1、-1- 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 -2- 一 平行射影 -3- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.掌握正射影的概念,理解平行射影的概念,能确定平行射影的形 状. 2.掌握椭圆的定义,知道椭圆是圆柱的一种截面. -4- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 1.正射影 (1)定义:给定一个平面,从一点A作平面的垂线,垂足为
2、点A.称 点A为点A在平面上的正射影.一个图形上各点在平面上的正射 影所组成的图形,称为这个图形在平面上的正射影. (2)圆面的正射影:一个圆所在的平面与平面平行,那么该圆在 平面上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆;如果 圆所在的平面与平面不平行且不垂直时,从生活经验我们知道, 正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆; 如果圆所在的平面与平面垂直时,那么该圆在平面上的正射影 是一条线段,其长度等于圆的直径. -5- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAO
3、HANG 目标导航 1 2 3 名师点拨名师点拨一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置 有关,如一条直线,当它和平面垂直时,它在平面上的正射影是一 个点;当它和平面斜交时,它在平面上的正射影是一条直线;它和 平面平行时,它在平面上的正射影是一条与原直线平行的直线. 【做一做1】 ABC在平面上的正射影是( ) A.三角形 B.直线 C.线段 D.三角形或线段 解析:当ABC所在平面垂直于时,ABC在上的正射影是一条 线段,否则是三角形. 答案:D -6- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MU
4、BIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 2.平行射影 定义:设直线l与平面相交(如图),称直线l的方向为投影方向.过 点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A,称点A为A沿l的 方向在平面上的平行射影.一个图形上各点在平面上的平行射影 所组成的图形,叫做这个图形的平行射影. 显然,正射影是平行射影的特例. -7- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 归纳总结归纳总结平行射影的性质: (1)直线的平行射影是直线或一个点,线段的平行射影是线段或一
5、 个点; (2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点; (3)平行于投影面的线段,它的平行射影与这条线段平行且等长; (4)与投影面平行的平面图形,它的平行射影与这个图形全等; (5)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行射影(不是点)的 比等于这两条线段的比. -8- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做2】 两条异面直线m和n在平面上的平行射影是( ) A.一条直线和直线外一个点 B.两条相交直线 C.两条平行直线 D.以上都有可能
6、解析:当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行射影 是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线. 答案:D -9- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 3.椭圆 (1)定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做 椭圆. (2)抽象概括:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两个底 面平行时,截面是一个圆;当平面与圆柱的两个底面不平行时,截面 是一个椭圆(如图). -10- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHO
7、NGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做3】 平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到点A,B的 距离之和为常数m,若动点P的轨迹是椭圆,则m的取值范围是( ) A.(0,5) B.(5,+) C.(0,+) D.R 解析:当m5 时,轨迹是椭圆. 答案:B -11- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.平行射影与正射影的区别与联系 剖析:对于平行射影,取不同的投影方向,同
8、一个图形的平行射影 也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向与平面垂直时的一种 特殊情况.因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意 这二者的区别与联系,从而完整、全面地看待问题. 例如,如图,直线l与平面所成的角是45,交点为A.在l上取不同 于点A的一点B,过点B作BC,垂足为C.则l在平面上的正射影是 直线AC.当投影方向与l相同时,l在平面上的平行射影是一个点,即 点A;当投影方向垂直于平面时,l在平面上的平行射影是直线AC, 此时平行射影和正射影是相同的. -12- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOU
9、XI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 2.点的射影与图形的射影的区别与联系 剖析:图形是由点组成的集合,因而图形的射影是被投影图形上 各点在平面上的射影的集合,所以,要找到一个图形的射影只需找 到组成这个图形的关键点的射影即可. -13- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 对平行射影的理解 【例1】 下列说法正确的是( ) A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影 B.投影线与投影平面有且只有一个交点 C.投影方向可
10、以平行于投影平面 D.一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的 解析:正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故选项A错误;投影 线与投影平面只能相交,选项B是正确的,选项C是错误的;一个图形 在一个平面上的平行射影与投影方向有关,方向改变了,就可能得到 不同的平行射影,故选项D错误. 答案:B 反思反思图形的平行射影与两个因素有关:一个是投影方向,一个是投 影平面.正确理解平行射影的有关概念,是解决平行射影问题的关键. -14- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题
11、型一 题型二 题型三 【变式训练1】 如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则 下列结论正确的是( ) A.内心的平行射影还是内心 B.重心的平行射影还是重心 C.垂心的平行射影还是垂心 D.外心的平行射影还是外心 解析:当三角形的平行射影仍是三角形时,其在投影平面上的三 角形的形状可能会发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也 会发生变化,其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点会随 着发生变化,而中位线上三等分点的等分比例性质不变,内心射影 前后相对的位置关系不变. 答案:A -15- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIA
12、NLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 判断平行射影的形状 【例2】 如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中 心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能 是 .(要求:把可能的图的序号都填上) -16- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解析:对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到, 并且对于图形要考虑所有点的正射影,又知线段由两个端
13、点唯一确 定,故考查四边形BFD1E的射影,只需同时考查点B,F,D1,E在各个面 上的正射影即可. 四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面 A1B1C1D1上的正射影均为图;四边形BFD1E在平面ADD1A1和平 面BCC1B1上的正射影均为图. 答案: 反思反思判断平行射影的形状时,常常先确定图形中各顶点的射影,再 依次连接各顶点的射影即可;同一图形在平行平面上的平行射影是 相同的. -17- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航
14、 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 AA1,D1C1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,画出空间四边形AEFG 在该正方体的面DCC1D1上的正投影. -18- 一 平行射影 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 解:如图,点A落在D点上,点G 落在CC1的中点G上,点F在面 DCC1D1上的正射影仍为点F,点E落在DD1的中点E上,所以其正投 影如图所示. -19- 一 平行射影 ZHISH
15、I SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:不能准确理解平行射影的概念而致错 【例3】 线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD 的长度关系为( ) A.ABCD B.ABCD C.AB=CD D.无法确定 错解:因为线段AB,CD的正射影相等,所以线段AB,CD的长度也相 等,故选C. 错因分析:上述错误的原因是不能正确理解正射影的定义,一个 图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关. 正解:D 解析:由于线段AB,CD与平面所成的角未定,虽然正射影相等,但 线段AB,CD的长度无法确定,故它们的长度关系也无法确定.故选D.
