1、-1- 四四 弦切角的性质弦切角的性质 -2- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用定理解决有关问题. -3- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 1.弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角. 名师点拨名师点拨弦切角可分为三类:
2、(1)圆心在角的外部,如图;(2)圆心 在角的一边上,如图;(3)圆心在角的内部,如图. -4- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做1】 如图,EC与O相切于点B,AB是O的一条弦,D是 O上异于点A,点B的一点,则下列为弦切角的是( ) A.ADB B.AOB C.ABC D.BAO 解析:ADB是圆周角,AOB是圆心角,ABC是弦切角,BAO 不是弦切角. 答案:C -5- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGN
3、AN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 2.弦切角定理 文字语言 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 符号语言 AB 与O 相切于点 A,AC 与O 相交于点 A,C,点 D 在O 上,但不在弦切角BAC 所夹的弧上,则 BAC=ADC 图形语言 作用 证明两个角相等 -6- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 归纳总结归纳总结1.弦切角定理的推论:若一个圆的两个弦切角所夹的弧 相等,
4、则这两个弦切角也相等. 2.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度 数的一半.这就建立了弦切角与弧之间的数量关系,它为直接依据 弧进行角的转换确立了基础. -7- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3.圆心角、圆周角、弦切角的比较. 圆心角 圆周角 弦切角 定义 顶点在圆心的 角 顶点在圆上,两 边和圆相交 顶点在圆上,一边和 圆相交,另一边和圆 相切 图形 角与弧 的关系 AOB 的度数 = AB 的度数 ACB 的度数 = 1 2 A
5、B 的度数 ACB 的度数 = 1 2 AC 的度数 -8- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-1】 如图,MN与O相切于点M,Q和P是O上两 点,PQM=70,则NMP等于( ) A.20 B.70 C.110 D.160 解析:NMP是弦切角, NMP=PQM=70. 答案:B -9- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOH
6、ANG 目标导航 1 2 【做一做2-2】 过圆内接ABC的顶点A引O的切线交BC的延 长线于点D,若B=35,ACB=80,则D为 ( ) A.45 B.50 C.55 D.60 解析:如图,AD为O的切线, DAC=B=35. ACB=80, D=ACB-DAC=80-35=45. 答案:A -10- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 对弦切角的理解 剖析:弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边 与圆相切. 弦切角定义中的三个条件
7、缺一不可.如图中的角都不是 弦切角.图中,缺少“顶点在圆上”的条件;图中,缺少“一边和圆相 交”的条件;图中,缺少“一边和圆相切”的条件;图中,缺少“顶点 在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件. -11- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 平行问题 【例1】 如图,AD是ABC中BAC的平分线,O经过点A且与 BC切于点D,与AB,AC分别相交于点E,F.求证:EFBC. 分析:连接DF,于是FDC=DAC,根据AD是BAC的平
8、分线,有 BAD=DAC,而BAD与EFD对着同一段弧,由此得到EFD 与FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行. -12- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,连接DF, AD是BAC的平分线, BAD=DAC. EFD=BAD, EFD=DAC. BC切O于点D, FDC=DAC. EFD=FDC.EFBC. 反思反思当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的 关系证明两条直线平行:内错角相等,
9、两条直线平行;同位角相 等,两条直线平行;同旁内角互补,两条直线平行等.证明时可以根 据图形与已知条件合理地选择. -13- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 如图,ABC内接于O,AB的延长线与过点C的 切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE. 求证:BEDG. 证明:CG为O的切线, EBC=GCE. EBC=E.E=GCE. DGBE. CB=CE, = , -14- 四 弦切角的性质 ZHISHI
10、 SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 线段成比例问题 【例2】 已知ABC内接于O,BAC的平分线交O于点 D,CD的延长线交过点B的切线于点E. 分析:直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个 比例式的形式,借助相似三角形的性质得出结论. 求证: 2 2 = . -15- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题
11、型二 题型三 证明:连接BD,如图. AD是BAC的平分线, BAD=CAD. 又BCD=BAD, CBD=CAD, BCD=CBD. BD=CD. -16- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 又BE为O的切线, EBD=BCD. 在BED和CEB中, EBD=ECB,BED=CEB, BEDCEB. = , = , 2 = . 又 BD=CD, 2 2 = . 反思反思已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定理 和圆周角定
12、理得到角相等,再通过三角形相似得到成比例线段. -17- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 = , 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,AB为O的直径,弦CDAB,AE切O于点 A,交CD的延长线于点E.求证:BC2=AB DE. 证明:如图,连接BD,OD,OC. AE切O于点A,EAD=ABD, 且AEAB.又ABCD,AECE,E=90. AB为O的直径,ADB=90. E=ADB, ADEBAD, AD2=AB DE. CDAB,1=2,3=
13、4. 2=4,1=3, AD=BC,BC2=AB DE. = , -18- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:忽视弦切角的一边是切线致错 【例3】 如图,ABC内接于O,ADAC,C=32,B=110, 则BAD= . 错解:ADAC, BAD是弦切角. BAD=C. 又C=32,BAD=32. 错因分析:错解中,误认为BAD是弦切角.虽然ADAC,但AD不 是切线. -19- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:C+B+BAC=180, BAC=180-C-B=38. 又ADAC,BAC+BAD=90. BAD=90-BAC=90-38=52. 答案:52 反思反思在利用弦切角定理解决问题时,要注意所涉及的角是不是弦 切角,即弦切角的三个条件缺一不可.
