1、 1 广西桂林市 2017届高三数学 2 月月考试题 理 注意事项 : 1.本试卷分第 卷（选择题）和第 卷 (非选择题 )两部分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应位置上。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷 一选择题： （ 本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1. 已知集合 A 1， 0， 1， B y|y x， x A， 则 A B ( ) A 1 B 0 C 1 D 0， 1 2. 设复数 z 2 1 i(i为虚数单位 )， z的共轭复数为
2、 z ， 则在复平面内 iz 对应的点的坐标为 ( ) A (1， 1) B ( 1， 1) C (1， 1) D ( 1， 1) 3.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题 :粮仓开仓收粮 ,有人送来 米 1534石 ,验得米内夹谷 , 抽样取米一把 ,数得 254粒内夹谷 28粒 ,则这批米内夹谷约为 ( ) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系 ,随机调查了该社区 5户家庭 ,得到如下统计数据表 : 收入 x(万元 ) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y(万元 ) 6.2 7.5 8.0 8.5
3、9.8 根据上表可得回归直线方程 = x+ ,其中 =0.76, 据此估计 ,该社区一户年收入 为 15万元家庭的年支出为 ( ) A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 5. 阅读如图所示的程序框图 ， 如果输出的函数值在区间 ? ?14， 12 内 ， 那么输入的实数 x的取值范围是 ( ) A. ( ， 2 B 2， 1 C. 1， 2 D )2， 6. 设点 O是面积为 4 的 ABC 内部一点 ， 且有 OA OB 2OC 0 ， 则 AOC的面积为 ( ) A 2 B 1 C. 12 D 13 7.某几何体的三视图如图所示 ， 则该几何体的体
4、积为 ( ) A. 13 B 23 C. 13 2 D 23 2 8. 在 ABC中 ， a， b， c分别是内角 A， B， C所对的边 ， 且 cos 2B 3cos(A C) 2 0， b 3， 2 则 c sin C等于 ( ) A 3 1 B 3 1 C. 2 1 D 2 1 9. 已知数列 an 满足 an?（ 1 3a） n 10a， n 6an 7， n6 (n N*)， 若 an 是递减数列 ， 则实数 a的取值范围是 ( ) A.? ?13， 1 B ? ?13， 12 C. ? ?58， 1 D ? ?13， 58 10. 已知函数 y f(x)(x R)满足 f(x 1
5、) f(x)， 且当 x 1， 1时 ， f(x) |x|， 函数sin ( ) , 0() 1 ,0xxgx xx? ? ?， 则函数 h(x) f(x) g(x)在区间 5， 5上的零点的个数为 ( ) A. 8 B 9 C. 10 D 11 11. 函数 f(x)的定义域是 R， f(0) 2， 对任意 x R， f(x) f( x)1， 则不等式 ex f(x)ex 1的解集为 ( ) A x|x0 B x|x1 D x|x1， 则 f(m)21 4(1 )m x?dx的最小值为 _ 14. 已知函数 f(x) sin x cos x， f (x)是 f(x)的导函数若 f(x) 2f
6、( x)， 则 1 sin2xcos2x sin xcos x= 15. 已知三棱锥 SABC的体积 为 26 ， 底面 ABC是边长为 1的正三角形 ， 三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上 ， 棱 SC 是球 O的直径 ， 则球 O的表面积 为 16. 椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点 F(c， 0)关于直线 ybcx 的对称点 Q在椭圆上 ， 则椭圆的离心率是 _ 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 3 17.（本小 题满分 12分 ） 已知数列 an的首项 a1 35， an 1 3an2an 1， n 1， 2，?
7、. (1)求证：数列 ? ?1an 1 为等比数列； (2)记 Sn 1a1 1a2 ? 1an， 若 Sn0)的焦点 F(1， 0)， O为坐标原点 ， A， B是抛物线 C上异于 O的两点 4 (1)求抛物线 C的方程； (2)若直线 OA， OB的斜率之积 为 12， 求证：直线 AB过 x轴上一定点 21. （本小题满分 12 分 ） 函数 f(x) ln x， g(x) x2 x m. (1)若函数 F(x) f(x) g(x)， 求函数 F(x)的极值； (2)若 f(x) g(x)0).在以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 C2: =4cos . (1)说
8、明 C1是哪一种曲线 ,并将 C1的方程化为极坐标方程 . (2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2 的公共点都在 C3上 ,求 a. 23. （本小题满分 10 分） 选修 4 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出 y=f(x)的图像 . (2)求不等式 |f(x)|1 的解集 . 5 2016-2017桂林高三年级 2月月考 （理科）数学题答案 一 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B B B B A D D C A B 二、填空题： 13、 1 14、
9、 116 15、 4? 16、 22 三、解答题： 17 解 : 证明： (1) 1an 1 23 13an， 所以 1an 1 1 13an 13 13? ?1an 1 .又因为 1a1 1 23 0， 所以 1an 10( n N*)所以数列 ? ?1an 1 为等比数列 (2)由 (1)知 ， 1an 1 23 ? ?13n 1， 所以 1an 2 ? ?13n 1. Sn 1a1 1a2 ? 1an n 2? ?13 132 ? 13n n 21313n 11 13 n 1 13n， 若 Sn0)的焦点坐标为 (1， 0)， 所以 p2 1， 所以 p 2. 所以抛物线 C的方程为 y
10、2 4x. (2)证明： 当直线 AB 的斜率不存在时 ， 设 A? ?t24， t ， B?t24， t . 因为直线 OA， OB 的斜率之积为 12， 所以 tt24 tt24 12， 化简得 t2 32. 所以 A(8， t)， B(8， t)， 此时直线 AB的方程为 x 8. 当直线 AB 的斜率存在时 ， 设其方程为 y kx b， A(xA， yA)， B(xB， yB)， 联立得?y2 4x，y kx b， 化简得 ky2 4y 4b 0. 根据根与系数的关系得 yAyB 4bk， 因为直线 OA， OB 的斜率之积为 12， 所以 yAxA yBxB 12， 即 xAxB
11、2yAyB 0. 即 y2A4y2B4 2yAyB 0， 解得 yAyB 0(舍去 )或 yAyB 32. 所以 yAyB 4bk 32， 即 b 8k， 所 以 y kx 8k， y k(x 8) 综上所述 ， 直线 AB过定点 (8， 0) 21 解： (1)F(x) ln x x2 x m的定义域为 (0， ) ， F (x) （ 2x 1）（ x 1）x ， F (x)0?01； F( x) 0?x 1， 7 F (x)与 F(x)随 x的变化情况如下表： x (0， 1) 1 (1， ) F( x) 0 F(x) 递增 极大值 递减 F(x)的极大值为 F(1) m， 没有极小值 (
12、2)f(x) g(x)(x 2)ex ln x x在 x(0 ， 3)上恒成立 ， 令 h(x) (x 2)ex ln x x， 则 h (x) (x 1)? ?ex 1x ， 当 x1时 ， x 10， 且 exe， 1x0， h (x)0， 当 00， u在 (0， 1)上递增 ， x 0 时 ， 1x ， u0， ? x0 (0， 1)， 使得 u0 ex0 1x0 0， x (0， x0)时 ， u0， x (0， x0)时 ， h (x)0， x (x0， 1)时 ， h (x)0， x (0， 3)时 ， h(x)1, 当 x -1 时 ,|x-4|1,解得 x5 或 x1,解得 x1 或 x1,解得 x5 或 x5. 综上 ,x5, |f(x)|1 的解集为 1 ,3? (1,3) (5,+ ).
