1、-1- 2 2.相似三角形的性质 -2- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.掌握相似三角形的性质. 2.能利用相似三角形的性质解决有关问题. -3- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应角相等,对应边成比例; (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 都等于
2、相似比; (3)相似三角形周长的比等于相似比; (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方; (5)相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比,外接 (内切)圆的面积比等于相似比的平方. -4- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 【做一做1】 已知ABCABC,AB=4,AB=3,则BC和BC上 对应中线的比等于( ) 答案:A A. 4 3 B. 3 4 C. 16 9 D.无法确定 解析:相似比为 = 4 3 ,则BC 和 BC上对应中线的比等于
3、相似 比 4 3. -5- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 【做一做 2】 已知ABCABC,且 = 1 4 , = 2, 则等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析: = 2 = 1 4, = 1 2. 又BC=2,BC=2BC=4. 答案:B -6- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 【做一做 3】 已
4、知ABCABC, = 2 3,ABC 外接圆的直 径为 4,则ABC外接圆的直径等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:设ABC和ABC 外接圆的直径分别是 d,d,则 = , 4 = 3 2 , = 6. 答案:C -7- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 相似三角形性质和全等三角形性质的比较 剖析:如下表所示. 全等三角形 相似三角形 对应边相等 对应边成比例 对应角相等 对应角相等 对应中线相等 对应中线的比等于相似比 对应角平分线相等 对
5、应角平分线的比等于相似比 对应高相等 对应高的比等于相似比 周长相等 周长的比等于相似比 面积相等 面积的比等于相似比的平方 -8- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 全等三角形 相似三角形 外接(内切)圆 的直径相等 外接(内切)圆的 直径比等于相似比 外接(内切)圆 的周长相等 外接(内切)圆的 周长比等于相似比 外接(内切)圆 的面积相等 外接(内切)圆的面积 比等于相似比的平方 -9- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZH
6、ONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 等相似比问题 【例1】 已知ABCABC,ABC的周长为60 cm,ABC 的周长为72 cm,AB=15 cm,BC=24 cm,求: (1)BC,AB; (2)AC,AC. 分析:先由相似三角形周长的比得到相似比,再利用相似比求解. -10- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:ABC
7、ABC, = = = 60 72 = 5 6. (1)AB=15 cm, 15 = 5 6 , = 18 cm. BC=24 cm, 24 = 5 6, BC=20 cm. (2)AB+BC+AC=60 cm, AC=60-AB-BC=60-15-20=25(cm). = 5 6, 25 = 5 6 ,解得AC=30 cm. -11- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形 对
8、应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比 例式,从而达到求解的目的. -12- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 如果两个相似三角形对应边上的中线之比为 34,周长之和是35,那么这两个三角形的周长分别是 ( ) A.13和22 B.14和21 C.15和20 D.16和19 解析:由相似三角形的周长之比、对应中线之比均等于相似比, 可得两个相似三角形的周长之比 又C1+C2=35, C1=15,C
9、2=20,即两个三角形的周长分别为15,20. 答案:C 1 2 = 3 4. -13- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 面积比问题 【例 2】 如图,D,E 分别是 AC,AB 上的点, = = 3 5,ABC 的 面积为 100 cm2.求四边形 BCDE 的面积. 分析:由于四边形BCDE是不规则四边形,直接求其面积有困难,因 此可转化为求ABC与ADE的面积的差. -14- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SH
10、ULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解: = = 3 5,A=A, ADEABC, = 2 = 9 25. 又SABC=100 cm2, 100 = 9 25, SADE=36 cm2. S四边形BCDE=SABC-SADE=100-36=64(cm2). 反思反思有关三角形的面积之比问题,除考虑三角形的相似比外,还要 注意它们是否等高或等底,若是,则可转化为面积之比等于底边比 或相应高之比. -15- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGN
11、AN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,在ABC中,DEBC,SADESABC=49. 求: (1) ; (2) . -16- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)DEBC, ADEABC. = 2 = 4 9. = 2 3 , = 2 1 = 2. (2)如图,过点 D 作 DFAC,垂足为 F, 则 SADE=
12、1 2 AE,SCDE= 1 2 EC, 故 = 1 2 1 2 = = 2 1 = 2. -17- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 实际应用问题 【例3】 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,教学楼后面 有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”小张心里 很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们之 间的距离为30 m,小张身高为1.6 m.小张要想看到水塔,他与教学楼 之间的
13、距离至少应有多少米? 分析:此题的解法很多,其关键是添加适当的辅助线,构造相似三 角形,利用相似三角形的知识解题. -18- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:如图,设小张在点F与教学楼的距离为x m时,正好看到水塔. 连接FD,由题意知,点A在FD上,过F作FGCD于G,交AB于H,则 四边形FEBH、四边形BCGH都是矩形. ABCD,AFHDFG. AHDG=FHFG, 即(20-1.6)(30-1.6)=x(x+30),
14、 解得x=55.2. 经检验x=55.2是所列方程的根. 故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m,才能看到水塔. 反思反思此类问题是利用数学模型解决实际问题,关键在于认真分析 题意转化成数学问题,构造相似三角形求解. -19- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练3】 为了测量学校操场上旗杆的高度,小明请同学帮 忙,测得同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5 m和3 m,示意 图如图.如果小明身高为1.5 m,那么旗杆的高度为 m. -20- 2.相似三角形的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解析:根据题意,可得ED=0.5 m,DB=3 m,CD=1.5 m. 根据光线平行的知识可知CEAD, 故E=ADB. ABEB,CDEB, CDE=ABD=90. ABDCDE. 旗杆的高度为9 m. 答案:9 = ,即 1.5 = 3 0.5 ,解得AB=9.
