坐标系与参数方程） （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为21222xtyt? ? ?（ t 为 参数 ） ，曲线 C 的极坐标方程为 4cos? ； （ 1） 求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2） 若直线 l 与曲线 C 交点分别为 A ， B ， 点 (1,
10、0)P ，求 11PA PB?的 值 23 （选修 4-5：不等式选讲） （本小题满分 10 分） 设函数 ? ? 2 2 1f x x x? ? ? ? （ 1）解不等式 ? ? 0fx ； （ 2） x?R ， ? ? 224f x m m? 恒成立，求 实数 m 的取值范围 答 案 一、选择题 1 【答案】 D 2 【答案】 C 3 【答案】 B 4 【答案】 A 5 【答案】 B 6 【答案】 B 7 【答案】 B 8 【答案】 A 9 【答案】 C 10 【答案】 A 11 【答案】 C 12 【答案】 A 二、填空题 13 【答案】 6 14 【答案】 x?R ， e1x x? 1
11、5 【答案】 7 16 【答案】 33 三、解答题 17（本小题满分 12 分） 【解析】 （ 1）由题意得： 1127989 992adad? ?， 解得? ?231da， 故 ?na 的通项公式为 21nan?， n ?N （ 2）由（ 1）得： 212n nnb ?， 2343 5 7 9 2 12 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ?， 2 3 4 11 3 5 7 2 1 2 12 2 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ? ?， 得：2 3 4 11 3 1 1 1 1 2 12 ( )2 2 2 2 2 2 2n nn nT ? ? ? ? ? ? ? ?1
12、2 5225 ? nn， 故 255 2n nnT ? 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （ 1） ? ? 2sin 23f x x?， 函数 ?fx的单调递增区间为： ? ?7 , 1 2 1 2k k k? ? ? Z； （ 2） ? ?00 2 3s in 2 35f x x? ? ?，0 0,2x ?，0 2 4c o s 2 35x? ? ? ?， 00 2 2 4 1 3 3 4 3 3c o s 2 c o s 2 3 3 5 2 5 2 1 0xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 （本小题
13、满分 12 分） 【解析】 （ 1） Q 底面 ABCD 是菱形， AC BD?， 又 PD AC? ， PD BD D?I ， PD ， BD? 平面 PBD ， AC?平面 PBD ， 又 AC? 平面 PAC ， ?平面 PBD? 平面 PAC （ 2）不妨设 3PB? ，则 1DP DA DB? ? ?，作 AE PB? 于 E ，连结 CE ， 由（ 1）知 AC BP? ， PB? 平面 AEC ，故 CE PB? ， 则 AEC? 即 二面角 A PB C?的平面角， 在 ACE 中， 3AC? ， 72OP? ， 102PA? ， 134AE CE?， 11cos 13AEC?
14、 ? ? （另解：也可以以 O 为原点建立空间坐标系，并注意 30DBP? ? ? ，建系过程未说明扣 2分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （ 1）设点200( , )xPxp，由2x py?得2xyp?，求导2xy?， 因为直线 PQ 的斜率为 1? ，所以 02 1xp ?且 200 10xx p? ? ?，解得 4p? ， C P A B D E O 所以抛物线的方程为 2 4xy? （说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由 0? 解得） （ 2）设线段 AB 中点 ? ?00,M x y ，则 120 2xxx ?， 120 2yyy ?， ? ?2221021 122
15、 1 2 114442ABxx xyyk x xx x x x? ? ? ? ?， 直线 l 的方程为0021 ( )y x xx? ? ? ?， 即 02 ( 3 ) 0x x y? ? ? ?， l? 过定点 (0,3)T 联立 0 0 22002: 1 ( ) 2 2 4 024xA B y x xx x x xxy? ? ? ? ? ? ? ?， 得 220 0 04 4 ( 2 4 ) 0 2 2x x x? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?22 2 2 2001 2 0 0 01 1 1 6 4 4 444xxA B x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
16、?， 设 ? ?0,3T 到 AB 的距离 20 4dx?， ? ? ? ?2220011 4422ABTS A B d x x? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 30 0 01 1 1 1 1 6 1 6 6( 4 ) 4 ( 8 2 ) ( )2 2 2 2 3 9x x x? ? ? ? ?， 当且仅当 22004 8 2xx? ? ? ，即 )2,2(3 320 ?x时取等号， ABTS? 的最大值为 1669 （另解：可以令 204tx? ， 21 (8 )2S t t?，构造函数 23( ) 8g x t t?，求导亦可） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （ 1）
17、1( ) ln ( ) 1 ( 1 )2mf x m x mx? ? ? ?， 2212() 22m x mfx x x x? ? ? ? ?， ()fx在 ? ?0,2m 单调递减，在 ? ?2,m? 单调递增， 21( 2 ) l n ( 2 ) 1 022mf m mm? ? ? ?， 22em? ， e12m? ? ?， 又 22 1 1( 2 ) l n ( 2 2 ) 1 1 024222 emf m mm m m? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 22 11( 2 e ) l n ( 2 e ) 1 l n e 1 02 e 2 2mf m m mm? ? ? ? ?
18、? ? ?， e12m?满足函数有两个 零点 （ 2） 令 1 1 1( ) ( ) l n l n 1 .22g x f m x x mx? ? ? ? ? 由 （ 1） 知 ()gx 在 1(0, )2m ? ， 1( , )2m ? ? ， 令 11( ) ( ) ( )22G x g x g xmm? ? ? ?， 1(0, )2m? ， 22221 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 ( 1 ) 012 2 2 1 44G x g x g x m mm m m m xxm? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ()Gx? 在 10,2m?单调递增， ( ) (0) 0G x G? ?， 11( ) ( )22g x g xmm? ? ? ?， 令 1 1 1( ) ( ) l n l n
