1、 1 河北定州 2016-2017 学年第二学期高三第 2 次月考数学试卷 一、选择题 1 已知 ?x 表示大于 x 的最小整数，例如 ?34? ， ? ?1.3 1? ? ，下列命题中正确的是（ ） 函数 ? ? ? ?f x x x?的值域是 ? ?0,1 ； 若 ?na 是等差数列，则 ? ? ?na 也是等差数列； 若 ?na 是等比数列，则 ? ? ?na 也是等比数列； 若 ? ?1,2014x? ，则方程 ? ? 12xx? 有 2013个根 . A. B. C. D. 2 已知函数 ? ? ? ? ? ?ln , 2 3f x x g x m x n? ? ? ?，若对任意 的
2、 ? ?0,x? ? ,总有 ? ? ? ?f x g x? 恒成立，记 ? ?23mn? 的最小值为 ? ?,f mn ，则 ? ?,f mn 最大值为（ ） A. 1 B. 1e C. 21eD. 1e3 已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 22: 1( 0 )xyC b aab? ? ? ?上有一点 ? ?5,Pm（ 0m? ），点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点， 过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A ， B ，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A. 22 14yx ? B. 22123xy?
3、C. 22 16yx ? D. 2213722xy? 4 在 Rt ABC? 中， 4CA? ， 3CB? ， M ， N 是斜边 AB 上的两个动点，且 2MN? ，则CMCN? 的取值范围为（ ） A. 52,2?B. ? ?4,6 C. 119 48,25 5?D. 144 53,25 5?5 已知函数 ? ? ? ?xf x x a e?，曲线 ? ?y f x? 上存在不同的两点，使得曲线 在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是（ ） 2 A. ? ?2,e? ? B. ? ?2,0e? C. ? ?2,e? ? D. ? ?2,0e? 6 已知抛物线的焦点 F
4、到准线 l 的距离为 p ，点 A 与 F 在 l 的两侧， AF l? 且 2AF p? ， B 是抛物线上的一点， BC 垂直 l 于点 C 且 2BC p? ， AB 分别交 l ， CF 于点 ,DE，则 BEF? 与BDF? 的外接圆半径之 比为（ ） A. 12 B. 32 C. 233 D. 2 7 已知 ? ?, 0,? ? ? ，则“ 1sin sin 3?”是“ ? ? 1sin 3?”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不 充分也不必要条件 8 已知函数 ? ? lnf x ax e x?与 ? ? 2lnxgx x e x?
5、 ? 的图象有三个不同的公共点 ,其中 e 为自然对数的底数 ,则实数 a 的取值范围为 ( ) A. ae? B. 1a? C. ae? D. 3a? 或 1a? 9 已知过抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点 F 的直线与抛物线交于 A , B 两点 ,且 3AF FB? ,抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C , 1AA l? 于点 1A ,若四边形 1AACF 的面积为 123 ,则准线 l 的方程为( ) A. 2x? B. 22x? C. 2x? D. 1x? 10 已知 ?fx是定义在 R 上的可导函数，且满足 ? ? ? ? ? ?1 0x f x xf x? ? ?
6、，则（ ） A. ? ? 0fx? B. ? ? 0fx? C. ?fx为减函数 D. ?fx为增函数 11 函数 ? ? ? ?( 0)0ln x xfxxx? ? ?与 ? ? 1g x x a? ? ?的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. R B. ? ?, e? C. ? ?,e? D. ? 12 设函数 ?fx是 R 上的奇函数， ? ? ? ?f x f x? ? ? ，当 0 2x ? 时， ? ? cos 1f x x?，则 22x? ? ? 时， ?fx的图象与 x 轴所围成图形的面积为（ ） 3 A. 48? B. 24? C. 2? D.
7、 36? 二、填空题 13 已知点 P 为函数 ? ? xf x e? 的图象上任意一点，点 Q 为圆 ? ?22211x e y? ? ? ?上任意一点（ e为自然对数的底），则线段 PQ 的长度的最小值为 _ 14 在三棱锥 S ABC? 中， ABC? 是边长为 3 的等边三角形， 3, 2 3SA SB?，二面角S AB C?的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为 _ 15 已知函数 ? ? ? ? 22e 2x kf x x x kx? ? ? ?（ k是常数， e是自然对数的底数， e 2.71828?）在区间 ? ?02， 内存在两个极值点，则实数 k的取值范围是 _ 1
8、6 某运动队对 , , ,ABCD 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公 布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如 下：甲说：“是 C 或 D 参加比赛”； 乙说：“是 B 参加比赛”； 丙说：“是 ,AD都未参加比赛”； 丁说：“是 C 参加比赛” .若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是 _ 三、解答题 17 已知函数 ? ? ln ( ,f x ax x b a b?为实数 )的图像 在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 1yx?. （ 1）求实数 ,ab的值及函数 ?fx的单调区间； （ 2）设函数 ? ? ? ? 1fxgx x ? ，证明
9、? ? ? ?1 2 1 2()g x g x x x?时， 122xx?. 18 设函数 ? ? 2 lnf x x a x? ， ?gx= ? ?2ax? . （）求函数 ?fx的单调区间； （）若函数 ? ? ? ? ? ?F x f x g x?有两个零点 12,xx. (1)求满足条件的最小正整数 a 的值； (2)求证： 12 02xxF ?. 4 19 已知函数 ? ? 24 xxf x ex ? ? . （ I）讨论函数的单调性 ,并证明当 2x? 时， 2 40xxe x? ? ? ?; （）证明：当 ? ?0,1a? 时，函数 ? ? ?2 2 3 ( 2 )2xe a x
10、 ag x xx? ? ? ?有最小值，设 ?gx最小值为 ?ha，求函数 ?ha的值域 . 20 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?， O 是坐标原点， 12,FF分别为其左右焦点， 12 23FF? , M 是椭圆上一点， 12FMF? 的最大值为 23? （）求椭圆 C 的方程 ; （）若直线 l 与椭圆 C 交于 ,PQ两点，且 OP OQ? （ i）求证： 2211OP OQ?为定值 ; （ ii）求 OPQ? 面积的取值范围 . 21 已 知函数 ? ? 21ln 2 af x x x x? ? ?（ aR? ， a 为常数），函数 ? ? 1221 1
11、2x ag x e x? ? ? ?（ e 为自然对数的底） . （ 1）讨论函数 ?fx的极值点的个数； （ 2）若不等式 ? ? ? ?f x g x? 对 ? ?1,x? ? 恒成立，求实数的 a 取值范围 . 22 已知函数 ? ? 33,f x x x x R? ? ?. （ 1）求 ?fx在 ? ?2,3? 上的最大值和最小值； （ 2）设曲线 ? ?y f x? 与 x 轴正半轴的交点为 P 处的切线方程为 ? ?y g x? ，求证：对于任意的正实数 x ，都有 ? ? ? ?f x g x? . 23 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 21,2?，离心率为 2
12、2 ， 1A ， 2A 是椭圆 C 的长轴的两个端点（ 2A 位于 1A 右侧）， B 是椭圆在 y 轴正半轴上的顶点 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； 5 （ 2）是否存在经过点 ? ?0, 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P 和 Q ，使得向量OP OQ? 与 2AB共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由 . 24 已知函数 ? ? ? ?1,xf x ax e a R? ? ?. （ 1）讨论 ?fx的单调区间； （ 2）当 0mn?时，证明： nmme n ne m? ? ?. 参考答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A
13、8 B 9 A 10 A 11 C 12 A 13 2 11ee? 14 21? 15 ? ? ? ?21 e e e?， ， 16 B 17 解析：（ 1）由题得，函数 ?fx的定义域为 ? ?0,? ， ? ? ? ?1 lnf x a x? ?， 因为曲线 ?fx在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 1yx?， 所以 ? ? ? 111 1 b 0faf aln? ?， ，解得 1, 0ab?. 令 ? ? 1 ln 0f x x? ? ? ，得 1x e? ， 当 10 ex? 时， ? ? 0fx? ? ， ?fx在区间 10,e?内单调递减； 当 1ex? 时， ? ? 0fx?
14、 ? ， ?fx在区间 1,e?内单调递增 . 所以函数 ?fx的单调递减区间为 10,e?，单 调递增区间为 1,e?. （ 2）由（ 1）得， ? ? ? ? 1 1lnfxg x xxx? ? ?. 由 ? ? ? ?1 2 1 2g ( )x g x x x?，得121211ln lnxxxx? ? ?，即 2 1 21 2 1- ln 0x x xx x x?. 要证 ，需证 ? ? 2 1 212 1 2 1- 2lnx x xxx x x x?，即证 2 1 21 2 12lnx x xx x x? ， 设 21 t( 1)x tx ?，则要证 2 1 21 2 12lnx x
15、xx x x? ，等价于证： 1t 2ln ( 1)ttt? ? ?. 令 1u(t) t 2lntt? ? ? ，则 221 2 1 1 1 0ttt ? ? ? ? ? ?， ?ut在区间 ? ?1,? 内单调递增， ? ? ? ?10u t u?, 即 1 2lnttt? ，故 122xx?. 18 解析：（） ? ? 22 2 ( 0 )a x af x x xxx ? ? ? ? 当 0a? 时， ? ?0fx? 在 ? ?0,? 上恒成立，所以函数 ?fx单调递增区间为 ? ?0,? ， 此时 ?fx 无单调减区间 当 0a? 时，由 ? ?0fx? ，得 22ax? ， ? ?0
16、fx? ，得 20 2ax? ， 所以函数 ?fx的单调增区间为 2 ,2a?，单调减区间为 20,2a?. （）（ 1） ? ? ? ? 22 2 2 ) ( 1 2 2 ( 0 )a x a x a x a xF x x a xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ） 因为函数 ?Fx有两个零点，所以 0a? ，此时函数 ?fx在 ,2a?单调递增， 在 0,2a?单调递减 . 所以 ?Fx的最小值 02aF?，即 2 4 4 ln 02aa a a? ? ? ?. 因为 0a? ，所以 4ln 4 02aa? ? ?. 令 ? ? 4ln 42ah a a? ?
17、 ?，显然 ?ha在 ? ?0,? 上为增函数，且 ? ? ? ? 3 8 12 2 0 , 3 4 ln 1 ln 1 02 1 6hh? ? ? ? ? ?，所以存在 ? ? ? ?002,3 , 0a h a?. 当 0aa? 时， ? ? 0ha? ；当 00 aa? 时， ? ? 0ha? ，所以满足 条件的最小正整数 3a? . 又当 3a? 时， ? ? ? ? ? ?3 3 2 ln 3 0 , 1 0FF? ? ? ?，所以 3a? 时， ?fx有两个零点 综上所述，满足条件的最小正整数 a 的值为 3. （ 2）证明 ：不妨设 120 xx?，于是 ? ? ? ?221 1
18、 1 2 2 2- 2 ln - 2 ln ,x a x a x x a x a x? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?221 1 1 2 2 22 ln 2 ln 0x a x a x x a x a x? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?221 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 l n l n l n l nx x x x a x a x a x a x a x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 221 1 2 21 1 2 222ln lnx x x xa x x x x? . 因为 02aF ?，当 0,2ax ?时， ? ? 0Fx? ? ，当 ,2ax ? ?时， ? ?0Fx? ， 故只
